チェバの定理とは？証明・覚え方・使い方を
図解でわかりやすく解説

三角形の辺の長さの比を求める問題で、「チェバの定理」という公式を使ったことはありませんか？

チェバの定理は、三角形の3つの頂点から、それぞれ向かい合う辺に引いた線分が1点で交わるときに成り立つ定理です。

この定理を使うと、複雑な図形の問題でも、線分の長さの比を簡単に求められることがあります。

しかし、

「なぜ3つの比を掛けると1になるのか？」

「どの順番で線分の比を書けばよいのか？」

と疑問に思う方もいるのではないでしょうか。

この記事では、チェバの定理の使い方を具体例とともに解説した後、三角形の面積比を利用して公式を証明します。

さらに、公式の覚え方やチェバの定理の逆、よく似たメネラウスの定理との違いについても紹介します。

1. チェバの定理とは？

チェバの定理は、三角形の3つの頂点から向かい合う辺に引いた線分が1点で交わるとき、各辺の長さの比について成り立つ定理です。

三角形 \(ABC\) において、辺 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 上に、それぞれ点 \(D\)、\(E\)、\(F\) を取ります。

このとき、線分 \(AD\)、\(BE\)、\(CF\) が1点 \(O\) で交わるならば、次の等式が成り立ちます。

\[ \boxed{\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1} \]

この公式は、3つの頂点から引いた線分が1点で交わるという条件から、6つの線分の長さの比について関係式が得られることを示しています。

2. チェバの定理の使い方

それでは、具体的な問題を通してチェバの定理の使い方を確認しましょう。

チェバの定理より、

\[ \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \]

が成り立ちます。

ここで、

\[ \frac{AF}{FB}=\frac{2}{3} \]

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{3}{4} \]

であるため、代入すると、

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \]

となります。

左辺の数値部分を計算すると、

\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \]

両辺を2倍して、

\[ \frac{CE}{EA}=2 \]

したがって、求める比は、

\[ \boxed{CE:EA=2:1} \]

となります。

このように、チェバの定理を利用すると、3つの比のうち2つが分かっていれば、残りの1つを求めることができます。

3. チェバの定理の証明

ここからは、チェバの定理がなぜ成り立つのかを証明します。

証明には、三角形の面積比を利用します。

3.1 証明の準備

三角形 \(ABC\) において、辺 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 上に、それぞれ点 \(D\)、\(E\)、\(F\) を取ります。

また、線分 \(AD\)、\(BE\)、\(CF\) が1点 \(O\) で交わっているとします。

ここで、以降の証明では、三角形の面積を \(S\) で表すことにします。

例えば、三角形 \(ABC\) の面積は \(S_{ABC}\)、三角形 \(AOF\) の面積は \(S_{AOF}\) と表します。

チェバの定理を証明するには、

\[ \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \]

が成り立つことを示せばよいです。

3.2 線分の比を面積比で表す

まず、線分 \(AF\) と \(FB\) の比を考えます。

三角形 \(ACF\) と三角形 \(BCF\) は、どちらも辺 \(AB\) 上に底辺を持ち、頂点 \(C\) から直線 \(AB\) までの高さが共通です。

そのため、面積の比は底辺の比に等しくなります。

\[ \frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACF}}{S_{BCF}} \]

同様に、三角形 \(AOF\) と三角形 \(BOF\) についても、高さが共通なので、

\[ \frac{AF}{FB}=\frac{S_{AOF}}{S_{BOF}} \]

が成り立ちます。

したがって、

\[ \frac{S_{ACF}}{S_{BCF}}=\frac{S_{AOF}}{S_{BOF}} \]

です。

ここで、それぞれの面積を分割して考えます。

\[ S_{ACF}=S_{AOC}+S_{AOF} \]

\[ S_{BCF}=S_{BOC}+S_{BOF} \]

なので、

\[ \frac{S_{AOC}+S_{AOF}}{S_{BOC}+S_{BOF}} = \frac{S_{AOF}}{S_{BOF}} \]

となります。

両辺を交差に掛けると、

\[ (S_{AOC}+S_{AOF})S_{BOF} = (S_{BOC}+S_{BOF})S_{AOF} \]

展開して、

\[ S_{AOC}S_{BOF}+S_{AOF}S_{BOF} = S_{BOC}S_{AOF}+S_{BOF}S_{AOF} \]

両辺の共通項を消去すると、

\[ S_{AOC}S_{BOF}=S_{BOC}S_{AOF} \]

したがって、

\[ \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{S_{AOF}}{S_{BOF}} \]

となります。

先ほど、

\[ \frac{S_{AOF}}{S_{BOF}}=\frac{AF}{FB} \]

であることを示したので、

\[ \boxed{\frac{AF}{FB}=\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}} \]

が得られます。

3.3 残りの線分の比を面積比で表す

次に、同じ考え方を使って、残りの線分の比を面積比で表します。

まず、\(BD/DC\) について考えます。

三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) は、頂点 \(A\) から直線 \(BC\) までの高さが共通なので、

