33°は、30°や45°、60°などの特殊角とは異なり、三角比の値をそのまま求めることはできません。
しかし、33°は
\begin{eqnarray}
\displaystyle 33^\circ = 18^\circ+15^\circ
\end{eqnarray}
と表すことができます。
18°と15°の三角比が分かっていれば、三角比の加法定理を利用することで、33°のsin、cos、tanの値を求めることができます。
この記事では、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin33^\circ, \ \cos33^\circ, \ \tan33^\circ
\end{eqnarray}
の値を、18°と15°の加法定理を利用してそれぞれ導出していきます。
また、最後には計算によって求めた値が正しいかどうかを確認し、33°の三角比をまとめます。
本記事で求めるsin33°、cos33°、tan33°の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 33^\circ &=& \frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}-2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16} \\
\displaystyle \cos 33^\circ &=& \frac{-\sqrt{30}+\sqrt{10}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16} \\
\displaystyle \tan 33^\circ &=& \frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{5}-1)\left(2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\right)}{4}
\end{eqnarray}
■sin33°、cos33°、tan33° を求める方針
冒頭でも軽く触れた通り、本記事では \(33^\circ=18^\circ+15^\circ\) であることを利用し、加法定理を用いて導いていきます。
どちらも有名角の三角比ではないため、少し複雑な形になってしまいますが、頑張って求めていきましょう。
■加法定理の復習
本記事では以下の三角関数の加法定理を利用して sin33°、cos33°、tan33° を求めていきます。
三角関数の加法定理（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
この公式については以下記事にて丁寧に導出・証明しているので、気になる方は是非ご一読ください。
「そういえば、加法定理って何故成立するんだっけ？」という方におススメの記事となっています！
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■ sin18°、cos18°、tan18° の値の確認
sin33°、cos33°、tan33° と求めるための前情報として、sin18°、cos18°、tan18° の値を確認しておきます。
これらの値については、以下の通りとなります。
「なんでこの値になるの？」と疑問に思う方は、以下の別記事で詳しくまとめていますので、よろしければお立ち寄り下さい。
本記事で導出する sin18°、cos18°、tan18° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle \cos18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle \tan18^{\circ}&=&\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}
\end{eqnarray}
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■ sin15°、cos15°、tan15° の値の確認
sin33°、cos33°、tan33° と求めるためのもう1つの道具、sin15°、cos15°、tan15° の値についても確認しておきます。
これらの値については、以下の通りとなります。
こちらの値の導出方法についても以下の別記事で詳しくまとめていますので、興味がある方はお立ち寄り下さい。
本記事で導出する sin15°、cos15°、tan15° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin15^{\circ}&=&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \cos15^{\circ}&=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \tan15^{\circ}&=&2-\sqrt{3}
\end{eqnarray}
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三角関数の半角公式の導出｜
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■ sin33° の導出
上で確認した加法定理、および、18°、15° の時の三角関数の値を利用して、sin33° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 33^\circ &=& \sin (18^\circ+15^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 18^\circ \cos 15^\circ+\cos 18^\circ \sin 15^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{5}-1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{16} + \frac{\sqrt{6(10+2\sqrt{5})}-\sqrt{2(10+2\sqrt{5})}}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{16} + \frac{\sqrt{60+12\sqrt{5}}-\sqrt{20+4\sqrt{5}}}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}-2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16}
\end{eqnarray}
■ cos33° の導出
同様に、加法定理を利用して cos33° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 33^\circ &=& \cos (18^\circ+15^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 18^\circ \cos 15^\circ-\sin 18^\circ \sin 15^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6(10+2\sqrt{5})}+\sqrt{2(10+2\sqrt{5})}}{16} - \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{60+12\sqrt{5}}+\sqrt{20+4\sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{30}-\sqrt{10}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{-\sqrt{30}+\sqrt{10}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16}
\end{eqnarray}
■ tan33° の導出
同様に、加法定理を利用して tan33° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 33^\circ &=& \frac{\tan 18^\circ+\tan 15^\circ}{1-\tan 18^\circ \tan 15^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\tan 18^\circ+\tan 15^\circ}{1-\tan 18^\circ \tan 15^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}+2-\sqrt{3}}{1-\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}(2-\sqrt{3})} \\
\displaystyle &=& \frac{1+(2-\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}-(2-\sqrt{3})} \\
\displaystyle &=& \frac{1+(2-\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}-(2-\sqrt{3})} \cdot \color{red}{\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(2-\sqrt{3})}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(2-\sqrt{3})}} \\
\displaystyle &=& \frac{\left(1+(2-\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(2-\sqrt{3})\right)}{5+2\sqrt{5}-(7-4\sqrt{3})} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(2-\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})^2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(2-\sqrt{3})(5+2\sqrt{5})}{2\sqrt{5}+4\sqrt{3}-2} \\
