42°は、30°や45°、60°などの特殊角とは異なり、三角比の値をそのまま求めることはできません。
しかし、42° は
\begin{eqnarray}
\displaystyle 42^\circ=60^\circ-18^\circ
\end{eqnarray}
と表すことができます。
60° と 18° の三角比が分かっていれば、三角比の加法定理を利用することで、42° の sin、cos、tan の値を求めることができます。
この記事では、42° を 60°−18° と考え、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin42^\circ, \ \cos42^\circ, \ \tan42^\circ
\end{eqnarray}
の値を加法定理を使ってそれぞれ導出していきます。
また、最後には求めた値が正しいかどうかを確認し、42°の三角比をまとめます。
本記事で求める sin42°、cos42°、tan42° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 42^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8} \\
\displaystyle \cos 42^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8} \\
\displaystyle \tan 42^\circ &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}
\end{eqnarray}
■sin42°、cos42°、tan42° を求める方針
冒頭でも軽く触れた通り、本記事では \(42^\circ=60^\circ-18^\circ\) であることを利用し、加法定理を用いて導いていきます。
■加法定理の復習
三角関数の加法定理について、以下にまとめます。
三角関数の加法定理（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
ちなみに上記公式については以下の記事で既に導出・証明しているので、気になる方は是非ご一読ください。
「そういえば、加法定理って何故成立するんだっけ？」という方におススメの記事となっています！
お時間ある方は是非お立ち寄りください！
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■ sin18°、cos18°、tan18° の値の確認
sin42°、cos42°、tan42° を求めるための前提情報として、sin18°、cos18°、tan18° の値を確認しておきます。
これらの値については、別記事で既に導出済みのため、その値を利用することにします。
sin18°、cos18°、tan18° の値の確認
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle \cos18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle \tan18^{\circ}&=&\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}
\end{eqnarray}
「なんでこの値になるの？」と疑問に思う方は、以下の別記事で詳しくまとめていますので、よろしければお立ち寄り下さい。
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■ sin42° の導出
上で確認した加法定理の公式、および、18° の時の三角関数の値を利用して、sin42° の値を求めていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 42^\circ &=& \sin (60^\circ-18^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 60^\circ \cos 18^\circ-\cos 60^\circ \sin 18^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8} - \frac{\sqrt{5}-1}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8}
\end{eqnarray}
となる。
■ cos42° の導出
同様に、加法定理を利用して cos42° の値を求めていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 42^\circ &=& \cos (60^\circ-18^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 60^\circ \cos 18^\circ+\sin 60^\circ \sin 18^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8} + \frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}
\end{eqnarray}
となる。
■ tan42° の導出
同様に、加法定理を利用して tan42° の値を求めていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 42^\circ &=& \frac{\tan 60^\circ-\tan 18^\circ}{1+\tan 60^\circ \tan 18^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}}{1+\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5+2\sqrt{5}}-1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}} \cdot \color{red}{\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(6+2\sqrt{5})-4\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{5+2\sqrt{5}-3} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{5})-2\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1} \cdot \color{red}{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)-2\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2(5+2\sqrt{5})}}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(2+2\sqrt{5})-2\sqrt{(6-2\sqrt{5})(5+2\sqrt{5})}}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}
\end{eqnarray}
となる。
■結果まとめと値の確認
三角関数の加法定理を利用することで、sin42°、cos42°、tan42° の値は以下の通り求めることができました。
先ほど求めた sin42°、cos42°、tan42° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 42^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8} \tag{1} \\
\displaystyle \cos 42^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8} \tag{2} \\
\displaystyle \tan 42^\circ &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2} \tag{3}
\end{eqnarray}
これらの値が正しい値かどうか、他サイトの三角関数表を参照しつつ確認してみましょう。
筆者が電卓を用いて計算した結果を以下に記載していきます。
計算結果の小数第6位までを利用して計算していくこととします。
sin42° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 42^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{30+6 \times 2.236067}-2.236067+1}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{43.416402}-2.236067+1}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{5.353045}{8} \\
\displaystyle &≒& 0.669130 \tag{4} \\
\end{eqnarray}
cos42° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 42^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{10+2 \times 2.236067}+3.872983-1.732050}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{14.472134}+2.140933}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{5.945158}{8} \\
\displaystyle &≒& 0.743144 \tag{5} \\
\end{eqnarray}
tan42° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 42^\circ &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2} \\
\displaystyle &≒& \frac{1.732050+3.872983-\sqrt{10+2 \times 2.236067}}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{5.605033-\sqrt{14.472134}}{2} \\
\displaystyle &≒& \frac{1.800808}{2} \\
\displaystyle &=& 0.900404 \tag{6} \\
\end{eqnarray}
他サイト様でまとめている三角関数表の値との比較
以下の他サイト様でまとめている三角関数表を参考に、上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか確認します。
上記サイト内では、sin42°、cos42°、tan42° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。
他サイト様が公表している sin42°、cos42°、tan42° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 42^\circ &=& 0.6691 \\
\displaystyle \cos 42^\circ &=& 0.7431 \\
\displaystyle \tan 42^\circ &=& 0.9004
\end{eqnarray}
(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。
■まとめ
今回は加法定理を利用して、sin42°、cos42°、tan42° の値を求めました。
このように、一見すると三角比の値が分からない角度でも、既知の角度の差や和として表すことで、加法定理を利用して値を求めることができます。
42° の厳密解を求める機会はそう多くないと思いますが、もし求める必要が出てきた際は本記事を導出や答え合わせ等に利用いただければ幸いです。
本記事を最後までお読みいただき、ありがとうございました。
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