微分計算では、次のような公式を使う場面がよくあります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &=& \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\
\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x)) &=& f'(g(x))g'(x)
\end{eqnarray}
これらはそれぞれ、商の微分公式、合成関数の微分公式と呼ばれます。
公式として覚えている方も多いと思いますが、
「なぜ商の微分はこの形になるの？」
「なぜ合成関数を微分すると、外側の微分と内側の微分を掛けるの？」
と疑問に思ったことはないでしょうか。
本記事では、商の微分公式と合成関数の微分公式を、途中式を省略せずに証明していきます。
さらに、これらの公式を利用して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^n\right)' = nx^{n-1}
\end{eqnarray}
が、指数 \(n\) が負の整数や有理数の場合にも成り立つことを確認します。
なお、定数・定数倍・和・差・積や、正の整数 \(n\) に対する \(x^n\) の微分公式については、別記事で証明しています。
1. 商・合成関数・べき関数の微分公式一覧
まず、本記事で扱う微分公式を確認しておきましょう。
① 商の微分公式
商の微分公式は以下の通りです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\left(\frac{1}{g(x)}\right)'} &\color{red}{=}& \color{red}{-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}} \\
\displaystyle \color{red}{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}
\end{eqnarray}
ただし、商を考えるため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle g(x) \neq 0 \\
\end{eqnarray}
とします。
② 合成関数の微分公式
合成関数の微分公式は以下の通りです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\frac{d}{dx}f(g(x))} &\color{red}{=}& \color{red}{f'(g(x))g'(x)}
\end{eqnarray}
また、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=f(u), \ \ \ \ \ u=g(x)
\end{eqnarray}
と置けば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\frac{dy}{dx}} &\color{red}{=}& \color{red}{\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}}
\end{eqnarray}
とも表せます。
③ べき関数の微分公式
べき関数の微分公式は以下の通りです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{(x^n)'} &\color{red}{=}& \color{red}{nx^{n-1}}
\end{eqnarray}
前の記事では \(n\) が正の整数の場合を証明しました。
本記事では、商の微分公式や合成関数の微分公式を利用して、負の整数や有理数の場合へ拡張していきます。
2. 商の微分公式の証明
まず、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{1}{g(x)}\right)' &=& -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}
を証明します。
ただし、以下では
\begin{eqnarray}
\displaystyle g(x) \neq 0
\end{eqnarray}
とします。
本証明には、導関数の定義
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag{1}\\
\end{eqnarray}
を利用します。
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) = \frac{1}{g(x)}
\end{eqnarray}
とすると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x+h) = \frac{1}{g(x+h)}
\end{eqnarray}
なので、(1)式に代入して計算すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{1}{g(x)}\right)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{g(x)-g(x+h)}{h・g(x)・g(x+h)} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} -\color{purple}{\underset{h \to 0 で g'(x)}{\underline{\color{black}{\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)}}}}・\frac{1}{g(x)}・\color{purple}{\underset{h \to 0 で \frac{1}{g(x+h)} \to \frac{1}{g(x)}}{\underline{\color{black}{\frac{1}{g(x+h)}}}}} \\
\displaystyle &=& -g'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \cdot \frac{1}{g(x)} \\
\displaystyle &=& -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}
となるため、商の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{1}{g(x)}\right)' &=& -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}
が証明できました。
関数 \(g(x)\) が \(x\) で微分可能ならば \(x\) で連続なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{h \to 0} g(x+h) \to g(x)
\end{eqnarray}
となります。
3. 一般的な商の微分公式の証明
次に、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &=& \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}
を証明します。
商は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \dfrac{f(x)}{g(x)}=f(x)・\dfrac{1}{g(x)}
\end{eqnarray}
と書くことができます。
したがって、積の微分公式より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &=& \left(f(x)・\frac{1}{g(x)}\right)' \\
\displaystyle &=& f'(x)・\frac{1}{g(x)}+f(x)・\color{purple}{\underset{= -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}{\underline{\color{black}{\left(\frac{1}{g(x)}\right)'}}}}
\end{eqnarray}
ここで、先ほど証明した
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{1}{g(x)}\right)' &=& -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}
を代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &=& \frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\
\displaystyle &=& \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}
