sin21°、cos21°、tan21° の値はルートを含む形で正確に求めることができます。
求め方は色々ありますが、今回は 21°＝45°-24° に着目し、加法定理を利用して丁寧に導出していきます。
本記事では、
- sin21°・cos21°・tan21° の値を求める方針
- 三角関数の加法定理の復習
- sin24°・cos24° の値の復習（別記事で導出済み）
- sin21°・cos21°・tan21° の厳密解を導出
- 求めた厳密解の妥当性の確認
という構成で話を進めていきます。
本記事で求める sin21°、cos21°、tan21° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 21^\circ &=& \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{16} \\
\displaystyle \cos 21^\circ &=& \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{16} \\
\displaystyle \tan 21^\circ &=& \frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}-(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\sqrt{5-2\sqrt{5}}+1}
\end{eqnarray}
目次
■sin21°、cos21°、tan21° を求める方針
冒頭でも軽く触れた通り、本記事では \(21^\circ=45^\circ-24^\circ\) であることを利用し、倍角公式を用いて導いていきます。
ただし、\(\tan21^\circ\) については、\(\displaystyle \frac{\sin21^\circ}{\cos21^\circ}\) を利用して求める方針とします。
■加法定理の復習
まずは三角関数の加法定理についてですが、実はこちらは既に別記事でまとめています。
以下の記事で丁寧に導出・証明しているので、気になる方は是非ご一読ください。
「そういえば、加法定理って何故成立するんだっけ？」という方におススメの記事となっています！
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三角関数の加法定理（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
■ sin24°、cos24° の値の確認
sin21°、cos21°、tan21° を求めるための前情報として、sin24°、cos24° の値を確認しておきます。
これらの値については、別記事で既に導出済みのため、その値を利用することにします。
「なんでこの値になるの？」と疑問に思う方は、以下の別記事で詳しくまとめていますので、よろしければお立ち寄り下さい。
sin24°、cos24° の値の確認
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 24^\circ &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle \cos 24^\circ &=& \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}
\end{eqnarray}
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sin24°・cos24°・tan24°の値と求め方｜
倍角公式で導出をわかりやすく解説2026/4/11 三角関数
sin24°やcos24°、tan24°の値を正確に求めることはできるのでしょうか？ 求め方は色々ありますが、今回は24°＝12°+12° に着目し、三角関数の倍角公式を利用して丁寧に導出していきます ...
■ sin21° の導出
上で確認した加法定理の公式、および、24° の時の三角関数の値を利用して、sin21° の値を求めていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 21^\circ &=& \sin (45^\circ-24^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 45^\circ \cos 24^\circ-\cos 45^\circ \sin 24^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\left\{\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}-(\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}\right\} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\left\{\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{3}(1+\sqrt{5})-\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}\right\} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\left\{\frac{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{5})+(1+\sqrt{3})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\right\} \\
\displaystyle &=& \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})(1+\sqrt{5})+(\sqrt{2}+\sqrt{6})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{16}
\end{eqnarray}
となる。
上記は因数分解された形ではなく、展開した形（カッコがない形）で表現することもできますが、個人的には上記の表現がキレイだと思ってます。
なぜなら、今回の21°の値は 21°=36°-15° の関係性を利用しても導出することができます。そして、36°、15°の三角関数の値は以下の通りです。
◆36° の時の三角関数の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle \cos36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}+1}{4} \\
\displaystyle \tan36^{\circ}&=&\sqrt{5-2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}
◆15° の時の三角関数の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \cos15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \cos15^\circ &=& 2 - \sqrt{3}
\end{eqnarray}
導出した sin21° の値を見てもらうと、各項が36°と15°の三角関数の値で構成されていることがわかりますよね。
そのため、もし36°の15°の三角関数の値が判明している状況であれば、こちらを利用した方が簡単に導出できます。
36°、15°の三角関数の値も以下でまとめていますので、よろしければ参照ください。
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■ cos21° の導出
同様に、加法定理を利用して cos21° の値を求めていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 21^\circ &=& \cos (45^\circ-24^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 45^\circ \cos 24^\circ+\sin 45^\circ \sin 24^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\left\{\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}+\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\right\} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\left\{\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(1+\sqrt{5})-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\right\} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\left\{\frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{5})+(\sqrt{3}-1)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\right\} \\
\displaystyle &=& \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{16} \\
\end{eqnarray}
となる。
■ tan21° の導出
