三角関数の半角公式とは？
導出・覚え方・sin15°の求め方をわかりやすく解説

三角関数には、角度を半分にしたときの値を求める「半角公式」があります。

代表的な半角公式は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1-\cos\theta}{2} \\
\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1+\cos\theta}{2}
\end{eqnarray}

です。

この公式を使えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 15^\circ=\frac{30^\circ}{2}
\end{eqnarray}

であることを利用して、\(\sin 15^\circ\) や \(\cos 15^\circ\) の値を求めることもできます。

しかし、

「なぜ半角公式が成り立つの？」

「平方根をつけたときの \(\pm\) はどうやって決めるの？」

と疑問に思う人もいるのではないでしょうか。

実は半角公式は、三角関数の倍角公式を少し変形するだけで簡単に導出できます。

本記事では、

• 半角公式とは何か
• 半角公式がどのように導出されるのか
• 半角公式の符号はどう決めるのか
• 半角公式を使った \(\sin 15^\circ\)、\(\cos 15^\circ\) の求め方
• \(\sin 22.5^\circ\)、\(\cos 22.5^\circ\) の求め方

について、途中式を省略せずに順番に解説していきます。

公式を丸暗記するのではなく、「なぜこの公式になるのか」から理解していきましょう。

1. 半角公式とは？

半角公式とは、名前の通り角度を半分にしたときの三角関数の値を求めるための公式です。

代表的な半角公式は、次の2つです。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin^2 \frac{\theta}{2}} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{1-\cos\theta}{2}} \\
\displaystyle \color{red}{\cos^2 \frac{\theta}{2}} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\end{eqnarray}

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \theta=30^\circ
\end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{\theta}{2}=15^\circ
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2 15^\circ &=& \frac{1-\cos 30^\circ}{2}
\end{eqnarray}

となります。

\(\cos 30^\circ\) の値は

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}

と分かっているため、ここから \(\sin 15^\circ\) の値を求めることができます。

つまり半角公式を利用すると、すでに値が分かっている角度から、その半分の角度の三角関数を求めることができるわけです。

ただし、公式だけを見ると、

「そもそも、なぜこのような式が成り立つの？」

と思いますよね。

そこで、ここから半角公式を実際に導出してみましょう。

2. 半角公式を倍角公式から導出

半角公式の導出には、次の \(\cos\) の倍角公式を利用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
\end{eqnarray}

また、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta
\end{eqnarray}

を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
\displaystyle &=& (1-\sin^2 \theta)-\sin^2 \theta \\
\displaystyle &=& 1-2\sin^2 \theta
\end{eqnarray}

となります。

同様に、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta
\end{eqnarray}

を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
\displaystyle &=& \cos^2 \theta - (1-\cos^2 \theta) \\
\displaystyle &=& 2\cos^2 \theta - 1
\end{eqnarray}

となります。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cos 2\theta=1-2\sin^2 \theta=2\cos^2 \theta - 1}
\end{eqnarray}

という関係が得られます。

ここから \(\sin^2 \theta, \cos^2 \theta\) について解いてみましょう。

\(\sin\) の半角公式を導出

まず、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta=1-2\sin^2 \theta
\end{eqnarray}

を変形すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2\sin^2 \theta=1-\cos 2\theta
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin^2 \theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}}
\end{eqnarray}

となります。

ここで、\(\theta\) を \(\displaystyle \frac{\theta}{2}\) に置き換えると、\(\sin\) の半角公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin^2 \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}}
\end{eqnarray}

が得られます。

\(\cos\) の半角公式を導出

同様に、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1
\end{eqnarray}

を変形すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2\cos^2 \theta=1+\cos 2\theta
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos^2 \theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray}

となります。

ここで、\(\theta\) を \(\displaystyle \frac{\theta}{2}\) に置き換えると、\(\cos\) の半角公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cos^2 \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}}
\end{eqnarray}

が得られます。

以上より、以下2つの半角公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin^2 \frac{\theta}{2}} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{1-\cos\theta}{2}} \\
\displaystyle \color{red}{\cos^2 \frac{\theta}{2}} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\end{eqnarray}

という2つの半角公式を導出することができました。

3. 半角公式の ± はどう決める？

先ほど導出した半角公式は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1-\cos\theta}{2} \\
\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1+\cos\theta}{2}
\end{eqnarray}

でした。

それでは、2乗を外すとどうなるでしょうか。

平方根を取るため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} &=& \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} \\
\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} &=& \pm \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\end{eqnarray}

となります。

ここで注意したいのが、\(\pm\) のどちらを使うのかです。

平方根の前の符号は、求めたい角度がどの象限にあるかによって決まります。

求めたい角度	\(\sin\)	\(\cos\)
第1象限（\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\)）	\(+\)	\(+\)
第2象限（\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\)）	\(+\)	\(-\)
第3象限（\(180^\circ \lt \theta \lt 270^\circ\)）	\(-\)	\(-\)
第4象限（\(270^\circ \lt \theta \lt 360^\circ\)）	\(-\)	\(+\)

例えば、これから求める \(15^\circ\) は第一象限にあります。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ>0, \quad \cos 15^\circ>0
\end{eqnarray}

なので、\(\sin 15^\circ, \cos 15^\circ\) を半角公式で求める場合は、どちらも平方根の正の値を選びます。

4. 半角公式を使った \(\sin15^\circ\)、\(\cos15^\circ\) の求め方

\(\sin15^\circ\)、\(\cos15^\circ\) の値は以下の通りです。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin 15^\circ} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} \\
\displaystyle \color{red}{\cos 15^\circ} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}
\end{eqnarray}