となるため、一般的な商の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &=& \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}
が証明できました。
4. 合成関数とは？
合成関数の微分公式を証明する前に、そもそも「合成関数」とは何か確認しておきましょう。
例えば、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y = u^2+2u+1 \\
u = 2x+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
という2つの式を考えます。
\(y\) は \(u\) の関数であり、\(u\) は \(x\) の関数です。
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=f(u), \ \ \ \ \ u=g(x)
\end{eqnarray}
と表すと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=f(g(x))
\end{eqnarray}
となります。
このように、ある関数の中に別の関数を入れて作られる関数
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(g(x))
\end{eqnarray}
を合成関数と呼びます。
今回の例では、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(u) = u^2+2u+1 \\
g(x) = 2x+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(g(x)) &=& (2x+1)^2+2(2x+1)+1 \\
\displaystyle &=& 4x^2+4x+1+4x+2+1 \\
\displaystyle &=& 4x^2+8x+4
\end{eqnarray}
となります。
これを直接微分すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x)) = 8x+8
\end{eqnarray}
です。
では、わざわざ \(g(x)\) を代入して展開しなくても微分できる方法はないのでしょうか。
そこで使うのが、合成関数の微分公式です。
5. 合成関数の微分公式を使ってみよう
先ほどの、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y = u^2+2u+1 \\
u = 2x+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を合成関数の微分公式で微分してみましょう。
まず、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=u^2+2u+1
\end{eqnarray}
を \(u\) で微分すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{du}=2u+2
\end{eqnarray}
です。
また、
\begin{eqnarray}
\displaystyle u=2x+1
\end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{du}{dx}=2
\end{eqnarray}
です。
したがって、合成関数の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}
\end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}&=&(2u+2) \cdot 2 \\
\displaystyle &=&4u+4 \\
\displaystyle &=&4(2x+1)+4 \\
\displaystyle &=&8x+8
\end{eqnarray}
これは、先ほど \(u=2x+1\) を代入してから直接微分した結果と一致します。
このように、合成関数の微分公式を使うことで、複雑な合成関数でも展開せずに微分できるようになります。
6. 合成関数の微分公式を直感的に理解する
合成関数の微分公式は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}
\end{eqnarray}
と表せます。
この式だけを見ると、
\begin{eqnarray}
\require{cancel}
\displaystyle \frac{dy}{\cancel{du}}\frac{\cancel{du}}{dx}=\frac{dy}{dx}
\end{eqnarray}
のように、 \(du\) が約分されているように見えます。
そのため、
「外側を微分して、内側の微分を掛ける」
と覚えると理解しやすいです。
ただし、ここで使っている
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{du}, \ \ \ \ \ \frac{du}{dx}
\end{eqnarray}
は通常の分数そのものではないため、厳密には普通の分数と同じように約分しているわけではありません。
では、なぜ実際に
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}
\end{eqnarray}
が成り立つのでしょうか。
次章で、導関数の定義を使って確認します。
7. 合成関数の微分公式を証明
合成関数
\begin{eqnarray}
\displaystyle y = f(g(x)) \tag{2}
\end{eqnarray}
を考えます。
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle u = g(x)
\end{eqnarray}
と置くと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y = f(u)
\end{eqnarray}
を表すことができます。
このとき、合成関数の微分公式は
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}}
\end{eqnarray}
または
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)}
\end{eqnarray}
と表されます。
では、なぜこの公式が成り立つのでしょうか。
まず、導関数の定義より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \tag{3}
\end{eqnarray}
となります。
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \Delta u = g(x+h)-g(x)
\end{eqnarray}
とおきます。
すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle g(x+h) = g(x) + \Delta u
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u)-f(g(x))}{h} \tag{4}
\end{eqnarray}
と書くことができます。
ここで、導関数の定義式の形を作るために、右辺を \(\Delta u\) を用いて次のように変形します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{f(g(x) + \Delta u)-f(g(x))}{h}=\frac{f(g(x) + \Delta u)-f(g(x))}{\color{blue}{\Delta u}} \cdot \frac{\color{blue}{\Delta u}}{h} \tag{5}
\end{eqnarray}
ここで、\(h \to 0\) のとき、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \Delta u=g(x+h)-g(x) \to 0
\end{eqnarray}
となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}=f'(g(x)) \tag{6}
\end{eqnarray}
です。
また、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{\Delta u}{h}=\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\Delta u}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) \tag{7}
\end{eqnarray}
となります。
(6)式、(7)式より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)
\end{eqnarray}
となります。
ここで、\(y=f(g(x))\) なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx} f(g(x))