tan21° については、\(\displaystyle \frac{\sin21^\circ}{\cos21^\circ}\) を利用して求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 21^\circ &=& \frac{\sin 21^\circ}{\cos 21^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})(1+\sqrt{5})} \times \color{red}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}} \\
\displaystyle &=& \frac{(8+4\sqrt{3})\sqrt{10-2\sqrt{5}}-4(1+\sqrt{5})}{4\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(8+4\sqrt{3})(1+\sqrt{5})} \\
\displaystyle &=& \frac{(2+\sqrt{3})\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(1+\sqrt{5})}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(2+\sqrt{3})(1+\sqrt{5})} \times \color{red}{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}} \\
\displaystyle &=& \frac{(2+\sqrt{3})\sqrt{(10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}-4}{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}+4(2+\sqrt{3})} \\
\displaystyle &=& \frac{(2+\sqrt{3})\sqrt{80-32\sqrt{5}}-4}{\sqrt{80-32\sqrt{5}}+4(2+\sqrt{3})} \\
\displaystyle &=& \frac{(2+\sqrt{3})\sqrt{5-2\sqrt{5}}-1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}+(2+\sqrt{3})} \times \color{red}{\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}-(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\sqrt{5-2\sqrt{5}}+1} \ \ \left(=\frac{\tan 36^\circ-\tan 15^\circ}{\tan 36^\circ \tan 15^\circ+1}\right) \\
\end{eqnarray}
■結果まとめと値の確認
三角関数の加法定理を利用することで、sin21°、cos21°、tan21° の値は以下の通り求めることができました。
先ほど求めた sin21°、cos21°、tan21° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 21^\circ &=& \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{16} \tag{1} \\
\displaystyle \cos 21^\circ &=& \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{16} \tag{2} \\
\displaystyle \tan 21^\circ &=& \frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}-(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\sqrt{5-2\sqrt{5}}+1} \tag{3}
\end{eqnarray}
ただ、これらの値って、本当に合っているのでしょうか？
それを確認するため、根号の値を小数第6位までの小数で表し、それを(1)式～(3)式に当てはめてみて、最終的に他サイトの三角関数表を参照して、上式の正当性の確認を行ってみましょう。
筆者が電卓を用いて計算した結果を以下に記載していきます。
計算結果の小数第6位までを利用して計算していくこととします。
sin21° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 21^\circ &=& \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{(2.449489+1.414213)\sqrt{10-2 \times 2.236067}-(2.449489-1.414213)(1+2.236067)}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{3.863702\sqrt{5.527866}-1.035276 \times 3.236067}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{3.863702 \times 2.351141 - 1.035276 \times 3.236067}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{9.084108 - 3.350222}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{5.733886}{16} \\
\displaystyle &≒& 0.358367 \tag{4}
\end{eqnarray}
cos21° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 21^\circ &=& \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})(1+\sqrt{5})}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{(2.449489-1.414213)\sqrt{10-2 \times 2.236067}+(2.449489+1.414213)(1+2.236067)}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{1.035276\sqrt{5.527866}+3.863702 \times 3.236067}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{1.035276 \times 2.351141 + 3.863702 \times 3.236067}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{2.434079 + 12.503198}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{14.937277}{16} \\
\displaystyle &≒& 0.933579 \tag{5}
\end{eqnarray}
tan21° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 21^\circ &=& \frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}-(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\sqrt{5-2\sqrt{5}}+1} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{5-2 \times 2.236067}-(2-1.732050)}{(2-1.732050)\sqrt{5-2 \times 2.236067}+1} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{0.527866}-0.26795}{0.26795\sqrt{0.527866}+1} \\
\displaystyle &≒& \frac{0.726543-0.26795}{0.26795 \times 0.726543+1} \\
\displaystyle &=& \frac{0.458593}{1.194677} \\
\displaystyle &≒& 0.383863 \tag{6}
\end{eqnarray}
国立大学が公表している三角関数表の値との比較
千葉大学理学部数学・情報物理学科の公式HPに載っている三角関数表を参考に、
上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか、確認していきます。
上記サイト内では、sin21°、cos21°、tan21° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。
千葉大学が公表している sin21°、cos21°、tan21° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 21^\circ &=& 0.3584 \\
\displaystyle \cos 21^\circ &=& 0.9336 \\
\displaystyle \tan 21^\circ &=& 0.3839
\end{eqnarray}
(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。
■まとめ
本記事では、以下のように sin21°・cos21°・tan21° の値を導出しました。
- 21°は45°-24°として考える
- 三角関数の加法定理を利用する
- sin24°・cos24° の値を活用する
ただ、一般の人は sin24° とか cos24° の値なんて知らないですよね。
むしろ 21°=36°-15° とした方が、sin36° とか sin15° の値の方がまだ有名ですから、そっちを利用する方が楽でしたね。
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