三角関数の積和・和積公式とは？
証明・覚え方・使い方をわかりやすく解説

「積和公式と和積公式って公式が多くて覚えられない……」

「なぜ突然 \(\frac{A+B}{2}\) や \(\frac{A-B}{2}\) が出てくるの？」

三角関数には、積を和に変換する積和公式と、和を積に変換する和積公式があります。

例えば、\[ \sin\alpha\cos\beta \]

という積は、\[ \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) \right\} \]

という和に変換できます。

反対に、\[ \sin A+\sin B \]

という和は、\[ 2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} \]

という積に変換できます。

公式だけを見ると複雑に感じますが、実はこれらの公式はすべて三角関数の加法定理から導くことができます。

この記事では、

• 積和公式・和積公式とは何か
• 積和公式を加法定理から導く方法
• なぜ和積公式に \(\frac{A+B}{2}\)、\(\frac{A-B}{2}\) が現れるのか
• 積和公式・和積公式の覚え方
• 積和公式・和積公式の実際の使い方
• 積分や三角方程式でどのように役立つのか

について、途中式を省略せずに解説します。

1. 積和公式とは？

まずは積和公式について確認しましょう。

積和公式とは、その名前のとおり、三角関数の積を和または差に変換する公式です。

例えば、\[ \sin\alpha\cos\beta \]

という積を、\[ \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) \right\} \]

という和に変換できます。

積和公式は、次の4つです。\[ \boxed{ \sin\alpha\cos\beta = \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) \right\} } \]\[ \boxed{ \cos\alpha\sin\beta = \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) \right\} } \]\[ \boxed{ \cos\alpha\cos\beta = \frac12 \left\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) \right\} } \]\[ \boxed{ \sin\alpha\sin\beta = \frac12 \left\{ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) \right\} } \]

4つもあるため、すべてを丸暗記しようとすると大変です。

しかし、実はこれらの公式は加法定理を組み合わせるだけで導くことができます。

そのため、公式を忘れてしまっても加法定理から自分で作ることができます。

次の章から実際に導出してみましょう。

2. 積和公式を加法定理から証明

積和公式のもとになるのは、次の加法定理です。\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \]\[ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \]\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \]\[ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \]

これらを足したり引いたりすることで、積和公式を導くことができます。

STEP1　\(\sin\alpha\cos\beta\) の積和公式

まず、\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \]

と、\[ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \]

を足してみます。

すると、\[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \]\[ = \sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta +\sin\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sin\beta \]

となります。

\(\cos\alpha\sin\beta\) が打ち消し合うので、\[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta \]

となります。

両辺を2で割れば、\[ \boxed{ \sin\alpha\cos\beta = \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right\} } \]

となります。

これが1つ目の積和公式です。

---

STEP2　\(\cos\alpha\sin\beta\) の積和公式

今度は先ほどの2つの加法定理を引いてみましょう。\[ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) \]\[ = \sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta -\left( \sin\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sin\beta \right) \]

括弧を外すと、\[ = \sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta -\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta \]

となります。

今度は \(\sin\alpha\cos\beta\) が打ち消し合うので、\[ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\sin\beta \]

となります。

したがって、\[ \boxed{ \cos\alpha\sin\beta = \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) \right\} } \]

となります。

---

STEP3　\(\cos\alpha\cos\beta\) の積和公式

次は余弦の加法定理を使います。\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \]\[ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \]

この2つを足すと、\[ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \]\[ = \cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta +\cos\alpha\cos\beta +\sin\alpha\sin\beta \]

となります。

\(\sin\alpha\sin\beta\) が打ち消し合うので、\[ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta \]

です。

したがって、\[ \boxed{ \cos\alpha\cos\beta = \frac12 \left\{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right\} } \]

となります。

---

STEP4　\(\sin\alpha\sin\beta\) の積和公式

最後に、\[ \cos(\alpha-\beta) \]

から\[ \cos(\alpha+\beta) \]

を引きます。\[ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) \]\[ = \cos\alpha\cos\beta +\sin\alpha\sin\beta -\left( \cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta \right) \]

括弧を外すと、\[ = \cos\alpha\cos\beta +\sin\alpha\sin\beta -\cos\alpha\cos\beta +\sin\alpha\sin\beta \]

なので、\[ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta \]

となります。

したがって、\[ \boxed{ \sin\alpha\sin\beta = \frac12 \left\{ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) \right\} } \]

となります。

これで4つの積和公式をすべて加法定理から導くことができました。

3. 和積公式とは？

続いて、和積公式について確認しましょう。

和積公式は積和公式とは反対に、三角関数の和や差を積に変換する公式です。

代表的な4つの公式は次のとおりです。\[ \boxed{ \sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} } \]\[ \boxed{ \sin A-\sin B = 2\cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} } \]\[ \boxed{ \cos A+\cos B = 2\cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} } \]\[ \boxed{ \cos A-\cos B = -2\sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} } \]

積和公式と比べても、少し複雑な形をしています。

特に、\[ \frac{A+B}{2} \]

と、\[ \frac{A-B}{2} \]

