三角関数の加法定理とは？
公式・使い方・証明をわかりやすく解説

三角関数には、2つの角の和や差を扱うための「加法定理」と呼ばれる重要な公式があります。

代表的なものが、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

です。

加法定理は、三角関数の値を求めるだけでなく、倍角公式・半角公式などを導く際にも使われる重要な公式です。

しかし、公式を覚えていても、

「なぜこの公式が成り立つの？」

と疑問に思ったことはないでしょうか。

本記事では、まず三角関数の加法定理の公式と使い方を確認したうえで、なぜ加法定理が成り立つのかを図と式を使って丁寧に証明します。

1. 三角関数の加法定理とは？

三角関数の加法定理とは、2つの角の和や差の三角関数を、それぞれの角のsin・cos・tanを使って表す公式です。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta)
\end{eqnarray}

は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

と表すことができます。

sin・cos・tanについて、加法定理をまとめると次のようになります。

2. 加法定理の覚え方

三角関数の加法定理は公式の数が多く、初めて見ると覚えにくく感じるかもしれません。

しかし、すべてをバラバラに暗記するのではなく、sin・cos・tanそれぞれの式の形に注目すると覚えやすくなります。

まず、sinの加法定理を見てみましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

\(\sin\) の場合は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin}\alpha\color{blue}{\cos}\beta+\color{blue}{\cos}\alpha\color{red}{\sin}\beta
\end{eqnarray}

のように、「\(\color{red}{\sin} \cdot \color{blue}{\cos}\)」と「\(\color{blue}{\cos} \cdot \color{red}{\sin}\)」を足す形になっています。

一方、cosの加法定理は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

となります。こちらは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{blue}{\cos}\alpha\color{blue}{\cos}\beta-\color{red}{\sin}\alpha\color{red}{\sin}\beta
\end{eqnarray}

のように、「\(\color{blue}{\cos} \cdot \color{blue}{\cos}\)」と「\(\color{red}{\sin} \cdot \color{red}{\sin}\)」を引く形です。

つまり、まずは次のように式の形を押さえておくと覚えやすくなります。

• \(\sin \to \color{red}{\sin} \cdot \color{blue}{\cos}+\color{blue}{\cos} \cdot \color{red}{\sin}\)
• \(\cos \to \color{blue}{\cos} \cdot \color{blue}{\cos}-\color{red}{\sin} \cdot \color{red}{\sin}\)

また、\(\alpha-\beta\) の場合は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

となります。

ここで注目したいのが、\(\sin\) は括弧内と同じ符号、\(\cos\) は括弧内と反対の符号になることです。

つまり、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta) &=& \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta) &=& \cos\alpha\cos\beta \color{red}{\mp} \sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

とまとめて覚えることもできます。

\(\sin\) については「中の符号と同じ」、\(\cos\) については「中の符号と逆」と覚えておくとよいでしょう。

最後に \(\tan\) の加法定理は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta) &=& \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \color{red}{\mp} \tan\alpha \tan\beta}
\end{eqnarray}

となります。

\(\tan\) の場合は、分子が括弧内と同じ符号、分母が反対の符号になるのがポイントです。

したがって、加法定理を覚えるときは、

という3つの形をまず押さえておくとよいでしょう。

ただし、加法定理は単に暗記するだけでなく、なぜこのような式になるのかを理解しておくことも大切です。

後半では、実際にこれらの公式がなぜ成り立つのかを順番に証明していきます。

3. 加法定理の使い方

加法定理を使うと、\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) などの有名角を組み合わせて、さまざまな角度の三角関数の値を求めることができます。

例えば、\(\sin75^\circ\) を求めてみましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 75^\circ=45^\circ+30^\circ
\end{eqnarray}

なので、加法定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 75^\circ&=&\sin (45^\circ+30^\circ) \\
\displaystyle &=&\sin 45^\circ \cos 30^\circ+\cos 45^\circ \sin 30^\circ \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}

このように、加法定理を使うことで、既知の角度の三角関数から別の角度の値を求めることができます。

また、加法定理からは、倍角公式や三倍角公式などを導くこともできます。

以下の記事にて詳しく導出・証明しているため、興味がある方はぜひ読んでみてください。

4. 三角関数の加法定理を証明

ここまで、三角関数の加法定理の公式と使い方を確認しました。

では、これらの公式はなぜ成り立つのでしょうか？

ここからは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(\alpha-\beta)
\end{eqnarray}

を出発点として、sin・cos・tanの加法定理を順番に証明していきます。

① \(\cos(\alpha-\beta)\) の値を求める

以下の図から、視覚的に簡単に証明できます。

上図の線分ABの長さを2通りの方法で考えることで、加法定理を証明する。

(a) 座標成分で三平方の定理を利用し、線分\(AB^2\)を求める

(b) 余弦定理（\( \ AB^2=OA^2+OB^2-2 \cdot OA \cdot OB\cos(\alpha-\beta) \ \)）を利用して \(AB^2\) を求める

