「ネイピア数」という名前を聞いたことはありますか？
ネイピア数とは、\(e\) という記号で表される数で、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e=2.718281828459⋯
\end{eqnarray}
と続く無理数です。
円周率 π が図形や円に関係する重要な数であるのに対して、ネイピア数 e は、指数関数や対数関数、微分・積分など、数学の様々な場面で登場する重要な数です。
また、ネイピア数は単に「2.71828……と続く数」というだけではありません。
\begin{eqnarray}
\displaystyle e=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
\end{eqnarray}
という極限から自然に現れたり、複利計算などの数学的なモデルにも登場したりします。
この記事では、ネイピア数とは何なのか、どのように定義されるのか、なぜ数学で重要なのかについて、できるだけわかりやすく解説していきます。
1. ネイピア数とは？
ネイピア数とは数学定数の1つであり、\(e\) と表現されます。
ネイピア数は以下のような定数であり、小数部分は無限に続きます。「2.71」くらいまでは覚えておくと良いでしょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 … \tag{1}
\end{eqnarray}
この定数はどうやったら出てくるのかについては次の項番で説明しますが、ネイピア数は高校数学においてとても重要です。
どのくらい重要かと言うと、中学数学における \(\pi\) くらい重要です。
重要な理由としては、「指数関数」「対数関数」「微分」「極限」の分野で頻出かつ重要な役割を果たすためです。
本記事では、この数がどこから出てきて、なぜ重要なのかを見ていきます。
2. ネイピア数 \(e\) はどうやって定義される？
ネイピア数 \(e\) は、以下のように定義されます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle e := \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \tag{2}
\end{eqnarray}
この値が、先ほど見たように定数 \(2.71828...\) となるわけですが、、、信じづらいですよね。
「本当にそのような値となるのか？」については、色々な \(n\) の値を代入して確認することができます。
試しに
\begin{eqnarray}
\displaystyle e_n := \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \tag{3}
\end{eqnarray}
と定義し、色々な \(n\) の値を代入してみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e_1&=&\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2 \\
\displaystyle e_2&=&\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2.25 \\
\displaystyle e_3&=&\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=\left(\frac{4}{3}\right)^3=\frac{64}{27}=2.370... \\
\displaystyle e_4&=&\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=\left(\frac{5}{4}\right)^4=\frac{625}{256}=2.441... \\
\displaystyle e_5&=&\left(1+\frac{1}{5}\right)^5=\left(\frac{6}{5}\right)^5=\frac{7776}{3125}=2.488... \\
\displaystyle e_{10}&=&\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}=\left(\frac{11}{10}\right)^{10}=2.594... \\
\displaystyle e_{100}&=&\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100}=\left(\frac{101}{100}\right)^{100}=2.705... \\
\displaystyle e_{1000}&=&\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000}=\left(\frac{1001}{1000}\right)^{1000}=2.717...
\end{eqnarray}
となり、\(n=1000\) くらいになると小数第2位くらいまで値が一致してきます。
この \(n\) の値を限りなく大きくしていくとある定数に近づいてきます。
それが(2)式で定義されるネイピア数であり、その値が(1)の定数のようになるわけです。
3. なぜ \(\displaystyle (1+\frac{1}{n})^n\) という式が出てくるのか？
ネイピア数は元々、複利計算の際に発見された定数です。
試しに100万円を1年間、資産運用することを考えた際の複利を例にとって考えて見ましょう。
(例1) 100万円を年利100%、かつ1年複利で資産運用した場合
この場合は、先ほど定義した \(e_n\) の \(n=1\) の場合に相当するため、計算式としては
\begin{eqnarray}
\displaystyle e_1=\left(1+\color{red}{\underset{=年利100\%}{\underline{\color{black}{\frac{1}{1}}}}} \right)^{\color{red}{\underset{=年間の複利発生回数}{\underline{\color{black}{1}}}}}=2
\end{eqnarray}
となります。これは、元々の資産が2倍になることを意味するため、1年後の資産は200万円になります。
(例2) 100万円を年利50%、かつ半年複利で資産運用した場合
この場合は、先ほど定義した \(e_n\) の \(n=2\) の場合に相当するため、計算式としては
\begin{eqnarray}
\displaystyle e_2=\left(1+\color{red}{\underset{=年利50\%}{\underline{\color{black}{\frac{1}{2}}}}} \right)^{\color{red}{\underset{=年間の複利発生回数}{\underline{\color{black}{2}}}}}≒2.25
\end{eqnarray}
となります。これは、元々の資産が2.25倍になることを意味するため、1年後の資産は225万円になります。
(例3) 100万円を年利25%、かつ3ヵ月複利で資産運用した場合
この場合は、先ほど定義した \(e_n\) の \(n=4\) の場合に相当するため、計算式としては
\begin{eqnarray}
\displaystyle e_4=\left(1+\color{red}{\underset{=年利25\%}{\underline{\color{black}{\frac{1}{4}}}}} \right)^{\color{red}{\underset{=年間の複利発生回数}{\underline{\color{black}{4}}}}}=2.44
\end{eqnarray}
となります。これは、元々の資産が2.44倍になることを意味するため、1年後の資産は244万円になります。
以上、3つの例を挙げました。
