円周角の定理とは、同じ弧に対する円周角は、中心角の半分になるという定理です。
つまり、下図のように中心角を \(\angle AOB\)、円周角を \(\angle APB\) とすると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\angle AOB = 2 \angle APB}
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
公式としてはシンプルですが、
「なぜ中心角は円周角の2倍になるの？」
「円の中心が角の内側にない場合でも成り立つの？」
と疑問に思う人もいるのではないでしょうか。
実は円周角の定理は、円の半径によってできる二等辺三角形の性質を利用することで証明できます。
ただし、円の中心 \(O\) の位置によって図形の形が変わるため、証明は大きく3つの場合に分けて考える必要があります。
本記事では、
- 円周角の定理とは何か
- なぜ中心角が円周角の2倍になるのか
- 円の中心が角の内部にある場合
- 円の中心が辺上にある場合
- 円の中心が角の外部にある場合
の順番で、図を使いながら円周角の定理を証明していきます。
公式を丸暗記するのではなく、「なぜ円周角は中心角の半分になるのか」から理解していきましょう。
1. 円周角の定理とは？｜中心角は円周角の2倍
円周角の定理とは、同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分になるという定理です。
円の中心を \(O\)、円周上の3点を \(A, B, P\) とします。
弧 \(AB\) に対する中心角が
\begin{eqnarray}
\angle AOB
\end{eqnarray}
円周角が
\begin{eqnarray}
\angle APB
\end{eqnarray}
です。
このとき、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB}
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
言い換えると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\angle AOB = 2 \angle APB}
\end{eqnarray}
です。
つまり、
中心角は円周角の2倍
円周角は中心角の2分の1
という関係になります。
一見すると、円の中心 \(O\) がどこにあっても同じ関係が成り立つのは不思議に感じるかもしれません。
そこで、なぜこの関係が成り立つのかを実際に証明してみましょう。
2. なぜ円周角は中心角の半分になるの？
円周角の定理を証明するうえでポイントとなるのが、円の半径によってできる二等辺三角形です。
円の中心 \(O\) から円周上の点 \(A, B, P\) へ線分を引くと、\(OA, OB, OP\) はすべて同じ円の半径なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle OA=OB=OP
\end{eqnarray}
となります。
そのため、例えば三角形 \(AOP\) では
\begin{eqnarray}
\displaystyle OA=OP
\end{eqnarray}
なので、二等辺三角形となり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle OAP=\angle APO
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
円周角の定理の証明では、この「半径が等しい → 二等辺三角形 → 底角が等しい」という関係を利用します。
ただし、円の中心 \(O\) の位置によって証明方法が少し変わります。
そこで、次の3つの場合に分けて証明していきましょう。
3. 円周角の定理を3つの場合に分けて証明
本章では、以下3パターンの場合において円周角の定理を証明します。
(1) 円の中心Oが∠APBの内部にある場合
まず、円の中心 \(O\) が \(\angle APB\) の内部にある場合を考えます。
証明したいのは、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\angle AOB = 2 \times \angle APB}
\end{eqnarray}
です。
(1)の証明手順
①点Pから円の中心Oに向けて直線を引き、円と交わる点をP'とする。
②三角形APOについて考える。三角形APOは二等辺三角形なので、
\begin{eqnarray}
\angle APO = \angle OAP
\end{eqnarray}
が成立する。
③「②」より、三角形APOの外角AOP'は、角APOを用いて表すと、
\begin{eqnarray}
\angle AOP' &=& \angle APO + \angle OAP \\
&=& \angle APO + \angle APO \\
&=& 2 \times \angle APO \tag{1}
\end{eqnarray}
の関係性が成立する。
④同様に、三角形BPOについても「②」「③」の考え方を適用すると、
\begin{eqnarray}
\angle BOP' &=& \angle BPO + \angle OBP \\
&=& \angle BPO + \angle BPO \\
&=& 2 \times \angle BPO \tag{2}
\end{eqnarray}
の関係性が成立することがわかる。
⑤(1)式と(2)式の両辺同士を足し合わせると、
\begin{eqnarray}
\angle AOP' + \angle BOP' &=& 2 \times \angle APO + 2 \times \angle BPO \\
&=& 2 (\angle APO + \angle BPO) \tag{3} \\
\end{eqnarray}
⑥上図より、(3)式の中で
\begin{eqnarray}
\angle AOP' + \angle BOP' = \angle AOB \\
\angle APO + \angle BPO = \angle APB
\end{eqnarray}
が成り立ちます。したがって、
\begin{eqnarray}
\angle AOB = 2 \times \angle APB \\
\end{eqnarray}
が得られ、円周角の定理を証明できました。
(2) 円の中心Oが辺AP上または辺BP上にある場合
この場合は上図の通り、二等辺三角形OPAの外角を考えると、
\begin{eqnarray}
\angle AOB &=& \angle APB + \angle OAP \\
&=& \angle APB + \angle APB \\
&=& 2 \times \angle APB
\end{eqnarray}
