36°の三角比を図形から求める｜
36°・72°・72°の二等辺三角形と相似から導出

「sin36°・cos36°・tan36°の値は、図形の性質だけを使って求められるの？」

36°は30°・45°・60°などの有名角とは異なり、三角比の値をすぐに求めるのが難しい角度です。

しかし、36°・72°・72°の二等辺三角形を利用すると、図形の性質や相似関係からsin36°・cos36°・tan36°の厳密値を導出できます。

結論から示すと、それぞれの値は次の通りです。

本記事では、36°・72°・72°の二等辺三角形に補助線を引き、相似な三角形から辺の比を求めることで、36°の三角比を図形的に導出します。

なお、36°は18°の2倍であることから、18°の三角比と倍角公式を利用して求めることもできます。

倍角公式を使った求め方については、以下の記事で詳しく解説しています。

1. 36°-72°-72° の二等辺三角形を作る

まず、36°の三角比を図形から求めるために、3つの内角が36°・72°・72°となる二等辺三角形ABCを作ります。

下図のように、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle A=36^\circ, \quad \angle B=\angle C=72^\circ
\end{eqnarray}

とします。

また、等しい2辺を

\begin{eqnarray}
\displaystyle AB=AC=1
\end{eqnarray}

底辺を

\begin{eqnarray}
\displaystyle BC=x
\end{eqnarray}

とおきます。

次に、\(\angle B\) を2等分するように、点Bから辺ACに直線を引き、その直線と辺ACとの交点をDとします。

すると、三角形BCDは二等辺三角形となるため、BDの長さは \(x\) です。

同様に、三角形DABも二等辺三角形となるため、ADの長さは \(x\) です。

これより、CDの長さは \(1-x\) であることがわかります。

以上より、\(AC=1, AD=x\) なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle CD=AC-AD=1-x
\end{eqnarray}

となります。

2. 相似関係から辺の比 \(x\) を求める

次に、三角形ABCと三角形BCDに注目します。

どちらの三角形も内角が36°・72°・72°となっているため、

三角形ABC ∽ 三角形BCD

です。

したがって、対応する辺の比から、

\begin{eqnarray}
\displaystyle AB:BC=BC:CD
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

ここで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle AB=1, \quad BC=x, \quad CD=1-x
\end{eqnarray}

を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1:x=x:(1-x)
\end{eqnarray}

となります。

比例式より、内項の積と外項の積は等しいため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x^2=1-x
\end{eqnarray}

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x^2+x-1=0
\end{eqnarray}

という二次方程式が得られます。

この二次方程式の解は、解の公式を用いて

\begin{eqnarray}
\displaystyle x=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray}

となります。

\(x\) は辺の長さであり \(0<x<1\) なので、負の解は不適切です。

よって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}}
\end{eqnarray}

となります。

3. 垂線を引いて36°を含む直角三角形を作る

\(x\) の値が求められたので、次は36°の三角比を求めるための直角三角形を作ります。

点Bから辺ACに垂線を下ろし、その交点をEとします。（左下図）

これにより、36°の角を含む直角三角形ABEができます。（右上図）

三角比の定義を利用すれば、この直角三角形からsin36°・cos36°・tan36°の値を求めることができます。

4. cos36°の値を図形から求める

まずは \(\cos36^{\circ}\) から求めていきます。

直角三角形ABEより、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos36^\circ=\frac{AE}{AB}=\frac{1+x}{2}
\end{eqnarray}

となります。

これより、最終的な \(\cos36^{\circ}\) の値は

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos36^\circ&=&\frac{1+x}{2} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{1+\sqrt{5}}{4} \\
\end{eqnarray}

となります。

5. sin36°の値を求める

先ほど求めた \(\cos36^\circ\) の値を利用して、三角関数の基本公式の１つ

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos^2 \theta+\sin^2 \theta = 1
\end{eqnarray}

を利用して求めると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^\circ&=&\sqrt{1-\cos^2 36^\circ} \\
\displaystyle &=&\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2} \\
\displaystyle &=&\sqrt{1-\frac{6+2\sqrt{5}}{16}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
\end{eqnarray}

となります。

6. tan36°の値を求める

最後に、先ほど求めたsin36°とcos36°を利用して、tan36°の値を求めます。

今回は、次の公式を使用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{eqnarray}

先ほど求めたsin36°とcos36°を代入して計算すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^\circ&=&\frac{\sin36^\circ}{\cos36^\circ} \\
\displaystyle &=&\frac{\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{5}+1}{4}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}
\end{eqnarray}

続いて、分母を有理化するために、分子と分母にそれぞれ \(\sqrt{5}-1\) を掛けます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^\circ=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}
\end{eqnarray}

ここで、\(\sqrt{5}-1 > 0\) なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{5}-1=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}

と表せます。したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^\circ&=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{16(5-2\sqrt{5})}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{4\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=& \sqrt{5-2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}

となります。

まとめ

本記事では、36°・72°・72°の二等辺三角形を利用して、sin36°・cos36°・tan36°の値を図形的に導出しました。

求めた値は次の通りです。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\sin36^{\circ}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\cos36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\tan36^{\circ}=\sqrt{5-2\sqrt{5}}}
\end{eqnarray}

今回のポイントは、36°・72°・72°の二等辺三角形に補助線を引くことで相似な三角形が現れることです。

相似関係から辺の比 \(x\) について

\begin{eqnarray}
\displaystyle x^2+x-1=0
\end{eqnarray}

という二次方程式が得られ、その解から36°の三角比を求めることができます。

また、この過程では黄金比

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}
\end{eqnarray}

も現れます。36°が正五角形や黄金比と深く結びついていることがわかる、興味深い導出方法です。

なお、36°の三角比は18°の三角比と倍角公式から求めることもできます。

別の方法でも導出してみたい方は、以下の記事も参考にしてください。