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} \]

が成り立ちます。

また、三角形 \(OBD\) と三角形 \(OCD\) についても、

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{S_{OBD}}{S_{OCD}} \]

です。

ここで、

\[ S_{ABD}=S_{AOB}+S_{OBD} \]

\[ S_{ACD}=S_{AOC}+S_{OCD} \]

なので、

\[ \frac{S_{AOB}+S_{OBD}}{S_{AOC}+S_{OCD}} = \frac{S_{OBD}}{S_{OCD}} \]

となります。

両辺を交差に掛けると、

\[ (S_{AOB}+S_{OBD})S_{OCD} = (S_{AOC}+S_{OCD})S_{OBD} \]

展開して、

\[ S_{AOB}S_{OCD}+S_{OBD}S_{OCD} = S_{AOC}S_{OBD}+S_{OCD}S_{OBD} \]

共通項を消去すると、

\[ S_{AOB}S_{OCD}=S_{AOC}S_{OBD} \]

したがって、

\[ \frac{S_{AOB}}{S_{AOC}} = \frac{S_{OBD}}{S_{OCD}} = \frac{BD}{DC} \]

となります。

よって、

\[ \boxed{\frac{BD}{DC}=\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}}} \]

が得られます。

同様に、\(CE/EA\) についても考えると、

\[ \boxed{\frac{CE}{EA}=\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}} \]

が得られます。

3.4 3つの面積比を掛け合わせる

ここまでで、次の3つの関係式が得られました。

\[ \frac{AF}{FB}=\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} \]

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}} \]

\[ \frac{CE}{EA}=\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}} \]

これらを掛け合わせると、

\[ \begin{aligned} &\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\\[6pt] &=\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} \cdot\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}} \cdot\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}\\[6pt] &=1 \end{aligned} \]

となります。

これは、分子と分母に同じ三角形の面積が現れ、すべて約分されるためです。

したがって、

\[ \boxed{\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1} \]

が証明されました。

4. チェバの定理の覚え方

チェバの定理は、三角形の頂点と辺上の交点を順番にたどることで、簡単に覚えることができます。

今回の図では、次の順番で点をたどります。

点A（頂点）→ 点F（交点）→ 点B（頂点）

点B（頂点）→ 点D（交点）→ 点C（頂点）

点C（頂点）→ 点E（交点）→ 点A（頂点）

この順番で、隣り合う線分の長さの比を作ると、

\[ \underbrace{\frac{AF}{FB}}_{\scriptsize A\to F\to B} \times \underbrace{\frac{BD}{DC}}_{\scriptsize B\to D\to C} \times \underbrace{\frac{CE}{EA}}_{\scriptsize C\to E\to A} =1 \]

となります。

このように、頂点から交点へ進み、次の頂点へ移動することを繰り返せば、公式の順番を覚えやすくなります。

なお、スタートする頂点は \(A,B,C\) のどこでも構いません。また、三角形をたどる方向も時計回り・反時計回りのどちらでも問題ありません。

5. チェバの定理の逆

ここまでは、3本の線分が1点で交わる場合に、チェバの定理が成り立つことを説明しました。

実は、その逆も成り立ちます。

三角形 \(ABC\) において、辺 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 上に、それぞれ点 \(D\)、\(E\)、\(F\) を取ります。

このとき、

\[ \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \]

が成り立つならば、線分 \(AD\)、\(BE\)、\(CF\) は1点で交わります。

これを「チェバの定理の逆」といいます。

6. チェバの定理とメネラウスの定理の違い

チェバの定理とよく似た定理に、「メネラウスの定理」があります。

どちらも3つの線分の比を掛け合わせると1になるという共通点がありますが、適用する条件が異なります。

比較項目	チェバの定理	メネラウスの定理
条件	3本の線分が1点で交わる	3つの点が一直線上に並ぶ
公式	3つの比の積が1	3つの比の積が1
主な用途	線分の比を求める、共点を示す	線分の比を求める、共線を示す
図形の特徴	三角形の内部に交点がある	三角形の辺や延長線上に交点がある

チェバの定理では、3本の線分が1点で交わることが重要です。

一方、メネラウスの定理では、3つの点が一直線上に並ぶことが重要です。

そのため、問題の図を見て、どちらの条件が成り立っているかを確認することが大切です。

メネラウスの定理については、以下の記事で詳しく解説しています。

まとめ

この記事では、チェバの定理の使い方、証明、覚え方について解説しました。

チェバの定理は、三角形の3つの頂点から向かい合う辺に引いた線分が1点で交わるときに成り立つ定理です。

公式は、

\[ \boxed{\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1} \]

です。

公式を覚えるときは、三角形の辺に沿って一方向に線分の比を作ることを意識しましょう。

また、この定理は三角形の面積比を利用することで証明できます。

公式を暗記するだけでなく、なぜ成り立つのかを理解しておくことで、さまざまな図形の問題に応用しやすくなります。