本記事では sin36°・cos36°・tan36° の値の求め方について解説します。
36°は三角関数の有名角（30°や45°など）とは少し異なる角度ですが、三角関数の倍角公式を利用することで正確な値を求めることができます。
本記事では、まず sin18°・cos18° の値を確認した上で、倍角公式を利用して sin36°・cos36°・tan36° の値を順を追って導出していきます。
本記事で導出する sin36°、cos36°、tan36° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle \cos36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}+1}{4} \\
\displaystyle \tan36^{\circ}&=&\sqrt{5-2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}
目次
■三角関数の倍角公式の復習
まずは、三角関数の倍角公式の復習から始めましょう。
倍角公式は、以下となります。
三角関数の倍角・三倍角の公式（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\
\displaystyle \cos 2\theta &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
\displaystyle \tan 2\theta &=& \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} \\
\end{eqnarray}
この倍角公式は暗記してもいいですが、三角関数の加法定理から導出し、都度確認するのがおススメです。
詳細については以下の過去記事でまとめていますので、是非参考にしてみて下さい。
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三角関数の倍角公式・三倍角公式の導出｜
加法定理から証明三角関数には「倍角公式」や「三倍角公式」と呼ばれる重要な公式があります。 これらの公式は計算でよく使われますが、どのようにして導出されるのかを理解しているでしょうか？ 実はこれらの公式は、三角関数の加 ...
■sin18°、cos18°、tan18° の値の復習
これらの値については、別記事で導出した以下の値をそのまま利用します。
以下の値の導出過程・導出方法については以下記事にまとめてますので、お時間ある方は是非お立ち寄りください。
別記事で求めた sin18°、cos18°、tan18° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle \cos18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle \tan18^{\circ}&=&\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}
\end{eqnarray}
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sin18°・cos18°・tan18°の値の求め方｜
倍角・三倍角の公式から丁寧に導出【18°】は準有名角と呼ばれています。 これらの角度は「有名角」ではありませんが、倍角公式や三倍角公式を利用することで、根号を含む形で正確に求めることができます。 本記事では三角関数の公式を利用しなが ...
■ \(\sin36^{\circ}\) の導出
先ほど確認した \(\sin18^{\circ}\)、 \(\cos18^{\circ}\) の値と、倍角の公式（\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)）を利用すれば求められる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^\circ&=&2\sin18^\circ \cos18^\circ \\
\displaystyle &=&2・\frac{\sqrt{5}-1}{4}・\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}(\sqrt{10+2\sqrt{5}})}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{(\sqrt{6-2\sqrt{5}})(\sqrt{10+2\sqrt{5}})}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
■ \(\cos36^{\circ}\) の導出
先ほど確認した \(\cos18^{\circ}\) の値と、倍角の公式（\(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\)）を利用すれば求められる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos36^\circ&=&2\cos^2 18^\circ-1 \\
\displaystyle &=&2\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)^2-1 \\
\displaystyle &=&\frac{10+2\sqrt{5}}{8}-1 \\
\displaystyle &=&\frac{1+\sqrt{5}}{4} \\
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
■ \(\tan36^{\circ}\) の導出
先ほど求めた \(\sin36^{\circ}\) と \(\cos36^{\circ}\) を、三角関数の基本公式（\(\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)）に当てはめて求めていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^\circ&=&\frac{\sin36^\circ}{\cos36^\circ} \\
\displaystyle &=&\frac{\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{5}+1}{4}}・\color{red}{\frac{4}{4}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}・\color{red}{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{5-1} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{4\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=& \sqrt{5-2\sqrt{5}} \\
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
■sin36°、cos36°、tan36° の値の正当性の確認
倍角の公式を利用することで、sin36°、cos36°、tan36° の値は以下の通り求めることができました。
先ほど導出した sin36°、cos36°、tan36° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \tag{1} \\
\displaystyle \cos36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}+1}{4} \tag{2} \\
\displaystyle \tan36^{\circ}&=&\sqrt{5-2\sqrt{5}} \tag{3}
\end{eqnarray}
ただ、これらの値って、本当に合っているのでしょうか？
それを確認するため、以下の値を(1)式～(3)式に当てはめてみて、最終的に他サイトの三角関数表を参照して、上式の正当性の確認を行ってみましょう。
sin36°、cos36°、tan36°の値（小数形式）
sin36°の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
&≒& \frac{\sqrt{10-2 \cdot 2.236067}}{4} \\
&=& \frac{\sqrt{10-4.472134}}{4} \\
&=& \frac{\sqrt{5.527866}}{4} \\
&≒& \frac{2.351141}{4} \\
&≒& 0.587785 \tag{4}
\end{eqnarray}
cos36°の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}+1}{4} \\
&≒& \frac{2.236067+1}{4} \\
&=& \frac{3.236067}{4} \\
&≒& 0.809016 \tag{5}
\end{eqnarray}
tan36°の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^{\circ}&=&\sqrt{5-2\sqrt{5}} \\
&≒& \sqrt{5-2 \cdot 2.236067} \\
&=& \sqrt{5-4.472134} \\
&=& \sqrt{0.527866} \\
&≒& 0.726543 \tag{6}
\end{eqnarray}
国立大学が公表している三角関数表の値との比較
千葉大学理学部数学・情報物理学科の公式HPに載っている三角関数表を参考に、
上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか、確認していきます。
上記サイト内では、sin36°、cos36°、tan36° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。
千葉大学が公表している sin36°、cos36°、tan36° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 36^\circ &=& 0.5878 \\
\displaystyle \cos 36^\circ &=& 0.8090 \\
\displaystyle \tan 36^\circ &=& 0.7265
\end{eqnarray}
(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。
■まとめ
本記事では、三角関数の倍角公式を利用して sin36°・cos36°・tan36° の値を導出しました。
36°のような一見中途半端な角度でも、三角関数の公式をうまく利用することで、根号を含む形で正確な値を求めることができます。
三角関数では今回のように、既に分かっている角度の値と公式を組み合わせることで、様々な角度の三角関数の値を求めることが可能です。公式を単に暗記するだけでなく、その導出過程を理解しておくことで、より深く三角関数を理解できるようになります。
本サイトでは他にも、三角関数の公式の証明や様々な角度の値の求め方について解説していますので、興味のある方はぜひ他の記事も参考にしてみてください。