フィボナッチ数列という言葉を聞いたことはあるでしょうか？
この数列は「前の2つの数を足す」というシンプルなルールで作られるにもかかわらず、数学や自然界、さらには芸術の分野にまで現れる非常に興味深い数列です。
さらに、このフィボナッチ数列は「黄金比」と呼ばれる美しい比とも深く関係しています。
本記事では、フィボナッチ数列の基本的な仕組みから、その規則や一般項、そして黄金比との関係について、できるだけわかりやすく解説していきます。
■フィボナッチ数列とは？
フィボナッチ数列とは、以下のような数列の事を指します。
フィボナッチ数列とは？
初項を1、第2項目を1とする。2個前の数字と1個前の数字を足し合わせる、という操作を繰り返してできる数列をフィボナッチ数列と呼びます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1,1,\underset{1+1}{\underline{2}},\underset{1+2}{\underline{3}},\underset{2+3}{\underline{5}},\underset{3+5}{\underline{8}},\underset{5+8}{\underline{13}},\underset{8+13}{\underline{21}},\underset{13+21}{\underline{34}},・・・
\end{eqnarray}
法則としては、非常にシンプルですよね。
■フィボナッチ数列の漸化式表現
このフィボナッチ数列ですが、実は以下のような形でシンプルに表現できます。
フィボナッチ数列の漸化式表現
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \tag{1}
\end{eqnarray}
ただし、\(a_{1}=1、a_{2}=1\)
これを利用すると、\(a_{3}=2\)、\(a_{4}=3\)、\(a_{5}=5\) と表現でき、よりわかりやすく定義できます。
■フィボナッチ数列の一般項の導出
\(a_{n}\) を \(n\) で表した式を一般項と言います。
フィボナッチ数列の一般項を、(1)式から導いてみましょう。
(1)式の特性方程式は
\begin{eqnarray}
\displaystyle x^2=x+1 \tag{2}
\end{eqnarray}
となるため、この特性方程式の解を \(\alpha, \beta\) （ただし、\(\alpha>\beta\) とする）と置くと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \ \ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \tag{3}
\end{eqnarray}
となります。解と係数の関係より、\(\alpha+\beta\)、\(\alpha\beta\) の値は
\begin{eqnarray}
\displaystyle \alpha+\beta&=&1 \tag{4} \\
\displaystyle \alpha\beta&=&-1 \tag{5}
\end{eqnarray}
となるので、(1)式を(4)式、(5)式の関係性を利用して表すと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_{n}=0 \tag{6}
\end{eqnarray}
となります。この式は、以下の通り2通りの形に変形することができます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n}) \tag{7} \\
\displaystyle a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_{n}) \tag{8}
\end{eqnarray}
(6)式から(7)式、(6)式から(8)式をそれぞれ導くことができます。
(7)式について、[\(a_{n+1}-\alpha a_{n}\)] を1つの数列と見ると、これは公比 \(\beta\) の等比数列となるため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_{n+1}-\alpha a_{n}=(a_{2}-\alpha a_{1})\beta^{n-1}=\underset{(4)式より、1-\alpha=\beta}{\underline{(1-\alpha)}}\beta^{n-1}=\beta^n \tag{9}
\end{eqnarray}
が成立します。同様に(8)式について、[\(a_{n+1}-\beta a_{n}\)] を1つの数列と見ると、これは公比 \(\alpha\) の等比数列となるため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_{n+1}-\beta a_{n}=(a_{2}-\beta a_{1})\alpha^{n-1}=\underset{(4)式より、1-\beta=\alpha}{\underline{(1-\beta)}}\alpha^{n-1}=\alpha^n \tag{10}
\end{eqnarray}
が成立します。最後に、(9)式の両辺から(10)式の両辺を引くと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle -(\alpha-\beta)a_n=\beta^n-\alpha^n \tag{11}
\end{eqnarray}
となるため、最終的に \(a_n\) は
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_n&=&\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\} \tag{12}
\end{eqnarray}
と求めることができ、これがフィボナッチ数列の一般項となります。
フィボナッチ数列は自然数の並びで定義されるのに対し、一般項の中には \(\sqrt{5}\) のような無理数が含まれているのが不思議ですよね。
ちなみにこの一般項はビネの公式とも呼ばれています。
(12)式が実際にフィボナッチ数列の一般項として成立するのかどうか、\(n=3\)、\(n=4\) を代入して確認してみましょう。（\(n=1\)、\(n=2\) の時の \(a_n\) の値は初項と第2項目の値のため、1になります。確認してみてください。）
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_3&=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^3\right\} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{8\sqrt{5}}\left\{1+3\sqrt{5}+15+5\sqrt{5}-\left(1-3\sqrt{5}+15-5\sqrt{5}\right)\right\} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{8\sqrt{5}}\left\{16\sqrt{5}\right\} \\
\displaystyle &=&2
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_4&=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^4-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^4\right\} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{16\sqrt{5}}\left\{1+4\sqrt{5}+30+20\sqrt{5}+25-\left(1-4\sqrt{5}+30-20\sqrt{5}+25\right)\right\} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{16\sqrt{5}}\left\{48\sqrt{5}\right\} \\
\displaystyle &=&3
\end{eqnarray}
見てもらうとわかる通り、綺麗に \(\sqrt{5}\) の部分が消えてくれて、フィボナッチ数列の項を表現できていることがわかります。
■フィボナッチ数列と黄金比の関係性
実はフィボナッチ数列は、黄金比と密接な関係性があります。
「黄金比って何だっけ？」という方は、以下の記事で定義・導出方法について詳細にまとめていますので、興味がある方は是非お立ち寄り下さい。
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黄金比（1:1.618）とは何？
意味・求め方・性質をわかりやすく解説「黄金比」という言葉を聞いたことはあるでしょうか？黄金比は「最も美しい比」とも呼ばれ、数学だけでなく、芸術や建築など様々な分野で登場します。 しかし、「具体的にどのような比なのか」「なぜそのような値に ...
