三角比の値を求めるとき、30°・45°・60° などの角度であれば、直角三角形の辺の比から簡単に求めることができます。
しかし、75° のような角度では、どのように求めればよいのでしょうか？
実は、75° を 45°＋30° と考えることで、三角関数の加法定理を利用して求めることができます。
まず、結論から紹介します。
本記事で求めるsin75°、cos75°、tan75°の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \approx 0.965926 \\
\displaystyle \cos 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \approx 0.258819 \\
\displaystyle \tan 75^\circ &=& 2+\sqrt{3} \approx 3.73205
\end{eqnarray}
本記事では、これらの値がどのように導かれるのか、三角関数の加法定理を使って、途中式を省略せずにわかりやすく解説します。
1. sin75°、cos75°、tan75° を求めるための準備
75° の三角比を求めるために、まず次の関係に注目します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ
\end{eqnarray}
45° と 30° の三角比は、次のようになります。
sin30° や sin45° など、30°、45° の三角比は頻繁に使うため、基本的な値として覚えておくと便利です。
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わかりやすく解説三角関数とは、角度 \(\theta\) によって値が決まる関数で、代表的なものに \begin{eqnarray}\displaystyle \sin\theta, \quad \cos\theta ...
| 角度 | 45° | 30° |
| sin | \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\) |
| cos | \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| tan | \(1\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
したがって、これらの値を加法定理に代入すれば、75°の三角比を求めることができます。
ここでは、次の3つの加法定理を利用します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(A+B)&=&\sin A\cos B+\cos A\sin B \\
\displaystyle \cos(A+B)&=&\cos A\cos B-\sin A\sin B \\
\displaystyle \tan(A+B)&=&\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}
\end{eqnarray}
加法定理の公式の証明については以下記事で丁寧に解説しています！
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公式・使い方・証明をわかりやすく解説2026/9/29
三角関数には、2つの角の和や差を扱うための「加法定理」と呼ばれる重要な公式があります。 代表的なものが、 \begin{eqnarray}\displaystyle \sin(\alpha+\beta ...
それでは、それぞれの値を実際に求めていきましょう。
2. sin75° の値と求め方
まず、正弦の加法定理を利用して sin75° の値を求めます。
75°＝45°＋30° であることから、加法定理のAに45°、Bに30°を代入します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& \sin (45^\circ+30^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ+\cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ
\end{eqnarray}
ここで、45° と 30° の三角比の値を代入すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
したがって、sin75°の値は次のように求められます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}
\end{eqnarray}
3. cos75° の値と求め方
次に、余弦の加法定理を利用して cos75° の値を求めます。
75°＝45°＋30° であることから、加法定理のAに 45°、Bに 30° を代入します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 75^\circ &=& \cos (45^\circ+30^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ-\sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ
\end{eqnarray}
ここで、45° と 30° の三角比の値を代入すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 75^\circ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
したがって、cos75° の値は次のように求められます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}
\end{eqnarray}
4. tan75° の値と求め方
最後に、正接の加法定理を利用して tan75° の値を求めます。
75°＝45°＋30° であることから、加法定理のAに 45°、Bに 30° を代入します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 75^\circ &=& \tan (45^\circ+30^\circ) \\
\displaystyle &=& \frac{\tan 45^\circ+\tan 30^\circ}{1-\tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
\end{eqnarray}
ここで、45° と 30° の正接の値は次のとおりです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 45^\circ = 1, \quad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
\end{eqnarray}
これらを代入すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 75^\circ &=& \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \\
\displaystyle &=& \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}
\end{eqnarray}
ここで、分母に根号が含まれているため、分母と分子に \(3＋\sqrt{3}\) を掛けて有理化します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan75^\circ
&=&\frac{(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} \\
&=&\frac{9+6\sqrt{3}+3}{9-3} \\
&=&\frac{12+6\sqrt{3}}{6} \\
&=&2+\sqrt{3}
\end{eqnarray}
したがって、tan75° の値は次のように求められます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\tan75^\circ = 2+\sqrt{3}}
\end{eqnarray}
5. 75° と 15° の三角比の関係
75° と 15° には、次の関係があります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle 75^\circ+15^\circ=90^\circ
\end{eqnarray}
このように、2つの角度の和が 90° になるとき、三角関数には次の関係が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta \\
\displaystyle \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta
\end{eqnarray}
これらの公式に \(\theta＝15^\circ\) を代入すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin75^\circ
&=&\sin(90^\circ-15^\circ)\
&=&\cos15^\circ
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos75^\circ
&=&\cos(90^\circ-15^\circ)\
&=&\sin15^\circ
\end{eqnarray}
また、正接（tan）については次の関係が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan75^\circ
&=&\tan(90^\circ-15^\circ)\
&=&\frac{1}{\tan15^\circ}
\end{eqnarray}
このように、75° の三角比は 15° の三角比と密接な関係があります。
15° の三角比についても、45°−30° と考えることで、加法定理から求めることができます。
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まとめ
本記事では、三角関数の加法定理を利用して、sin75°、cos75°、tan75° の値を求めました。
それぞれの値は、次のとおりです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\tan75^\circ=2+\sqrt{3}}
\end{eqnarray}
75° の三角比を求める際に重要なのは、75° を 45°＋30° と考えることです。
このように、求めたい角度を三角比の値がわかっている角度の和や差に分解することで、加法定理を利用してさまざまな角度の三角比を求められます。
公式を丸暗記するのではなく、加法定理を使って自分で導出できるようにしておきましょう。