したがって、円の中心 \(O\) が \(\angle APB\) の一方の辺上にある場合でも、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\angle AOB = 2 \times \angle APB}
\end{eqnarray}
が成り立つことが分かります。
(3) 円の中心Oが∠APBの外部にある場合
最後に、円の中心 \(O\) が \(\angle APB\) の外部にある場合を考えます。
この場合は先ほどの2つより少し複雑ですが、すでに証明した「中心が辺上にある場合」を利用すれば証明できます。
(3)の証明手順
①点Pから円の中心Oに向けて直線を引き、円と交わる点をP'とする。
②先ほど証明した「(2)の場合」より、弧BP'について以下が成立する。
\begin{eqnarray}
\angle BOP' = 2 \times \angle BPO \tag{4} \\
\end{eqnarray}
③また、先ほど証明した「(2)の場合」より、弧AP'について以下が成立する。
\begin{eqnarray}
\angle AOP' = 2 \times \angle APO \tag{5} \\
\end{eqnarray}
④(5)式の両辺から(4)式を引くと、
\begin{eqnarray}
\angle AOP' - \angle BOP' = 2 (\angle APO - \angle BPO) \tag{6}
\end{eqnarray}
⑤上図より、(6)式の中で
\begin{eqnarray}
\angle AOP' - \angle BOP' = \angle AOB \\
\angle APO - \angle BPO = \angle APB
\end{eqnarray}
が成り立ちます。したがって、
\begin{eqnarray}
\angle AOB = 2 \times \angle APB \\
\end{eqnarray}
が得られ、円周角の定理を証明できました。
4. 円の中心を通らない場合でも円周角の定理が成り立つのはなぜ？
前章で証明したように、円の中心 \(O\) の位置が変わっても円周角の定理は成り立ちます。
円の中心が円周角の辺上にない場合でも、点 \(P\) と中心 \(O\) を結ぶ補助線を引くことによって、二等辺三角形を作ることができます。
そして、
\begin{eqnarray}
\displaystyle OA=OB=OP
\end{eqnarray}
という半径の性質を利用すれば、最終的に
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\angle AOB = 2 \times \angle APB}
\end{eqnarray}
を導くことができます。
つまり重要なのは、
「中心を通っていないから証明できない」のではなく、「自分で中心 \(O\) へ補助線を引く」
ということです。
5. 円周角の定理の証明で重要なポイント
円周角の定理の証明は一見複雑に見えますが、使っている考え方はそれほど多くありません。
特に重要なのは、次の3点です。
① 円の半径はすべて等しい
\begin{eqnarray}
\displaystyle OA=OB=OP
\end{eqnarray}
② 半径から二等辺三角形を見つける
例えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle OA=OP
\end{eqnarray}
なので、三角形 \(AOP\) は二等辺三角形です。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle OAP = \angle APO
\end{eqnarray}
となります。
③ 中心Oを通る補助線を引く
円の中心が円周角の辺上にない場合は、点 \(P\) と中心 \(O\) を結ぶ補助線を引きます。
これによって図形を二等辺三角形に分けて考えることができます。
円周角の定理は、
半径が等しい → 二等辺三角形 → 角度の関係を利用する
という流れを意識すると理解しやすくなります。
6. 円周角の定理の覚え方
最後に、円周角の定理を記号ではなく日本語で整理してまとめます。
円周角の定理そのものは、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\text{中心角} = 2 \times \text{円周角}}
\end{eqnarray}
と覚えておけばよいでしょう。
逆に円周角を求める場合は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\text{円周角} = \frac{1}{2} \times \text{中心角}}
\end{eqnarray}
です。
ただし、公式だけを丸暗記するのではなく、
「円の中心と円周上の点を結ぶと、二等辺三角形ができる」
という証明のポイントまで理解しておくと、忘れにくくなります。
まとめ｜円周角の定理は二等辺三角形を使って証明できる
本記事では、円周角の定理がなぜ成り立つのかを3つの場合に分けて証明しました。
円周角の定理では、同じ弧に対する中心角と円周角について、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\angle AOB = 2 \times \angle APB}
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
つまり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\text{円周角} = \frac{1}{2} \times \text{中心角}}
\end{eqnarray}
という関係です。
証明するときに重要なのは、円の中心 \(O\) から円周上の点へ線分を引くことです。
円の半径はすべて等しいため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle OA=OB=OP
\end{eqnarray}
となり、二等辺三角形を作ることができます。
そして、中心 \(O\) の位置によって、
- ∠APB の内部にある場合
- 辺APもしくは辺BP上にある場合
- ∠APB の外部にある場合
の3つに分けて考えれば、どの場合でも
\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle AOB = 2 \times \angle APB
\end{eqnarray}
を証明できます。
円周角の定理を単に
「中心角は円周角の2倍」
と丸暗記するのではなく、
中心と円周上の点を結ぶ → 二等辺三角形 → 角度の関係
という証明の流れまで理解しておきましょう。
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