sin75°・cos75°・tan75°の値はどのように求めるのでしょうか。
三角関数では
30°、45°、60°の三角比はよく知られていますが、
75°の三角比は覚えていない人も多いのではないでしょうか。
しかし、75°は
75° = 45° + 30°
と表すことができるため、
三角関数の 加法定理 を使えば簡単に求めることができます。
この記事では
- 加法定理の復習
- 加法定理を使った求め方
- （参考）sin15°・cos15°・tan15°の値との関連性
- 求めたsin75°・cos75°・tan75°の値が実際に合っているのか確認
という流れで話を進めていきます。
本記事で求めるsin75°、cos75°、tan75°の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} ≒ 0.965925 \\
\displaystyle \cos 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} ≒ 0.258819 \\
\displaystyle \tan 75^\circ &=& 2+\sqrt{3} ≒ 3.73205
\end{eqnarray}
目次
■加法定理の復習
まずは三角関数の加法定理についてですが、実はこちらは既に別記事でまとめています。
以下の記事で丁寧に導出・証明しているので、気になる方は是非ご一読ください。
「そういえば、加法定理って何故成立するんだっけ？」という方におススメの記事となっています！
-
-
三角関数の加法定理をわかりやすく証明｜
\(\sin, \cos, \tan\) の加法定理の公式を丁寧に導出2026/3/8
三角関数の加法定理は、\(\sin, \cos, \tan\) を扱ううえで欠かせない重要な公式です。本記事では、その加法定理がなぜ成り立つのかを、図と式を用いて丁寧に証明します。 本記事で証明する三 ...
半角関数の公式（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha+\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
■ sin75°、cos75°、tan75° を加法定理を使って求める
いよいよ本番です。
上で確認した加法定理を利用して、sin75°・cos75°・tan75° を求めていきます。
sin75°、cos75°、tan75°の値
sin75°の値
三角関数の加法定理より、sin75°の値は
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& \sin (30^\circ+45^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ+\cos 30^\circ \cdot \sin 45^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \tag{1}
\end{eqnarray}
となる。
sin30°やsin45°の値は超頻出であり、暗記しておいた方がよいでしょう。
このあたりの単元は、以下記事でまとめていますので、お時間ある方は是非参照してみて下さい！
-
-
三角関数とは？｜
基本から定義・性質・使い方まで解説2026/3/8
三角関数とは、三角形の辺と角の関係を表す関数であり、\(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\) のような形で表されます。本記事では、三角関数の基本とな ...
cos75°の値
三角関数の加法定理より、cos75°の値は
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 75^\circ &=& \cos (30^\circ+45^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ-\sin 30^\circ \cdot \sin 45^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \tag{2}
\end{eqnarray}
となる。
tan75°の値
三角関数の加法定理より、tan75°の値は
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 75^\circ &=& \tan (30^\circ+45^\circ) \\
\displaystyle &=& \frac{\tan 30^\circ+\tan 45^\circ}{1-\tan 30^\circ \cdot \tan 45^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\
\displaystyle &=& \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2} \\
\displaystyle &=& 2+\sqrt{3} \tag{3}
\end{eqnarray}
となる。
上で求めたsin75°、cos75°の値を利用して、\(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) の公式からtan75°を求めることもできましたが、あえて加法定理を使ってみました。
よければご自身で \(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) を利用してtan75°を求めて見て、答えが一致するか比較してみて下さい！
■ sin15°、cos15°、tan15° の値との関連性について
以前、半角公式の導出・証明に関する記事を出しました。
-
-
三角関数の半角公式の導出｜
sin15°やcos15°の値も求められる三角関数には「半角公式」と呼ばれる便利な公式があります。 この公式を利用すると、sin15°やcos15°などの値を求めることも可能になります。 では、この半角公式はどのようにして導出されるのでしょう ...
