微分計算では、定数・定数倍・和・差・積・\(x^n\) など、さまざまな基本公式を使います。
これらの公式を覚えておけば計算はできますが、「なぜこの公式が成り立つの？」と疑問に思ったことはないでしょうか。
実は、これらの微分公式はすべて、導関数の定義
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
\end{eqnarray}
をもとに導くことができます。
本記事では、微分の基本公式を一覧で確認したうえで、定数・定数倍・和・差・積・\(x^n\) の微分公式を、途中式を省略せずに証明していきます。
なお、商・合成関数・より一般的なべき関数の微分公式については、別記事で詳しく証明しています。
1. 微分の基本公式一覧
本記事で証明する微分公式を以下にまとめます。
本記事で証明する微分の基本公式
① 定数の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle (k)' = 0
\end{eqnarray}
② 定数倍の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{kf(x)\}' = kf'(x)
\end{eqnarray}
③ 和・差の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)+g(x)\}' = f'(x)+g'(x) \\
\displaystyle \{f(x)-g(x)\}' = f'(x)-g'(x)
\end{eqnarray}
④ 積の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\end{eqnarray}
⑤ \(x^n\) の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^n\right)' = nx^{n-1}
\end{eqnarray}
※上記①～⑤において、\(f(x), g(x)\) は関数、\(k\) は定数として扱っています。
※本記事では⑤について、\(n\) が正の整数の場合に限定して証明を行います。
適切な定義域では、指数 \(n\) が有理数の場合にも
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^n\right)' = nx^{n-1}
\end{eqnarray}
が成立します。それについては別記事で証明しているため、興味がある方は読んでみて下さい。
2. 微分公式の証明に使う「導関数の定義」
本記事では、すべての公式をこの導関数の定義から導いていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag{1} \\
\end{eqnarray}
「そもそも、なぜこの式が微分を表すの？」という方は、先に「こちらの記事」を確認してみてください。
3. 定数の微分公式を証明｜なぜ定数を微分すると0？
この証明はとても単純で、\(f(x)=k\) とおくと \(f(x+h)=k\) なので、これを(1)式の右辺に代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \color{red}{\frac{k-k}{h}} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} 0 \\
\displaystyle &=& 0 \tag{2}\\
\end{eqnarray}
となるので、これより定数の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = (k)' = 0
\end{eqnarray}
が証明できます。
上の計算式の赤字部分について、補足します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \color{red}{\frac{0}{h}}
\end{eqnarray}
ここで、\(h \to 0\) は「\(h=0\) を代入する」という意味ではありません。
\(h \neq 0\) の状態で \(h\) を限りなく \(0\) に近づけることを意味します。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{0}{h} = 0 \ \ \ (h \neq 0)
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{h \to 0} \color{red}{\frac{0}{h}}=0
\end{eqnarray}
と計算できます。
4. 定数倍の微分公式を証明
\(F(x):=kf(x)\) と定義し、(1)式を用いて \(F(x)\) を微分してみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \tag{3}\\
\end{eqnarray}
となります。(3)式で、\(F(x)\) を \(kf(x)\) に戻すと、\(F(x+h)=kf(x+h)\) となることに注意して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{kf(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{kf(x+h)-kf(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} k・\color{purple}{\underset{h \to 0 で f'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}} \\
\displaystyle &=& kf'(x) \\
\end{eqnarray}
以上より、定数倍の微分公式が証明できます。
5. 和・差の微分公式を証明
\(F(x):=f(x)+g(x)\) と定義し、(1)式を用いて \(F(x)\) を微分すると(3)式が得られます。
(3)式で、\(F(x)\) を \(f(x)+g(x)\) に戻すと、\(F(x+h)=f(x+h)+g(x+h)\) となることに注意して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)+g(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-\{f(x)+g(x)\}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[\color{purple}{\underset{h \to 0 で f'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}}+\color{purple}{\underset{h \to 0 で g'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}}\right] \\
\displaystyle &=& f'(x)+g'(x) \\
\end{eqnarray}
以上より、和の微分公式が証明できます。