\displaystyle &=& \frac{(8-4\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(2-\sqrt{3})(6+2\sqrt{5})}{2\sqrt{5}+4\sqrt{3}-2} \\
\displaystyle &=& \frac{(4-2\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})}{\sqrt{5}+2\sqrt{3}-1} \\
\displaystyle &=& \frac{(2-\sqrt{3})\left(2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\right)}{\sqrt{5}+2\sqrt{3}-1} \cdot \color{red}{\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}+1}{\sqrt{5}+2\sqrt{3}+1}} \\
\displaystyle &=& \frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3}+1)\left(2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\right)}{17+4\sqrt{15}-1} \\
\displaystyle &=& \frac{1}{4} \cdot \frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3}+1)\left(2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\right)}{4+\sqrt{15}} \cdot \color{red}{\frac{4-\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}}} \\
\displaystyle &=& \frac{(2-\sqrt{3})(4-\sqrt{15})(\sqrt{5}+2\sqrt{3}+1)\left(2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\right)}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{5}-1)\left(2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\right)}{4}
\end{eqnarray}
■結果まとめと値の確認
三角関数の加法定理を利用することで、sin33°、cos33°、tan33° の値は以下の通り求めることができました。
先ほど求めた sin3°、cos3°、tan3°の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 33^\circ &=& \frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}-2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16} \tag{1} \\
\displaystyle \cos 33^\circ &=& \frac{-\sqrt{30}+\sqrt{10}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16} \tag{2} \\
\displaystyle \tan 33^\circ &=& \frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{5}-1)\left(2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\right)}{4} \tag{3}
\end{eqnarray}
これらの値が正しい値かどうか、他サイトの三角関数表を参照しつつ確認してみましょう。
筆者が電卓を用いて計算した結果を以下に記載していきます。
計算結果の小数第6位までを利用して計算していくこととします。
sin33° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 33^\circ &=& \frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}-2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{5.477225+3.162277-2.449489-1.414213+2\sqrt{15+3 \times 2.236067}-2\sqrt{5+2.236067}}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{4.7758+2\sqrt{21.708201}-2\sqrt{7.236067}}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{4.7758+2 \times 4.659206-2 \times 2.689993}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{4.7758+9.318412-5.379986}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{8.714226}{16} \\
\displaystyle &≒& 0.544639 \tag{4}
\end{eqnarray}
cos33° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 33^\circ &=& \frac{-\sqrt{30}+\sqrt{10}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{-5.477225+3.162277+2.449489-1.414213+2\sqrt{15+3 \times 2.236067}+2\sqrt{5+2.236067}}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{-1.279672+2\sqrt{21.708201}+2\sqrt{7.236067}}{16} \\
\displaystyle &≒& \frac{-1.279672+2 \times 4.659206+2 \times 2.689993}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{-1.279672+9.318412+5.379986}{16} \\
\displaystyle &=& \frac{13.418726}{16} \\
\displaystyle &≒& 0.838670 \tag{5}
\end{eqnarray}
tan33° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 33^\circ &=& \frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{5}-1)\left(2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\right)}{4} \\
\displaystyle &≒& \frac{(2 \times 1.732050-2.236067-1)\left(2\sqrt{5+2 \times 2.236067}+(3+2.236067)\right)}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{0.228033 \times \left(2\sqrt{9.472134}+5.236067)\right)}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{0.228033 \times 11.391433}{4} \\
\displaystyle &≒& 0.649405 \tag{6} \\
\end{eqnarray}
他サイト様でまとめている三角関数表の値との比較
以下の他サイト様でまとめている三角関数表を参考に、上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか確認します。
上記サイト内では、sin33°、cos33°、tan33° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。
他サイト様が公表している sin33°、cos33°、tan33° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 33^\circ &=& 0.5446 \\
\displaystyle \cos 33^\circ &=& 0.8387 \\
\displaystyle \tan 33^\circ &=& 0.6494
\end{eqnarray}
(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。
■まとめ
今回は、三角比の加法定理を利用して、sin33°、cos33°、tan33°の値を求めました。
33°は
\begin{eqnarray}
\displaystyle 33^\circ = 18^\circ+15^\circ
\end{eqnarray}
と表すことができるため、18°と15°の三角比を利用して値を求めることができます。
このように、一見すると三角比の値を求めることが難しい角度でも、既に値が分かっている角度の和や差として表すことで、加法定理を利用して求めることができます。
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