それでは、なぜこの値になるのかを半角公式から求めてみましょう。

\(\sin15^\circ\) の値を求める

\(15^\circ\) は第1象限にあるため、\(\sin 15^\circ>0\) です。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}
\end{eqnarray}

に

\begin{eqnarray}
\displaystyle \theta=30^\circ
\end{eqnarray}

を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ&=&\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}
\end{eqnarray}

となります。

これだけでも \(\sin 15^\circ\) の正しい値ですが、教科書などでは

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}

という形をよく見かけます。

そこで、この形まで変形してみましょう。

なぜ \(\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) になる？

まず、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2-\sqrt{3}
\end{eqnarray}

について、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\sqrt{3}-1)^2=4-2\sqrt{3}
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2-\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}
\end{eqnarray}

と変形できます。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ&=&\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}

となります。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}
\end{eqnarray}

と求めることができます。

\(\cos15^\circ\) の値を求める

同様に、\(15^\circ\) は第1象限にあるため、\(\cos 15^\circ>0\) です。

半角公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}
\end{eqnarray}

に \(\theta=30^\circ\) を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 15^\circ&=&\sqrt{\frac{1+\cos 30^\circ}{2}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}
\end{eqnarray}

となります。

ここで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\sqrt{3}+1)^2=4+2\sqrt{3}
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2+\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}
\end{eqnarray}

と変形できます。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 15^\circ&=&\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}

となります。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cos 15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}
\end{eqnarray}

と求めることができます。

5. 半角公式を使った \(\sin22.5^\circ\)、\(\cos22.5^\circ\) の求め方

半角公式を使えば、\(15^\circ\) 以外の角度も求めることができます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 22.5^\circ=\frac{45^\circ}{2}
\end{eqnarray}

であることを利用して、\(\sin22.5^\circ\)、\(\cos22.5^\circ\) を求めることができます。

\(\sin22.5^\circ\) の値を求める

\(22.5^\circ\) は第1象限にあるため、\(\sin 22.5^\circ>0\) です。

半角公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}
\end{eqnarray}

に \(\theta=45^\circ\) を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 22.5^\circ&=&\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} \\
\displaystyle &=&\color{red}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}
\end{eqnarray}

となります。

\(\cos22.5^\circ\) の値を求める

同様に、\(22.5^\circ\) は第1象限にあるため、\(\cos 22.5^\circ>0\) です。

半角公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}
\end{eqnarray}

に \(\theta=45^\circ\) を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 22.5^\circ&=&\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} \\
\displaystyle &=&\color{red}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}
\end{eqnarray}

となります。

6. 半角公式はどんな時に使う？

半角公式は、値が分かっている角度の半分の角度について、\(\sin, \cos\) の値を求めたいときに便利です。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 30^\circ &\to& 15^\circ \\
\displaystyle 45^\circ &\to& 22.5^\circ
\end{eqnarray}

のように使うことができます。

さらに、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 15^\circ \to 7.5^\circ
\end{eqnarray}

のように、半角公式を繰り返し利用することも可能です。

つまり、

『求めたい角度の2倍なら値が分かる』

という場合は、半角公式が使えないか考えてみるとよいでしょう。

また、半角公式は三角関数の値を求めるだけでなく、三角関数を含む式の変形や積分などでも利用されます。

7. 半角公式の覚え方

半角公式は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1-\cos\theta}{2} \\
\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1+\cos\theta}{2}
\end{eqnarray}

と丸暗記しても構いません。

ただ、符号を混同しやすい公式でもあります。

そこで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta&=&1-2\sin^2 \theta \\
\displaystyle \cos 2\theta&=&2\cos^2 \theta-1
\end{eqnarray}

という倍角公式からその場で導出できるようにしておくのがおすすめです。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta&=&1-2\sin^2 \theta
\end{eqnarray}

なら、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2\sin^2 \theta=1-\cos 2\theta
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2 \theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray}

とすぐに導出できます。

まとめ｜半角公式は倍角公式から簡単に導出できる

本記事では、三角関数の半角公式の導出と、半角公式を使った \(\sin 15^\circ\)、\(\cos 15^\circ\) などの求め方を解説しました。

半角公式は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin^2 \frac{\theta}{2}} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{1-\cos\theta}{2}} \\
\displaystyle \color{red}{\cos^2 \frac{\theta}{2}} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\end{eqnarray}

です。

これらの公式は、\(\cos\) の倍角公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta=1-2\sin^2 \theta=2\cos^2 \theta - 1
\end{eqnarray}

を変形することで導出できます。

また、平方根を使う場合は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} &=& \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} \\
\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} &=& \pm \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\end{eqnarray}

となり、符号は求めたい角度がどの象限にあるかによって決まります。

そして、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 15^\circ=\frac{30^\circ}{2}
\end{eqnarray}

なので、半角公式を利用すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin 15^\circ} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} \\
\displaystyle \color{red}{\cos 15^\circ}&\color{red}{=}& \color{red}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}
\end{eqnarray}

と求めることができます。

半角公式を単独で丸暗記するのではなく、

倍角公式 → 式変形 → 半角公式

という流れを理解しておけば、公式を忘れてしまっても自分で導出できるようになります。