三角関数の変換公式一覧｜
θ−90°、θ＋90°、θ−180°、θ＋180° の公式を証明

皆さんは以下のような公式をご存じでしょうか。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\theta+90°) &=& \cos \theta \\
\displaystyle \cos(\theta+90°) &=& -\sin \theta \\
\displaystyle \tan(\theta+90°) &=& -\frac{1}{\tan \theta}
\end{eqnarray}

上記公式は高校の教科書にも（多分）載っている基本的な公式ですが、符号が変わったりと、暗記するには少しややこしいですよね。

かくいう私も、上記公式は正直暗記していません。

必要に応じて、三角関数の加法定理を利用して公式を導出しています。（そちらの方が記憶違いのミスもないですし）

本記事では、θ-90°、θ+90°、θ-180°、θ+180° の公式を加法定理から導出し、証明していくことにします。

※記事の最後の方で、90°-θ、180°-θ の公式についても参考がてら整理してまとめています。

■三角関数の加法定理の復習

まずは証明に利用する、三角関数の加法定理を復習がてら以下にまとめます。

加法定理の公式も基本的な公式であり、本記事をご覧の皆さんも暗記済みの方は多いかと思います。

しかしこの公式、証明まで出来る方は少ないと思います。

本公式の証明は大学受験の入試問題でも出題されたことがありますので、知っておいて損はないです。

以下記事で証明方法について整理していますので、興味がある方は是非覗いてみてください。

■ θ−90° の三角関数の変換公式の証明

それでは早速、証明に移りましょう。

まずは θ-90° の三角関数の変換公式の証明から始めます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\theta-90^\circ) &=& \sin\theta \ \color{red}{\underset{0}{\underline{\color{black}{\cos90^\circ}}}}-\cos\theta \ \color{red}{\underset{1}{\underline{\color{black}{\sin90^\circ}}}} \\
\displaystyle &=& -\cos\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(\theta-90^\circ) &=& \cos\theta \ \color{red}{\underset{0}{\underline{\color{black}{\cos90^\circ}}}}+\sin\theta \ \color{red}{\underset{1}{\underline{\color{black}{\sin90^\circ}}}} \\
\displaystyle &=& \sin\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

このように、sin, cosについては簡単に求めることができますが、tanは同じ方法ではうまく求めることができません。

そのため、tanについては \(\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) で求めるのが一般的ですが、せっかくですので本記事では \(\displaystyle \tan(\theta-90^\circ)=\tan\left((\theta-45^\circ)-45^\circ\right)\) と考えて、無理やり加法定理で求めて見ましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(\theta-90^\circ) &=& \tan\left((\theta-45^\circ)-45^\circ\right) \\
&=& \frac{\tan(\theta-45^\circ)-\tan45^\circ}{1+\tan(\theta-45^\circ)\tan45^\circ} \\
&=& \frac{\tan(\theta-45^\circ)-1}{1+\tan(\theta-45^\circ)} \\
&=& \frac{\frac{\tan\theta-\tan45^\circ}{1+\tan\theta\tan45^\circ}-1}{1+\frac{\tan\theta-\tan45^\circ}{1+\tan\theta\tan45^\circ}} \\
&=& \frac{\frac{\tan\theta-1}{1+\tan\theta}-1}{1+\frac{\tan\theta-1}{1+\tan\theta}} \\
&=& \frac{\tan\theta-1-(1+\tan\theta)}{1+\tan\theta+\tan\theta-1} \\
&=& -\frac{1}{\tan\theta} \\
\end{eqnarray}

以上より、θ-90° の三角関数の変換公式が証明できました。

■ θ+90° の三角関数の変換公式の証明

次に θ+90° の三角関数の変換公式を証明します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\theta+90^\circ) &=& \sin\theta \ \color{red}{\underset{0}{\underline{\color{black}{\cos90^\circ}}}}+\cos\theta \ \color{red}{\underset{1}{\underline{\color{black}{\sin90^\circ}}}} \\
\displaystyle &=& \cos\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(\theta+90^\circ) &=& \cos\theta \ \color{red}{\underset{0}{\underline{\color{black}{\cos90^\circ}}}}-\sin\theta \ \color{red}{\underset{1}{\underline{\color{black}{\sin90^\circ}}}} \\
\displaystyle &=& -\sin\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(\theta+90^\circ) &=& \tan\left((\theta+45^\circ)+45^\circ\right) \\
&=& \frac{\tan(\theta+45^\circ)+\tan45^\circ}{1-\tan(\theta+45^\circ)\tan45^\circ} \\
&=& \frac{\tan(\theta+45^\circ)+1}{1-\tan(\theta+45^\circ)} \\
&=& \frac{\frac{\tan\theta+\tan45^\circ}{1-\tan\theta\tan45^\circ}+1}{1-\frac{\tan\theta+\tan45^\circ}{1-\tan\theta\tan45^\circ}} \\
&=& \frac{\frac{\tan\theta+1}{1-\tan\theta}+1}{1-\frac{\tan\theta+1}{1-\tan\theta}} \\
&=& \frac{\tan\theta+1+(1-\tan\theta)}{1-\tan\theta-(\tan\theta+1)} \\
&=& -\frac{1}{\tan\theta} \\
\end{eqnarray}