こちらの記事で、sin15°、cos15°、tan15°の値は以下の通り求められることを示しました。
※tan15°については導出してなかったので、↓で急遽導出しています。
半角公式の記事で求めたsin15°、cos15°、tan15°の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \cos 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \tan 15^\circ &=& \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\
\displaystyle &=& \frac{2}{(\sqrt{3}+1)^2} \\
\displaystyle &=& \frac{1}{2+\sqrt{3}}
\end{eqnarray}
上の結果と、sin75°・cos75°・tan75° の値を見比べてみて下さい。
非常に似てる形になってますよね。
これは、三角関数の以下公式が成立するためです。以下の公式は暗記する必要はなく、加法定理で求められます。
※tanについてはtan90°が未定義のため、加法定理は使えません。
そのため、\(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) で求めましょう。
三角関数の重要公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin (90^\circ-\theta) &=& \cos \theta \\
\displaystyle \cos (90^\circ-\theta) &=& \sin \theta \\
\displaystyle \tan (90^\circ-\theta) &=& \frac{1}{\tan \theta}
\end{eqnarray}
つまり、sin75°・cos75°・tan75° の値は、sin15°・cos15°・tan15° の値を知っていれば、↑の公式から導くこともできます。
まあ、一般の方は sin15°、cos15°、tan15° の値を覚えていないので、
おとなしく 75°＝30°＋45°として加法定理を使って導きましょう。
■sin75°、cos75°、tan75° の値の正当性の確認
三角関数の加法定理を利用することで、sin75°、cos75°、tan75° の値は以下の通り求めることができました。
先ほど求めた sin75°、cos75°、tan75° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \cos 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \tan 75^\circ &=& 2+\sqrt{3}
\end{eqnarray}
ただ、これらの値って、本当に合っているのでしょうか？
それを確認するため、以下の値を(1)式～(3)式に当てはめてみて、最終的に他サイトの三角関数表を参照して、上式の正当性の確認を行ってみましょう。
筆者が電卓を用いて計算した結果を以下に記載していきます。
計算結果の小数第6位までを利用して計算していくこととします。
sin75°、cos75°、tan75° の値（小数形式）
sin75° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle &≒& \frac{2.449489+1.414213}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{3.863702}{4} \\
\displaystyle &≒& 0.965925 \tag{4}
\end{eqnarray}
cos75° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle &≒& \frac{2.449489-1.414213}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{1.035276}{4} \\
\displaystyle &≒& 0.258819 \tag{5}
\end{eqnarray}
tan75° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 75^\circ &=& 2+\sqrt{3} \\
\displaystyle &≒& 2+1.732050 \\
\displaystyle &=& 3.73205 \tag{6}
\end{eqnarray}
国立大学が公表している三角関数表の値との比較
千葉大学理学部数学・情報物理学科の公式HPに載っている三角関数表を参考に、
上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか、確認していきます。
上記サイト内では、sin75°、cos75°、tan75° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。
千葉大学が公表している sin75°、cos75°、tan75° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& 0.9659 \\
\displaystyle \cos 75^\circ &=& 0.2588 \\
\displaystyle \tan 75^\circ &=& 3.7321
\end{eqnarray}
(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。
■まとめ
本記事では、三角関数の公式を利用して
- sin75°
- cos75°
- tan75°
の値を導出しました。
計算の結果、以下のような値になることが分かりました。
本記事で求めた sin75°、cos75°、tan75° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \cos 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \tan 75^\circ &=& 2+\sqrt{3}
\end{eqnarray}
やはり有名角の加算や減算で表現できる角度の三角関数は、結構キレイな形になりますね。
また、小数に直した値を三角関数表と比較し、今回導出した値が正しいことも確認できました。
このあたりの知識・導出は大学受験でも必須のレベルとなりますので、不安な方は今一度是非確認してみてください。
また、三角関数の理解を深めたい方は、以下の記事もぜひ参考にしてみてください。
関連記事
ここまで記事を読んでいただき、ありがとうございました。