メネラウスの定理とは？証明・覚え方・使い方を
図解でわかりやすく解説

三角形の辺の長さの比を求める問題で、「メネラウスの定理」という公式を使ったことはありませんか？

メネラウスの定理は、三角形の3辺またはその延長線と、1本の直線との交点について成り立つ定理です。

この定理を使うと、複雑な図形の問題でも、線分の比を簡単に求められることがあります。

しかし、

「なぜ3つの比を掛けると1になるのか？」

「どの順番で線分の比を書けばよいのか？」

と疑問に思う方もいるのではないでしょうか。

この記事では、メネラウスの定理の使い方や覚え方を具体例とともに解説した後、三角形の相似を利用して公式を証明します。

特に証明では、補助線を引く理由や途中式をできるだけ省略せず、数学が苦手な方にも理解できるよう丁寧に説明していきます。

1. メネラウスの定理とは？

メネラウスの定理とは、三角形の3辺またはその延長線を1本の直線が横切るとき、線分の比について成り立つ定理です。

三角形 \(ABC\) において、次のように点 \(D,E,F\) を取ります。

• 点 \(F\)：辺 \(AB\) 上
• 点 \(E\)：辺 \(AC\) 上
• 点 \(D\)：辺 \(BC\) を \(C\) 側に延長した直線上

ただし、点 \(D,E,F\) は一直線上にあるものとします。

このとき、次の等式が成り立ちます。

\[ \boxed{ \frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1 } \]

これがメネラウスの定理です。

3つの線分の比を決まった順番で掛け合わせると、積が1になります。

なお、これはメネラウスの定理が成り立つ代表的な配置の一例です。

2. メネラウスの定理の使い方・計算例

まずは、具体的な問題で使い方を確認してみましょう。

2.1 線分の長さを求める問題

まず、メネラウスの定理より、

\[ \frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1 \]

が成り立ちます。

ここで、求める長さ \(CD\) を \(x\) とおきます。

点 \(D\) は辺 \(BC\) の延長線上にあるので、

\[ \begin{aligned} BD&=BC+CD\\ &=6+x \end{aligned} \]

となります。

また、問題文より、

\[ \frac{AF}{FB}=\frac23 \]

\[ \frac{CE}{EA}=\frac34 \]

です。

これらをメネラウスの定理に代入すると、

\[ \frac23\times\frac{6+x}{x}\times\frac34=1 \]

となります。

左辺を整理すると、

\[ \frac12\times\frac{6+x}{x}=1 \]

両辺を2倍して、

\[ \frac{6+x}{x}=2 \]

両辺に \(x\) を掛けると、

\[ 6+x=2x \]

したがって、

\[ \boxed{x=6} \]

となります。

よって、求める長さは、

\[ \boxed{CD=6} \]

です。

2.2 線分の比を求める問題

メネラウスの定理より、

\[ \frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1 \]

が成り立ちます。

ここで、

\[ \frac{CE}{EA}=x \]

とおくと、

\[ \frac23\times\frac52\times x=1 \]

となります。

分数を整理して、

\[ \frac53x=1 \]

両辺に \(\frac35\) を掛けると、

\[ x=\frac35 \]

となります。

したがって、

\[ \boxed{CE:EA=3:5} \]

です。

このように、メネラウスの定理を使うと、3つの比のうち2つが分かっている場合に、残りの1つを求めることができます。

3. メネラウスの定理の証明・導出

ここからは、メネラウスの定理がなぜ成り立つのかを証明していきます。

証明には、中学校で学ぶ三角形の相似を利用します。

3.1 証明の方針を考える

まず、今回の証明では、メネラウスの定理の公式を先に示し、その左辺が \(1\) に等しくなることを証明します。

証明したい式は、次のとおりです。

\[ \frac{AF}{FB}\times\frac{BD}{DC}\times\frac{CE}{EA}=1 \]

この式の左辺には、3つの線分の比が登場します。

そこで、三角形の相似を利用して線分の比を書き換え、最終的に分子と分母を約分できる形に変形することを考えます。

具体的には、次の手順で証明を進めます。

1. 補助線を引いて、相似な三角形を2組作る。
2. 相似な三角形の対応する辺の比を利用し、公式の左辺に含まれる線分の比を書き換える。
3. 3つの分数を掛け合わせ、分子と分母を約分することで、積が \(1\) になることを示す。

それでは、まず補助線を引いて、相似な三角形を探していきましょう。

3.2 補助線を引く

点 \(C\) を通り、辺 \(AB\) に平行な直線を引きます。

この直線と、点 \(D,E,F\) を通る直線との交点を \(G\) とします。

なぜ、このような補助線を引くのでしょうか？

それは、辺 \(AB\) と補助線 \(CG\) を平行にすることで、相似な三角形を作るためです。

この図では、次の2組の三角形が相似になります。

\[ \boxed{\triangle DBF\sim\triangle DCG} \]

\[ \boxed{\triangle EAF\sim\triangle ECG} \]

それぞれの相似関係を確認していきましょう。

3.3 1組目の相似から線分の比を求める

まず、三角形 \(DBF\) と三角形 \(DCG\) に注目します。

点 \(B,C,D\) は一直線上にあり、点 \(F,G,D\) も一直線上にあるため、

\[ \angle BDF=\angle CDG \]

が成り立ちます。

また、

\[ BF\parallel CG \]

なので、平行線の性質より、

\[ \angle DBF=\angle DCG \]

となります。

したがって、2組の角がそれぞれ等しいため、

\[ \triangle DBF\sim\triangle DCG \]

