高校で学ぶ、以下の三角関数（\(\sin x, \cos x, \tan x\)）の微分公式。
三角関数の微分公式
\[\displaystyle (\sin x)' = \cos x\]
\[\displaystyle(\cos x)' = -\sin x\]
\[\displaystyle(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\]
「\(\sin x\) の微分は\(\cos x\) になる」
そう習って、公式として覚えた人は多いと思います。
でも一度はこう思いませんでしたか？
「なぜ \(\cos x\) になるの？」
三角関数の微分公式は受験でも頻出ですが、その“証明”まできちんと理解している人は意外と少ないものです。
この記事では、極限の定義から出発して、三角関数の微分公式がどのように導かれるのかを丁寧に解説します。
暗記ではなく、「納得」できる形で理解していきましょう。
この記事でわかること
- なぜ \(\sin x\) の微分が \(\cos x\) になるのか
- なぜ \(\cos x\) の微分が \(-\sin x\) になるのか
- なぜ \(\tan x\) の微分が \(\frac{1}{\cos^2 x}\) になるのか
目次
① $(\sin x)'=\cos x$ の証明
\(f(x) = \sin x\) と定義する。微分の定義より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\sin(x+h)}-\sin x}{h}
\end{eqnarray}
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\sin x\cos h+\cos x\sin h}-\sin x}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\cos x・\frac{\sin h}{h} \right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\color{blue}{\cos^2 h-1})}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
\end{eqnarray}
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\color{blue}{-\sin^2 h})}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\sin x(\sin^2 h)}{h^2(\cos h+1)}・h+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\sin x}{\color{green}{\cos h}+1}・\left(\color{green}{\frac{\sin h}{h}} \right)^2・h+\cos x・\color{green}{\frac{\sin h}{h}}\right]
\end{eqnarray}
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \left[-\frac{\sin x}{\color{green}{2}}・\color{green}{1}^2・0+\cos x・\color{green}{1} \right] \\
&=& \displaystyle \cos x
\end{eqnarray}
以上より、
\begin{equation}
f'(x) = (\sin x)' = \cos x
\end{equation}
が導出できた。
② \((\cos x)'=-\sin x\)の証明
\(f(x) = \cos x\) と定義する。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\cos(x+h)}-\cos x}{h}
\end{eqnarray}
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\cos x\cos h-\sin x\sin h}-\cos x}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\cos h-1)}{h}-\sin x・\frac{\sin h}{h} \right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\color{blue}{\cos^2 h-1})}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right]
\end{eqnarray}
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\color{blue}{-\sin^2 h})}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\cos x(\sin^2 h)}{h^2(\cos h+1)}・h-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\cos x}{\color{green}{\cos h}+1}・\left(\color{green}{\frac{\sin h}{h}} \right)^2・h-\sin x・\color{green}{\frac{\sin h}{h}}\right]
\end{eqnarray}
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \left[-\frac{\cos x}{\color{green}{2}}・\color{green}{1}^2・0-\sin x・\color{green}{1} \right] \\
&=& \displaystyle -\sin x
\end{eqnarray}
以上より、
\begin{equation}
f'(x) = (\cos x)' = -\sin x
\end{equation}
が導出できた。
③\(\displaystyle (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\) の証明
\(f(x) = \tan x\) と定義する。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\tan(x+h)}-\tan x}{h}
\end{eqnarray}
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\displaystyle \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\frac{\tan x + \tan h}{1-\tan x\tan h}}-\tan x}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan x + \tan h-\tan x(1-\tan x\tan h)}{h(1-\tan x\tan h)} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{blue}{\tan h}+\tan^2 x\color{blue}{\tan h}}{h(1-\tan x\color{blue}{\tan h})}
\end{eqnarray}
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{blue}{\frac{\sin h}{\cos h}}+\tan^2 x・\color{blue}{\frac{\sin h}{\cos h}}}{h(1-\tan x・\color{blue}{\frac{\sin h}{\cos h}})} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h+\tan^2 x\sin h}{h(\cos h-\tan x\sin h)} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h(1+\tan^2 x)}{h(\cos h-\tan x\sin h)} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\color{green}{\frac{\sin h}{h}}・\frac{1}{\color{green}{\cos h}-\tan x\color{green}{\sin h}}・(1+\tan^2 x) \right]
\end{eqnarray}
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \sin h = 0\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\color{green}{1}・\frac{1}{\color{green}{1}-\tan x・\color{green}{0}}・(1+\tan^2 x) \right] \\
&=& \displaystyle 1+\tan^2 x \\
&=& \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}
※ただし、最後の式変形では前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)）」を用いた。
以上より、
\begin{equation}
f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}
\end{equation}
が導出できた。
■まとめ
いかがでしたでしょうか？
三角関数の微分の公式自体は知っていても、1から証明ができる人は中々いないのではないかと思います。
これらの証明の流れを丸暗記する必要はありません。
しかし、三角関数の微分公式が導関数の定義から導かれていることを知っておくと、合成関数の微分や応用問題への理解が深まりますので、是非そこだけでも覚えておいてください。
最後まで本記事を読んでいただき、ありがとうございました！！