(a) 座標成分で線分\(AB^2\)を求める
\begin{eqnarray}
　AB^2 &=& (\cos\alpha - \cos\beta)^2+(\sin\alpha - \sin\beta)^2 \\
　 &=& (\cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) \\
& &+(\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) \\
　 &=& (1 - 2\cos\alpha\cos\beta)+(1 - 2\sin\alpha\sin\beta) \\
　 &=& 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \tag{1}
\end{eqnarray}

(b) 余弦定理（\( \ AB^2=OA^2+OB^2-2 \cdot OA \cdot OB\cos(\alpha-\beta) \ \)）で線分 \(AB^2\) を求める
\begin{eqnarray}
　AB^2 &=& OA^2+OB^2-2 \cdot OA \cdot OB\cos(\alpha-\beta) \\
　 &=& 1+1-2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha-\beta) \\
　 &=& 2 - 2\cos(\alpha-\beta) \tag{2}
\end{eqnarray}

(1)式、(2)式を比較すると、
\[2 - 2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)\]

となるため、この式より、
\[\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]

を得る。

② \(\cos(\alpha+\beta)\) の値を求める

これは、\(\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha-(-\beta))\)を利用するだけです。
さっき証明した加法定理（\(\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)）の公式を利用して、

\begin{eqnarray}
　\cos(\alpha+\beta) &=& \cos(\alpha-(-\beta)) \\
　 &=& \cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\
　 &=& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
\end{eqnarray}

となり、

\begin{eqnarray}
\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

が証明できます。

③ \(\cos(90^{ \circ }-\theta)=\sin\theta\)、\(\sin(90^{ \circ }-\theta)=\cos\theta\) を図から証明する

ここで少し話がそれますが、この後の手順で \(\cos(90^{ \circ }-\theta)=\sin\theta\)　と　\(\sin(90^{ \circ }-\theta)=\cos\theta\) を使うため、証明しておきます。

上の２つの三角形は合同の三角形であり、少し向きを変えただけのものである。
左の三角形より、\(\sin\theta, \cos\theta\) はそれぞれ

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\theta = \frac{b}{c} \tag{3} \\
\displaystyle \cos\theta = \frac{a}{c} \tag{4}
\end{eqnarray}

で表される。
一方、右の三角形より、\(\sin(90^{ \circ }-\theta), \cos(90^{ \circ }-\theta)\)はそれぞれ

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(90^{ \circ }-\theta) = \frac{a}{c} \tag{5} \\
\displaystyle \cos(90^{ \circ }-\theta) = \frac{b}{c} \tag{6}
\end{eqnarray}

と表されるので、あとは(3)式と(6)式、(4)式と(5)式の右辺が等しいことから、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(90^{ \circ }-\theta) = \cos\theta \\
\displaystyle \cos(90^{ \circ }-\theta) = \sin\theta
\end{eqnarray}

が証明される。

④ 「③」を利用して、\(\sin(\alpha+\beta)\) の値を求める

先ほど証明した、\(\cos(90^{ \circ }-\theta) = \sin\theta\)、\(\sin(90^{ \circ }-\theta) = \cos\theta\)を利用すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta) &=& \cos(90^{ \circ }-(\alpha+\beta)) \\
\displaystyle &=& \cos((90^{ \circ }-\alpha)-\beta) \\
\displaystyle &=& \cos(90^{ \circ }-\alpha)\cos\beta \\
& &+\sin(90^{ \circ }-\alpha)\sin\beta \\
\displaystyle &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

となり、\(\sin\)の加法定理が証明できる。

⑤ \(\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) より、\(\tan(\alpha+\beta)\) の値を求める

公式\(\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)を利用すると、\(\cos(\alpha+\beta) \neq 0\) とした時、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\
\displaystyle &=& \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} \tag{7} \\
\end{eqnarray}

と変形できる。(7)式の分母分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると、

\begin{eqnarray}
\tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{1-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} \\
\displaystyle &=& \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \tag{8}
\end{eqnarray}

となり、\(\tan\)の加法定理も証明ができる。

⑥ \(\sin(\alpha-\beta), \ \tan(\alpha-\beta)\) について

ここまで \(\sin(\alpha+\beta), \ \tan(\alpha+\beta)\) を証明しました。

\(\alpha - \beta\) の場合については、それぞれの加法定理で \(\beta\) を \(-\beta\) に置き換えることで導くことができます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha-\beta) &=& \sin(\alpha+(-\beta)) \\
\displaystyle &=& \sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta) \\
\displaystyle &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

となります。同様に、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}

も導くことができます。

■まとめ

本記事では、三角関数の加法定理の公式と使い方、さらに公式がなぜ成り立つのかを証明しました。

三角関数の加法定理は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha+\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}

など、2つの角の和や差を扱うための重要な公式です。

また、これらの公式は単なる暗記公式ではなく、まず

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}

を証明することで、他の加法定理も順番に導くことができます。

加法定理は三角関数の値を求めるだけでなく、倍角公式・三倍角公式・半角公式などを導くための基礎にもなります。

公式そのものを覚えるだけでなく、「なぜ成り立つのか」まで理解しておくと、三角関数への理解がより深まります。