sin36°・cos36°・tan36°の値の求め方｜
倍角公式を使ってわかりやすく導出

「sin36°・cos36°・tan36°の値は、どうやって求めればいいの？」

36°は30°・45°・60°などの有名角とは異なり、三角比の値をすぐに答えるのは難しい角度です。

しかし、18°の三角比と倍角公式を利用すれば、sin36°・cos36°・tan36°の値を正確に求めることができます。

結論から示すと、それぞれの値は次の通りです。

本記事では、これらの値がどのようにして求められるのか、途中の計算をできるだけ省略せずに順番に解説します。

なお、36°の三角比は、36°・72°・72°の二等辺三角形を利用して図形的に求めることもできます。

倍角公式ではなく、図形の性質から求めてみたい方は、以下の記事も参考にしてください。

1. 36°の三角比を求めるために使う倍角公式

36°は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 36^{\circ}=2\times18^{\circ}
\end{eqnarray}

と表せます。

そのため、18°の三角比と倍角公式を利用することで、36°の三角比を求めることができます。

今回使用する主な倍角公式は、次の2つです。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\
\displaystyle \cos 2\theta &=& 2\cos^2 \theta - 1
\end{eqnarray}

また、tan36°については、sin36°とcos36°を求めた後に、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{eqnarray}

を利用します。

倍角公式そのものの導出については、以下の記事で加法定理から詳しく証明しています。

2. sin18°・cos18°の値を確認

36°の三角比を求めるために、まず18°の値を確認しておきます。

今回は、別記事で求めた次の値を利用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 18^\circ &=& \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle \cos 18^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}
\end{eqnarray}

これらの値をどのように導出するのかについては、以下の記事で詳しく解説しています。

ここから、この2つの値と倍角公式を組み合わせて36°の三角比を求めていきます。

3. sin36°の値を倍角公式から求める

まずは、sin36°を求めます。

正弦の倍角公式は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta
\end{eqnarray}

です。

ここで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \theta=18^\circ
\end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 36^\circ=2\sin 18^\circ \cos 18^\circ
\end{eqnarray}

となります。

先ほど確認した、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 18^\circ &=& \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle \cos 18^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}
\end{eqnarray}

を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^\circ&=&2\sin18^\circ \cos18^\circ \\
\displaystyle &=&2 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{10+2\sqrt{5}})}{8} \\
\end{eqnarray}

となります。

ここで、\(\sqrt{5}-1 > 0\) なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{5}-1=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}

と表せます。したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^\circ&=&\frac{(\sqrt{6-2\sqrt{5}})(\sqrt{10+2\sqrt{5}})}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
\end{eqnarray}

となります。

4. cos36°の値を倍角公式から求める

続いて、cos36°を求めます。

余弦の倍角公式、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1
\end{eqnarray}

を利用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \theta=18^\circ
\end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 36^\circ=2\cos^2 18^\circ-1
\end{eqnarray}

となります。

ここに、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}
\end{eqnarray}

を代入して整理すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos36^\circ&=&2\cos^2 18^\circ-1 \\
\displaystyle &=&2\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)^2-1 \\
\displaystyle &=&\frac{10+2\sqrt{5}}{8}-1 \\
\displaystyle &=&\frac{2+2\sqrt{5}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{1+\sqrt{5}}{4} \\
\end{eqnarray}

となります。

5. sin36°とcos36°からtan36°の値を求める

最後に、先ほど求めたsin36°とcos36°を利用して、tan36°の値を求めます。

今回は、次の公式を使用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{eqnarray}

先ほど求めたsin36°とcos36°を代入して計算すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^\circ&=&\frac{\sin36^\circ}{\cos36^\circ} \\
\displaystyle &=&\frac{\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{5}+1}{4}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}
\end{eqnarray}

続いて、分母を有理化するために、分子と分母にそれぞれ \(\sqrt{5}​-1\) を掛けます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^\circ=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}
\end{eqnarray}

ここで、\(\sqrt{5}-1 > 0\) なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{5}-1=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}

と表せます。したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^\circ&=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{16(5-2\sqrt{5})}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{4\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=& \sqrt{5-2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}

となります。

6. 36°の三角比は図形から求めることもできる

今回は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 36^{\circ}=2\times18^{\circ}
\end{eqnarray}

という関係に着目し、倍角公式を利用してsin36°・cos36°・tan36°を求めました。

しかし、36°には図形を利用した別の導出方法もあります。

36°・72°・72°の二等辺三角形を作り、相似な三角形の性質から辺の比を求めることで、36°の三角比を導出できます。

「公式を使う方法だけでなく、図形からも36°の値が出てくる理由を知りたい」という方は、こちらも参考にしてください。

まとめ

本記事では、倍角公式を利用してsin36°・cos36°・tan36°の値を求めました。

結果をまとめると、次の通りです。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\sin36^{\circ}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\cos36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\tan36^{\circ}=\sqrt{5-2\sqrt{5}}}
\end{eqnarray}

36°は30°・45°・60°のような有名角ではありませんが、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 36^{\circ}=2\times18^{\circ}
\end{eqnarray}

という関係に着目すれば、18°の三角比と倍角公式から正確な値を導出できます。

大切なのは結果を丸暗記することではなく、「どの角度とどの公式を組み合わせれば求められるのか」を理解することです。

また、36°の三角比は36°・72°・72°の二等辺三角形から図形的に導出することもできます。

異なる方法で同じ値が得られることを確認すると、三角関数と図形のつながりについても理解を深められます。