となります。

相似な三角形では、対応する辺の比が等しいので、

\[ BD:DC=BF:CG \]

となります。

したがって、

\[ \boxed{ \frac{BD}{DC}=\frac{BF}{CG} } \tag{1} \]

が得られます。

3.4 2組目の相似から線分の比を求める

次に、三角形 \(EAF\) と三角形 \(ECG\) に注目します。

点 \(A,E,C\) は一直線上にあり、点 \(F,E,G\) も一直線上にあるため、対頂角の関係から、

\[ \angle AEF=\angle CEG \]

が成り立ちます。

また、\(AF\parallel CG\) なので、平行線の錯角の関係から、

\[ \angle AFE=\angle CGE \]

が成り立ちます。

したがって、2組の角がそれぞれ等しいため、

\[ \triangle EAF\sim\triangle ECG \]

となります。

これにより、対応する辺の比から、

\[ \frac{EA}{EC}=\frac{AF}{CG} \]

が得られ、両辺の逆数を取ると、

\[ \boxed{ \frac{CE}{EA}=\frac{CG}{AF} } \tag{2} \]

が得られます。

3.5 2つの式を代入して証明を完成させる

ここまでで、次の2つの式が得られました。

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{BF}{CG} \tag{1} \]

\[ \frac{CE}{EA}=\frac{CG}{AF} \tag{2} \]

これらを、証明したい式

\[ \frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA} \]

に代入します。

すると、

\[ \begin{aligned} &\frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\\[4pt] &=\frac{AF}{FB}\times \frac{BF}{CG}\times \frac{CG}{AF}\\[4pt] &=\frac{AF\cdot BF\cdot CG} {FB\cdot CG\cdot AF}\\[4pt] &=1 \end{aligned} \]

となります。

したがって、

\[ \boxed{ \frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1 } \]

が成り立つことが分かりました。

以上で、メネラウスの定理を証明できました。

今回の証明で重要なのは、補助線によって2組の相似な三角形を作り、線分の比を約分できる形に変換したことです。

4. メネラウスの定理の覚え方

メネラウスの定理は、線分の比を掛ける順番が分からなくなりやすい公式です。

そこでおすすめなのが、三角形の頂点と直線上の交点を交互にたどる方法です。

今回の図では、次の順番で点をたどります。

点A(頂点) → 点F(交点) → 点B(頂点)

点B(頂点) → 点D(交点) → 点C(頂点)

点C(頂点) → 点E(交点) → 点A(頂点)

この順番で、隣り合う線分の長さの比を作ると、

\[ \underbrace{\frac{AF}{FB}}_{\text{A→F→B}} \times \underbrace{\frac{BD}{DC}}_{\text{B→D→C}} \times \underbrace{\frac{CE}{EA}}_{\text{C→E→A}} =1 \]

となります。

このように、頂点から交点へ進み、次の頂点へ移動することを繰り返せば、公式の順番を覚えやすくなります。

なお、今回の配置では点 \(D\) が辺 \(BC\) の延長線上にあるため、\(BD\) と \(DC\) は延長部分を含む線分の長さとして考えます。

5. メネラウスの定理とチェバの定理の違い

メネラウスの定理とよく似た定理に、チェバの定理があります。

チェバの定理では、三角形の各頂点から向かい合う辺上の点へ線分を引き、その3本が1点で交わる場合を考えます。

どちらも3つの線分の比の積が1になる定理ですが、図形の条件が異なります。

比較項目	メネラウスの定理	チェバの定理
特徴	3つの交点が一直線上にある	3本の線分が1点で交わる
主な用途	線分の比、3点の共線性の判定	線分の比、3本の線分の共点性の判定
公式	3つの比の積が1	3つの比の積が1

覚える際には、

メネラウスの定理：3つの点が一直線上にある。

チェバの定理：3本の線分が1点で交わる。

という違いを意識しましょう。

チェバの定理も、メネラウスの定理と同じように、3つの線分の比を掛け合わせると1になる公式です。

ただし、公式を利用できる条件が異なるため、2つの定理の違いを理解しておくことが大切です。

チェバの定理の使い方・証明・覚え方については、以下の記事で詳しく解説しています。

6. メネラウスの定理を使う際の注意点

6.1 3点が一直線上にあることを確認する

メネラウスの定理を使う際には、三角形の辺またはその延長線との3つの交点が、一直線上にあることを確認しましょう。

交点が一直線上にない場合、メネラウスの定理をそのまま使うことはできません。

6.2 線分の比の順番に注意する

メネラウスの定理では、線分の比を正しい順番で書く必要があります。

例えば、

\[ \frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1 \]

が成り立つ場合、3つの分数をすべて逆数にした、

\[ \frac{FB}{AF}\times \frac{DC}{BD}\times \frac{EA}{CE}=1 \]

も成り立ちます。

しかし、一部の分数だけを逆数にすると、一般には等式が成り立たなくなります。

まとめ

この記事では、メネラウスの定理の使い方・覚え方・証明について解説しました。

メネラウスの定理は、三角形の3辺またはその延長線と1本の直線との交点について、線分の比の積が1になることを表す定理です。

今回の図では、

\[ \boxed{ \frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1 } \]

が成り立ちました。

証明では、辺 \(AB\) に平行な補助線を引き、2組の相似な三角形を利用しました。

相似によって線分の比を書き換えることで、3つの分数が約分でき、積が1になることが分かりました。

メネラウスの定理は、公式を暗記するだけでなく、なぜ成り立つのか、どの順番で線分の比を作るのかまで理解しておくことが大切です。