お察しの通り、この調子で「年間の複利発生回数」を増やしていけば、最終的にはネイピア数 \(e\) の値（2.718...）と一致するようになります。
逆に言うと、この法則でどれだけ「年間の複利発生回数」を増やしても、資産を \(2.72\) 倍以上に増やすことはできない、ということが言えます。
正体不明のネイピア数でしたが、実態は複利計算の際に導出された定数だったわけです。
今から300年以上前、スイスの数学者だったヤコブ・ベルヌーイという方がこの定数を発見されたと言われています。
4. ネイピア数のもう一つの定義（無限級数を用いた定義）
実はネイピア数は、以下のような無限級数で表現することもできます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle e &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \tag{4}
\end{eqnarray}
試しに最初の10項程度を計算してみると、ネイピア数 \(e\) の値にどんどん近づいていくのがわかると思います。
それでは、何故ネイピア数 \(e\) は(4)式のように表現できるのでしょうか。
これは少し発展的な内容なのですが、 \(e^x\) という関数をマクローリン展開すると、以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^x &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n \tag{5}
\end{eqnarray}
あとは(5)式において、\(x=1\) を代入すれば(4)式の形になります。
「いや、そもそもマクローリン展開って何だよ！」という方がほとんどだと思います。
これは大学数学で学ぶ内容ではありますが、考え方は高校数学の範囲でも理解することができます。
以下記事にて高校数学の範囲でも理解できる形にまとめていますので、興味がある方は是非お立ち寄りください。
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5. なぜネイピア数は数学で重要なのか？
重要である理由の１つとしては、以下が成立するためです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle (e^x)' &=& e^x \tag{6}
\end{eqnarray}
つまりネイピア数 \(e\) には、\(e^x\) を \(x\) で微分しても同じ形になるという特徴があります。
これが成立する理由としては、任意の数 \(a\) （ただし、\(a>0\)とする）について、以下の微分公式が成立します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle (a^x)' &=& a^x \log_{e}{a} \tag{7}
\end{eqnarray}
(7)式において、\(a=e\) の場合を考えると、(6)式が成立します。つまり、(7)式において \(a=e\) の場合というのは、微分しても同じ形となる唯一の定数ということになります。
ちなみに(7)式の証明・導出については以下記事にてできるだけ丁寧にまとめていますので、気になる方は是非お立ち寄りください。
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指数関数・対数関数の微分公式の証明
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ちなみに \(e^x\) は微分しても同じ形となるわけなので、もちろん積分しても同じ形となります。
これも重要な特徴なので、併せて覚えておくと良いでしょう。
6. ネイピア数と自然対数
ネイピア数を底とする対数は自然対数と呼ばれます。
ネイピア数を底とする場合は、底の値を省略するのが一般的です。（何故こんなことするんだ、、、）
\begin{eqnarray}
\displaystyle &✕& \log_{e}{2} \\
\displaystyle &〇& \log{2}
\end{eqnarray}
さらに困ったことに、常用対数というものも存在します。これは底の値が10である対数を指しますが、こちらも自然対数と同様、底の値を省略する場合があります。（ひどい、、、）
それを区別できるようにするためかどうかはわかりませんが、自然対数の場合は \(\log\) ではなく \(\ln\) と表記することがありますので、併せて押さえておきましょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \log_{e}{2} & \to & \ln{2}
\end{eqnarray}
このように自然対数と常用対数を区別する方法があるのはありがたいですよね。
ちなみに \(\ln\) は「logarithm natural（日本語訳は”自然対数”）」のイニシャルを取ったものです。
7. ネイピア数 e の性質まとめ
ネイピア数 \(e\) の定義や由来についてはこれまで述べてきましたが、他の特徴について以下にまとめます。
ネイピア数 \(e\) の特徴まとめ
①ネイピア数 \(e\) は無理数である。
※無理数とは、分数の形で表すことができない数のこと。
②ネイピア数 \(e\) は超越数である。
※超越数とは、有理数（分数）を係数とするどのような代数方程式の解にもならない数のこと。
③ネイピア数 \(e\) は小数部分が無限に続くが、小数部分は循環しない。
④ \(e^x\) は、微分しても形は変わらない。
\begin{eqnarray}
\displaystyle (e^x)' = e^x
\end{eqnarray}
⑤ネイピア数 \(e\) は自然対数の底であり、自然対数 \(\log{x}\) を微分すると \(\displaystyle \frac{1}{x}\) となる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle (\log{x})' = \frac{1}{x}
\end{eqnarray}
8. オイラーの公式に出てくるネイピア数
この世で最も美しい公式の１つとして、オイラーの公式というものがあります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^{i \pi}+1=0 \tag{8}
\end{eqnarray}
この公式の何がそんなに美しいのか、虚数 \(i\) を既に学んだ高校生であれば、その美しさが理解できるでしょう。
それぞれ異なる考え方から導かれた定数である \(e\) と \(\pi\)、そして虚数単位 \(i\) を結びつける公式としてここまでキレイな公式は他にないでしょう。
(8)式の導出過程についても、以下記事にて丁寧にまとめてみてますので、よろしければ覗いてみて下さい。
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9. まとめ
今回は、ネイピア数 e について解説しました。
ネイピア数は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e=2.718281828459⋯
\end{eqnarray}
と続く無理数であり、代表的な定義の一つとして
\begin{eqnarray}
\displaystyle e=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
\end{eqnarray}
と表すことができます。
ネイピア数 \(e\) は指数関数や対数関数だけでなく、微分・積分、複利計算、自然現象の数学的なモデルなど、様々な分野で登場します。
今回の記事でネイピア数の基本を理解したら、次は自然対数や指数関数、オイラーの公式などについても学んでみると、e が数学の中でどのようにつながっているのかがより深く理解できるでしょう。
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