微分とは？ なぜ微分すると接線の傾きが
求められるのかをわかりやすく解説

「微分すると接線の傾きが求められる」と習ったけれど、

「そもそも、なぜ微分すると傾きが求められるの？」

と疑問に思ったことはないでしょうか。

微分とは、簡単にいうと「ある瞬間における変化の割合」を求めるための方法です。

そして関数のグラフでは、この「瞬間の変化の割合」が、その点における接線の傾きとして表れます。

ポイントとなるのは、2点を通る直線の傾きを考え、その2点を限りなく近づけていくことです。

本記事では、

• 微分とは何なのか
• なぜ微分すると接線の傾きが求められるのか
• 接線の傾きは実際にどう求めるのか
• 微分すると、なぜ関数のグラフの形がわかるのか

について、図と数式を使いながら順番に解説します。

微分公式を丸暗記するのではなく、「微分とは結局何をしているのか」を理解していきましょう。

1. 微分とは？｜一言でいうと「瞬間の変化の割合」

微分とは何かを一言で表すと、

「ある瞬間における変化の割合を求めること」

です。

例えば、自動車が1時間で60km進んだのであれば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{60\text{km}}{1\text{h}}=60\text{km/h}
\end{eqnarray}

として、1時間の「平均的な」速さを求めることができます。

しかし、

「出発してからちょうど30分後の瞬間の速さは？」

と聞かれたらどうでしょうか。

「30分後」という一瞬には時間の幅がないため、単純に「距離÷時間」を計算することはできません。

そこで、30分後の少し前と少し後を考え、その時間の幅を限りなく小さくしていきます。

このように、変化を考える区間を限りなく小さくして、その瞬間の変化の割合を求める考え方が微分です。

そして関数のグラフでは、この「瞬間の変化の割合」が接線の傾きとして表れます。

2. 傾きとは？｜まずは2点を通る直線の傾きを考える

微分と接線の関係を考える前に、まずは「傾き」について確認しておきましょう。

次のような関数 \(y=f(x)\) のグラフ上に、

\begin{eqnarray}
\displaystyle A(a, f(a)), \quad B(b, f(b))
\end{eqnarray}

という2点があるとします。

点Aと点Bを通る直線の傾きを \(L\) とすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \text{傾き} = \frac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}}
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle L=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \tag{1}
\end{eqnarray}

となります。

これは中学校で学習する「直線の傾き」とまったく同じ考え方です。

このような、曲線上の異なる2点A、Bを通る直線を割線といいます。

したがって、(1)式は点Aと点Bを通る割線の傾きを表しています。

3. なぜ微分すると接線の傾きが求められるの？

「微分すると接線の傾きが求められる理由」について、以下3STEPに分けて解説していきます。

STEP1：点A・点Bを通る割線の傾きを考える

先ほど求めた割線の傾きは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle L=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\end{eqnarray}

でした。

しかし、私たちが知りたいのは、点Aと点Bを通る直線の傾きではありません。

点Aにおける接線の傾きです。

では、割線から接線を作るにはどうすればよいでしょうか。

STEP2：点Bを点Aへ限りなく近づける

答えはシンプルです。

点Bを点Aへ限りなく近づけていきます。

点Bを点Aへ近づけていくと、点Aと点Bを通る割線も少しずつ変化していきます。

そして点Bを点Aへ限りなく近づけたとき、割線が限りなく近づいていく直線が、点Aにおける接線です。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \text{接線の傾き}=\lim_{b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \tag{2}
\end{eqnarray}

と表すことができます。

この極限が存在するとき、その値が点Aにおける接線の傾きになります。

これが、「微分すると接線の傾きが求められる」理由です。

STEP3：\(h\) を使って微分の形にする

ここで、点Aと点Bの \(x\) 座標の差を \(h\) とおいてみましょう。

点Aから点Bまでの \(x\) 方向の差を

\begin{eqnarray}
\displaystyle h=b-a
\end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle b=a+h
\end{eqnarray}

です。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(b)=f(a+h)
\end{eqnarray}

となります。

また、点Bを点Aへ限りなく近づけることは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle b \to a
\end{eqnarray}

すなわち

\begin{eqnarray}
\displaystyle h \to 0
\end{eqnarray}

と同じです。

よって(2)式は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{3}
\end{eqnarray}

と表すことができます。

この \(f'(a)\) を、\(x=a\) における微分係数といいます。

そしてこの値こそが、

関数 \(y=f(x)\) の \(x=a\) における接線の傾き

なのです。

4. 導関数とは？｜接線の傾きを関数として表したもの

先ほどは、特定の点 \(x=a\) における接線の傾きを

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{eqnarray}

と表しました。

では、特定の点だけではなく、グラフ上の各点 \(x\) における接線の傾きを表せるようにしてみましょう。

\(a\) を \(x\) に置き換えると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{eqnarray}

となります。

この \(f'(x)\) を、\(f(x)\) の導関数といいます。

つまり、

■ 微分係数 \(f'(a)\)
　→ \(x=a\) という特定の点における接線の傾き

■ 導関数 \(f'(x)\)
　→ \(x\) の値を入れることで、それぞれの点の接線の傾きを求められる関数

という関係です。

5. 実際に微分して接線の傾きを求めてみよう

では、実際に微分を使って接線の傾きを求めてみましょう。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=x^2
\end{eqnarray}