また同様に、\(F(x):=f(x)-g(x)\) と定義し(3)式を利用すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)-g(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-g(x+h)-\{f(x)-g(x)\}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[\color{purple}{\underset{h \to 0 で f'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}}-\color{purple}{\underset{h \to 0 で g'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}}\right] \\
\displaystyle &=& f'(x)-g'(x) \\
\end{eqnarray}
以上より、差の微分公式が証明できます。
6. 積の微分公式を証明
\(F(x):=f(x)g(x)\) と定義し、(1)式を用いて \(F(x)\) を微分すると(3)式が得られます。
(3)式で、\(F(x)\) を \(f(x)g(x)\) に戻すと、\(F(x+h)=f(x+h)g(x+h)\) となることに注意して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)g(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)\color{red}{+f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x)}-f(x)g(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\{g(x+h)-g(x)\}+g(x)\{f(x+h)-f(x)\}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left(\color{purple}{\underset{h \to 0 で \\ f(x+h) \to f(x)}{\underline{\color{black}{f(x+h)}}}}・\color{purple}{\underset{(1)式より、h \to 0 で g'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}}+g(x)・\color{purple}{\underset{(1)式より、h \to 0 で f'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}}\right) \\
\displaystyle &=& f(x)g'(x)+g(x)f'(x)
\end{eqnarray}
上の式変形では、\(h \to 0\) のとき \(f(x+h) \to f(x)\) となることを利用しています。
微分可能な関数はその点で連続なので、この関係が成り立ちます。
※「微分可能なら連続」という性質については、ここでは証明せずに利用します。
以上より、積の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\end{eqnarray}
が証明できます。
積の微分公式の証明のポイントは、赤文字で示した項を思いつけるかどうかですね。
この２つの項は足して 0 になるため一見意味のないような操作に見えますが、これを加えて考えることで積の微分公式が綺麗に証明できるようになるのです！
7. \(x^n\) の微分公式を証明（※\(n\) が正の整数の場合）
数学的帰納法を利用して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^n\right)' = nx^{n-1} \tag{4}
\end{eqnarray}
となることを証明していきます。
(i) \(n=1\) のとき
つまり、\(x\) の微分がどうなるか、ってことですね。
これは素直に \(f(x)=x\) として、(1)式を利用すればよいでしょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-x}{h} \\
\displaystyle &=& 1 \\
\end{eqnarray}
実際に(4)式で \(n=1\) として計算してみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^1\right)' = 1x^{1-1} = x^0 = 1
\end{eqnarray}
となり、確かに \(n=1\) の時に(4)式が成立することが確認できる。
(ii) \(n=k\) のとき
この時、(4)式が成立すると仮定します。つまり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^k\right)' = kx^{k-1} \tag{5}
\end{eqnarray}
は成立するものと仮定して、次の(iii)の時に成立するかどうか確認します。
(iii) \(n=k+1\) のとき
ここでやることとしては、(4)式の左辺に \(n=k+1\) を代入して計算してみて、
その結果が(4)式右辺において \(n \to k+1\) に置き換わったものになることを確かめればOKです。
ポイントとしては、\(x^{k+1}=x・x^k\) と考え、積の微分公式を利用することです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^{k+1}\right)' &=& \left(x・x^k\right)' \\
\displaystyle &=& (x)'・x^k+x・(x^k)' \\
\displaystyle &=& 1・x^k+x・kx^{k-1} \\
\displaystyle &=& x^k+kx^k \\
\displaystyle &=& (k+1)x^k \tag{6}\\
\end{eqnarray}
(6)式の右辺は、(4)式の右辺において \(n \to k+1\) に置き換えたものと一致しました。
ゆえに、\(n=k\) の時成立すると仮定すれば、\(n=k+1\) のときにも成立します。
以上より、数学的帰納法によって、すべての正の整数 \(n\) について
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^n\right)' = nx^{n-1}
\end{eqnarray}
が成り立つことが証明できました。
本記事では、指数 \(n\) が正の整数の場合を証明しました。
より一般的な指数の場合については、「商・合成関数・べき関数の微分公式」の記事で解説しています。
まとめ｜微分の基本公式は導関数の定義から導ける
本記事では、次の基本的な微分公式を導関数の定義から証明しました。
\begin{eqnarray}
\displaystyle (k)' &=& 0 \\
\displaystyle \{kf(x)\}' &=& kf'(x) \\
\displaystyle \{f(x) \pm g(x)\}' &=& f'(x) \pm g'(x) \\
\displaystyle \{f(x)g(x)\}' &=& f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\
\displaystyle \left(x^n\right)' &=& nx^{n-1}
\end{eqnarray}
これらは計算では公式として使うことが多いですが、いずれも導関数の定義をもとに導くことができます。
特に積の微分公式のように、一見すると形を覚えにくい公式でも、証明の流れを一度理解しておくと意味を捉えやすくなります。
商・合成関数・べき関数など、さらに発展的な微分公式については、関連記事で証明しています。
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