\end{eqnarray}
と表すことができます。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)}
\end{eqnarray}
が得られます。
つまり、合成関数
\begin{eqnarray}
\displaystyle y = f(g(x))
\end{eqnarray}
を微分する時は、
外側の関数 \(f\) を微分し、そこに \(g(x)\) を代入したものに、内側の関数 \(g(x)\) の微分を掛ける
と考えればよいことがわかります。
上の証明では、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}=f'(g(x))
\end{eqnarray}
という形を利用しました。
これは、\(g(x)\) を1つの変数とみなしたときの導関数の定義そのものです。
また、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{\Delta u}{h}=\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\end{eqnarray}
は \(g(x)\) の導関数の定義です。
そのため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}
\end{eqnarray}
という公式は、単に「\(du\) を約分している」のではなく、2つの導関数を組み合わせた結果として成り立っていると考えるとよいでしょう。
上の証明では、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{f(g(x) + \Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}
\end{eqnarray}
という式を扱うため、\(\Delta u = g(x+h)-g(x) \neq 0\) の場合を考えて式変形しています。
厳密な証明では \(\Delta u = 0\) となる場合についても考慮する必要がありますが、その証明には高校数学を少し超える内容が必要となります。
本記事では、合成関数の微分公式が導関数の定義からどのように導かれるのかを理解しやすくすることを優先し、上の形で説明しています。
8. \(x^n\) の微分公式｜\(n\) が負の整数の場合
正の整数 \(n\) について、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^n\right)' = nx^{n-1}
\end{eqnarray}
が成り立つことは別記事で証明しました。
ここでは \(n\) が負の整数の場合を考えます。
なお、負の整数乗では \(x=0\) で関数が定義されないため、以下では
\begin{eqnarray}
\displaystyle x \neq 0
\end{eqnarray}
とします。
負の整数 \(n\) に対して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle m=-n
\end{eqnarray}
と置けば、\(m\) は正の整数です。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x^n=x^{-m}=\frac{1}{x^m}
\end{eqnarray}
となります。
商の微分公式より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle (x^n)' &=& \left( \frac{1}{x^m} \right)' \\
\displaystyle &=& -\frac{(x^m)'}{(x^m)^2} \\
\displaystyle &=& -\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} \\
\displaystyle &=& -mx^{m-1-2m} \\
\displaystyle &=& -mx^{-m-1} \tag{8} \\
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle -m=n
\end{eqnarray}
であるため、(8)式を \(n\) を用いて表すと
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\left(x^n\right)' = nx^{n-1}}
\end{eqnarray}
となります。
したがって、\(n\) が負の整数の場合にも、同じ微分公式が成り立ちます。
9. \(x^n\) の微分公式｜\(n\) が有理数の場合
最後に、指数 \(n\) が有理数の場合を考えます。
ここでは定義域の問題を避けるため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x>0
\end{eqnarray}
として考えます。
有理数 \(n\) は、整数 \(a\) と正の整数 \(b\) を使って、
\begin{eqnarray}
\displaystyle n = \frac{a}{b}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) = x^{\frac{a}{b}}
\end{eqnarray}
とします。
両辺を \(b\) 乗すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)\}^b = x^a
\end{eqnarray}
です。
次に、この両辺を \(x\) で微分します。
左辺では先ほど証明した合成関数の微分公式を利用することに注意して微分すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle b\{f(x)\}^{b-1}・f'(x) = ax^{a-1}
\end{eqnarray}
となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& \frac{ax^{a-1}}{b\{f(x)\}^{b-1}}
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) = x^{\frac{a}{b}}
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& \frac{a}{b} \frac{x^{a-1}}{\{x^{\frac{a}{b}}\}^{b-1}} \\
\displaystyle &=& \frac{a}{b}・x^{a-1-a+\frac{a}{b}} \\
\displaystyle &=& \frac{a}{b}x^{\frac{a}{b}-1} \\
\end{eqnarray}
となります。
最後に、
\begin{eqnarray}
\displaystyle n = \frac{a}{b} \\
\end{eqnarray}
へ戻すと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\left(x^n\right)' = nx^{n-1}}
\end{eqnarray}
となります。
したがって、少なくとも \(x>0\) の範囲では、指数 \(n\) が有理数の場合にも同じ微分公式が成立します。
まとめ｜商・合成関数・べき関数の微分公式
本記事では、商・合成関数・べき関数の微分公式について、その導出方法を確認しました。
商の微分公式は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}
\end{eqnarray}
です。
また、合成関数の微分公式は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)}
\end{eqnarray}
であり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=f(u), \ \ \ \ \ u=g(x)
\end{eqnarray}
とおけば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}}
\end{eqnarray}
と表すこともできます。
合成関数の微分公式は、「外側の関数を微分し、内側の関数の微分を掛ける」と考えると覚えやすいですが、単なる分数の約分ではなく、導関数の定義からきちんと導くことのできる公式です。
さらに、商の微分公式を使えば指数が負の整数の場合、合成関数の微分公式を使えば有理数の場合についても、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\left(x^n\right)' = nx^{n-1}}
\end{eqnarray}
が成り立つことを確認できます。
微分公式はそれぞれ独立したものではなく、基本的な微分公式から次の公式へとつながっていることも押さえておくと、微分への理解がより深まります。
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