黄金比とは、以下の比として定義されます。
黄金比
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1:\varphi&≒&1:1.618 \\
\end{eqnarray}
ただし、\(\displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
黄金比 \(\displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) のこの形、先ほど確認した一般項 \(a_n\) で出てきましたよね。
また、\(\displaystyle 1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) であることを利用すると、実は一般項(12)式は黄金比 \(\displaystyle \varphi\) を利用して
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_n&=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^n\right\} \tag{13}
\end{eqnarray}
と表現することもできます。とてもシンプルな形になりますね。
これだけでも十分フィボナッチ数列と黄金比の間に深い関係性があることがわかりますが、もう1つ興味深い関係性があります。
それは、フィボナッチ数列 \(a_n\) について、\(n\) が大きくなればなるほど、\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) の値が黄金比に近づいていく、という特徴を持つことです。
試しに \(n=3, 4, 5, 6, 7\) の値について、\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) の値がどうなるか見てみましょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{a_4}{a_3}&=&\frac{3}{2}=1.5 \\
\displaystyle \frac{a_5}{a_4}&=&\frac{5}{3}=1.666666\cdots \\
\displaystyle \frac{a_6}{a_5}&=&\frac{8}{5}=1.6 \\
\displaystyle \frac{a_7}{a_6}&=&\frac{13}{8}=1.625 \\
\displaystyle \frac{a_8}{a_7}&=&\frac{21}{13}=1.615384\cdots
\end{eqnarray}
このように、どんどん黄金比（≒1.618）に近づいていくことがわかります。
このことについては、高校数学で学ぶ極限の知識を利用すれば簡単に証明できます。
証明方法
(13)式を利用すると、\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) は
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}&=&\frac{\varphi^{n+1}-\left(1-\varphi\right)^{n+1}}{\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^n} \\
\end{eqnarray}
と表現できる。分母分子を \(\varphi^n\) で割ると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}&=&\frac{\varphi-(1-\varphi)\left(\frac{1-\varphi}{\varphi}\right)^n}{1-\left(\frac{1-\varphi}{\varphi}\right)^n} \\
\end{eqnarray}
となる。
ここで、\(n \rightarrow \infty\) の極限を考えると、\(\left|\frac{1-\varphi}{\varphi}\right|<1\) であることから \(\left(\frac{1-\varphi}{\varphi}\right)^n \rightarrow 0\) となるため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=&\frac{\varphi-(1-\varphi) \cdot 0}{1-0} \\
\displaystyle &=&\varphi
\end{eqnarray}
となることから、\(n\) が大きくなればなるほど、\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) の値が黄金比に限りなく近づいていくことが証明できる。
■フィボナッチ数列が自然界に現れる例
フィボナッチ数列は、自然界において以下のような場面で現れることが確認できているようです。
- ウサギのつがいの増え方
- 一般的な木の枝分かれ
- 人間の気管支や、肝臓の血管の枝分かれ
また、花びらの枚数や松ぼっくりの鱗模様の列数にも、このフィボナッチ数列の数が頻繁に現れるようです。
上記以外でも、色々な場面でこのフィボナッチ数列が現れるらしいので、興味がある方は是非調べてみてください。
■まとめ
本記事では、フィボナッチ数列の規則や性質、そして黄金比との関係について解説しました。
フィボナッチ数列は「前の2つを足す」という非常にシンプルなルールから成り立っていますが、その数列の比を見ていくと、次第に黄金比に近づいていくという興味深い性質を持っています。
このように数学では、単純なルールから思いもよらない美しい構造が現れることがあります。フィボナッチ数列と黄金比の関係は、その代表的な例と言えるでしょう。
ぜひ他の記事も参考にしながら、数学の面白さをさらに感じてみてください。