以上より、θ+90° の三角関数の変換公式が証明できました。

■ θ−180° の三角関数の変換公式の証明

次に θ-180° の三角関数の変換公式を証明します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\theta-180^\circ) &=& \sin\theta \ \color{red}{\underset{-1}{\underline{\color{black}{\cos180^\circ}}}}-\cos\theta \ \color{red}{\underset{0}{\underline{\color{black}{\sin180^\circ}}}} \\
\displaystyle &=& -\sin\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(\theta-180^\circ) &=& \cos\theta \ \color{red}{\underset{-1}{\underline{\color{black}{\cos180^\circ}}}}+\sin\theta \ \color{red}{\underset{0}{\underline{\color{black}{\sin180^\circ}}}} \\
\displaystyle &=& -\cos\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(\theta-180^\circ) &=& \frac{\tan\theta-\tan180^\circ}{1+\tan\theta\tan180^\circ} \\
&=& \tan\theta
\end{eqnarray}

以上より、θ-180° の三角関数の変換公式が証明できました。

■ θ+180° の三角関数の変換公式の証明

次に θ+180° の三角関数の変換公式を証明します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\theta+180^\circ) &=& \sin\theta \ \color{red}{\underset{-1}{\underline{\color{black}{\cos180^\circ}}}}+\cos\theta \ \color{red}{\underset{0}{\underline{\color{black}{\sin180^\circ}}}} \\
\displaystyle &=& -\sin\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(\theta+180^\circ) &=& \cos\theta \ \color{red}{\underset{-1}{\underline{\color{black}{\cos180^\circ}}}}-\sin\theta \ \color{red}{\underset{0}{\underline{\color{black}{\sin180^\circ}}}} \\
\displaystyle &=& -\cos\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(\theta+180^\circ) &=& \frac{\tan\theta+\tan180^\circ}{1-\tan\theta\tan180^\circ} \\
&=& \tan\theta
\end{eqnarray}

以上より、θ+180° の三角関数の変換公式が証明できました。

■（参考）90°−θ、180°−θ の三角関数の変換公式の証明

参考として、 90°-θ、180°-θ の三角関数の変換公式もまとめておきましょう。

こちらも三角関数の加法定理から求めることが可能ですが、せっかく先ほど θ-90°、θ-180° の変換公式を求めたので、これを利用する方が簡単です。

つまり、以下の基本公式を利用することで、簡単に導けます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(-\theta) &=& -\sin\theta \\
\displaystyle \cos(-\theta) &=& \cos\theta \\
\displaystyle \tan(-\theta) &=& \tan\theta
\end{eqnarray}

例えば、\(\sin(90^\circ-\theta)\) は

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(90^\circ-\theta) &=& \sin(-(\theta-90^\circ)) \\
\displaystyle &=& -\sin(\theta-90^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos\theta
\end{eqnarray}

となります。同様に \(\cos(90^\circ-\theta)\)、\(\tan(90^\circ-\theta)\) も求めると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(90^\circ-\theta) &=& \cos(-(\theta-90^\circ)) \\
\displaystyle &=& \cos(\theta-90^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(90^\circ-\theta) &=& \tan(-(\theta-90^\circ)) \\
\displaystyle &=& -\tan(\theta-90^\circ) \\
\displaystyle &=& \frac{1}{\tan\theta}
\end{eqnarray}

となります。

最後に、\(\sin(180^\circ-\theta)\)、\(\cos(180^\circ-\theta)\)、\(\tan(180^\circ-\theta)\) を求めると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(180^\circ-\theta) &=& \sin(-(\theta-180^\circ)) \\
\displaystyle &=& -\sin(\theta-180^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(180^\circ-\theta) &=& \cos(-(\theta-180^\circ)) \\
\displaystyle &=& \cos(\theta-180^\circ) \\
\displaystyle &=& -\cos\theta \\
\\
\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(180^\circ-\theta) &=& \tan(-(\theta-180^\circ)) \\
\displaystyle &=& -\tan(\theta-180^\circ) \\
\displaystyle &=& -\tan\theta
\end{eqnarray}

となります。

■まとめ

本記事では、加法定理を利用して三角関数の変換公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\theta \pm 90°) \\
\displaystyle \cos(\theta \pm 90°) \\
\displaystyle \tan(\theta \pm 90°) \\
\\
\displaystyle \sin(\theta \pm 180°) \\
\displaystyle \cos(\theta \pm 180°) \\
\displaystyle \tan(\theta \pm 180°)
\end{eqnarray}

に関する公式を導出しました。

これらの公式は高校数学で頻繁に登場し、三角方程式や三角不等式、三角関数のグラフなど様々な分野で活用されます。

公式をそのまま暗記することもできますが、加法定理から導けるようになっておくと、符号の間違いを防ぎやすくなり、忘れてしまった場合でも自力で再現できますので、自分で導出できるようになるのがおススメです。

入試や定期試験でもよく利用されるため、ぜひ加法定理との関係も含めて理解しておきましょう。