の \(x=2\) における接線の傾きを求めます。

\(x^2\) を微分すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x)=2x
\end{eqnarray}

です。

\(x=2\) を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(2)=4
\end{eqnarray}

となります。

したがって、\(y=x^2\) の \(x=2\) における接線の傾きは \(\color{red}{4}\) です。

このように、

1. 関数を微分して導関数 \(f'(x)\) を求める
2. 傾きを知りたい点の \(x\) 座標を代入する

という2ステップで、接線の傾きを求めることができます。

6. 微分すると関数のグラフの形がわかる

ここまでで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x)\text{：} x \text{における接線の傾き}
\end{eqnarray}

という関係がわかりました。

この性質を利用すると、関数のグラフがどのような形をしているのかを調べることができます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x
\end{eqnarray}

を考えてみましょう。

微分すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& x^2+4x+3 \\
\displaystyle &=& (x+1)(x+3)
\end{eqnarray}

となるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = 0
\end{eqnarray}

となるのは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x = -1, -3
\end{eqnarray}

です。

\(f'(x) = 0\) ということは、その点における接線の傾きが \(0\) ということです。

接線の傾きが \(0\) なら、その接線は \(x\) 軸に平行になります。

確認のため、\(f(x)\) のグラフを実際に描画してみると以下のようになります。

この関数では、\(x=-3\) の前後で \(f'(x)\) が正から負へ変化するため、\(x=-3\) で極大となります。

一方、\(x=-1\) の前後では \(f'(x)\) が負から正へ変化するため、\(x=-1\) で極小となります。

7. 導関数の定義から実際に微分してみよう

普段は

\begin{eqnarray}
\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1}
\end{eqnarray}

などの微分公式を使えば簡単に計算できます。

しかし、これらの公式も大元をたどれば、先ほど導出した

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{eqnarray}

という導関数の定義から導くことができます。

そこで最後に、導関数の定義を直接使って、先ほど例として用いた関数

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x
\end{eqnarray}

を微分してみたいと思います。微分した結果が、先ほどと同じ結果になることを確認することが目的です。

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{\left(\frac{1}{3}(x+h)^3+2(x+h)^2+3(x+h)\right)-\left(\frac{1}{3}x^3+2x^2+3x\right)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{\left(\frac{1}{3}(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)+2(x^2+2hx+h^2)+3(x+h)\right)-\left(\frac{1}{3}x^3+2x^2+3x\right)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{\left(\frac{1}{3}x^3+x^2h+xh^2+\frac{1}{3}h^3+2x^2+4hx+2h^2+3x+3h\right)-\left(\frac{1}{3}x^3+2x^2+3x\right)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{x^2h+xh^2+\frac{1}{3}h^3+4hx+2h^2+3h}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left(x^2+4x+3+\underset{h \to 0 で消える項}{\underline{xh+\frac{1}{3}h^2+2h}}\right) \\
\displaystyle &=& x^2+4x+3 \\
\end{eqnarray}

以上より、同じ結果になることが確認できました。

8. 【補足】なぜ \(h = 0\) をそのまま代入してはいけない？

導関数の定義

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{eqnarray}

を見て、

「\(h \to 0\) なら、最初から \(h=0\) を代入すればいいのでは？」

と思うかもしれません。

しかし、\(h=0\) を直接代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{f(x)-f(x)}{0}=\frac{0}{0}
\end{eqnarray}

となり、値を決めることができません。

ここで重要なのが、\(h \to 0\) と \(h=0\) は同じではないということです。

\(h \to 0\) は、

「\(h\) を 0 にはせず、0 ではない値を取りながら限りなく 0 へ近づける」

という意味です。

例えば、\(f(x)=x^2\) なら、\(h \neq 0\) のとき、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\
\displaystyle &=&\frac{2xh+h^2}{h} \\
\displaystyle &=&2x+h
\end{eqnarray}

と変形できます。

その上で、\(h \to 0\) の極限を取ると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x)&=&\lim_{h\to0}(2x+h) \\
\displaystyle &=&2x
\end{eqnarray}

となります。

つまり、\(h = 0\) を代入しているのではなく、\(h\) を 0 へ限りなく近づけたときの値を調べているのです。

まとめ：なぜ微分＝接線の傾きなのか

本記事では、「微分とは何なのか」「なぜ微分すると接線の傾きが求められるのか」について解説しました。

微分の考え方の出発点は、2点を通る直線の傾き

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\end{eqnarray}

です。

点Bを点Aへ限りなく近づけることで、割線は点Aにおける接線へ近づいていきます。

そのため、\(x=a\) における接線の傾きは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{eqnarray}

と表すことができます。

つまり、

微分＝ある瞬間の変化の割合を求めること

であり、関数のグラフでは、

微分した値＝その点における接線の傾き

となります。

「微分すると接線の傾きが求められる」という事実だけを覚えるのではなく、

2点を通る割線の傾き → 2点を限りなく近づける → 接線の傾き

という流れを理解しておけば、導関数の定義

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{eqnarray}

も丸暗記する必要はありません。

微分の意味が理解できたら、次は実際に微分公式がどのように導かれるのかを確認してみましょう。