が突然現れるため、

「どうして角度を足したり引いたりして、さらに2で割るの？」

と疑問に感じるかもしれません。

実は、この形にもきちんと理由があります。

4. なぜ和積公式には \(\frac{A+B}{2}\) と \(\frac{A-B}{2}\) が出てくるの？

ここが和積公式を理解するうえで重要なポイントです。

例えば、積和公式\[ \sin\alpha\cos\beta = \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right\} \]

を考えてみましょう。

両辺を2倍すると、\[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta \]

となります。

この式を、\[ \sin A+\sin B \]

という形にしたいとします。

そこで、\[ A=\alpha+\beta \]\[ B=\alpha-\beta \]

と置きます。

では、ここから \(\alpha\) と \(\beta\) を求めてみましょう。

2つの式を足すと、\[ A+B = (\alpha+\beta)+(\alpha-\beta) \]\[ A+B=2\alpha \]

なので、\[ \boxed{ \alpha=\frac{A+B}{2} } \]

となります。

一方、2つの式を引くと、\[ A-B = (\alpha+\beta)-(\alpha-\beta) \]\[ A-B=2\beta \]

なので、\[ \boxed{ \beta=\frac{A-B}{2} } \]

となります。

つまり、\[ \frac{A+B}{2}, \qquad \frac{A-B}{2} \]

という形は突然登場したわけではありません。

積和公式にある\[ \alpha+\beta,\qquad\alpha-\beta \]

をそれぞれ \(A,B\) と置いて、元の \(\alpha,\beta\) を逆算した結果なのです。

5. 和積公式を積和公式から証明

それでは、この考え方を使って和積公式を導いてみましょう。

STEP1　\(\sin A+\sin B\) の和積公式

積和公式より、\[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta \]

でした。

ここで、\[ A=\alpha+\beta, \qquad B=\alpha-\beta \]

とすると、\[ \alpha=\frac{A+B}{2}, \qquad \beta=\frac{A-B}{2} \]

です。

これらを代入すると、\[ \boxed{ \sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} } \]

となります。

---

STEP2　\(\sin A-\sin B\) の和積公式

先ほど導いた積和公式から、\[ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\sin\beta \]

です。

同じように、\[ A=\alpha+\beta, \qquad B=\alpha-\beta \]

とすると、\[ \boxed{ \sin A-\sin B = 2\cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} } \]

となります。

---

STEP3　\(\cos A+\cos B\) の和積公式

積和公式より、\[ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta \]

です。

同様に置き換えると、\[ \boxed{ \cos A+\cos B = 2\cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} } \]

となります。

---

STEP4　\(\cos A-\cos B\) の和積公式

ここは符号に注意しましょう。

積和公式から、\[ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta \]

でした。

しかし、今回は、\[ \cos A-\cos B \]

を求めたいので、\[ A=\alpha+\beta, \qquad B=\alpha-\beta \]

とすると、\[ \cos A-\cos B = \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) \]

となります。

これは先ほどの式とは順番が逆なので、\[ \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) = -2\sin\alpha\sin\beta \]

です。

したがって、\[ \boxed{ \cos A-\cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} } \]

となります。

この公式だけ先頭にマイナスが付くので注意しましょう。

6. 積和公式・和積公式の覚え方

積和公式と和積公式は、それぞれ4つずつあるため、すべてをそのまま暗記しようとすると混乱しやすい公式です。

そこで、まずは公式の「形」を覚えておきましょう。

積和公式は「積を和にする」

積和公式は、\[ \boxed{\text{積}\rightarrow\text{和}} \]

に変換する公式です。

例えば、\[ \sin\alpha\cos\beta \]

という積を、\[ \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) \right\} \]

という和に変換します。

積和公式では、\[ \alpha+\beta,\qquad\alpha-\beta \]

という「2つの角の和」と「2つの角の差」が現れ、それらを使った三角関数を足したり引いたりする形になります。

また、

• \(\sin\times\cos\)、\(\cos\times\sin\) → \(\sin\) に変換
• \(\cos\times\cos\)、\(\sin\times\sin\) → \(\cos\) に変換

という対応もあります。

特に間違えやすいのが、\[ \sin\alpha\sin\beta = \frac12 \left\{ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) \right\} \]

です。

この公式だけ、\[ \cos(\alpha-\beta) \]

が先に来ることに注意しましょう。

---

和積公式は「平均と半差」と覚える

和積公式では、\[ \frac{A+B}{2} \]

と、\[ \frac{A-B}{2} \]

が頻繁に登場します。

ここで、\[ \frac{A+B}{2} \]

は \(A\) と \(B\) の平均、\[ \frac{A-B}{2} \]

は2つの角の差の半分、つまり半差です。

したがって、和積公式は、\[ \boxed{\text{和積公式では「平均」と「半差」が出てくる}} \]

と覚えておくと、公式の形を思い出しやすくなります。

例えば、\[ \sin A+\sin B \]

なら、\[ \boxed{ \sin A+\sin B = 2\sin(\text{平均})\cos(\text{半差}) } \]

と考えて、\[ \boxed{ \sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} } \]

を思い出すことができます。

語呂合わせだけで8個の公式を覚えようとするより、

「積和公式は加法定理を足したり引いたりする」

「和積公式では平均と半差が現れる」

という仕組みを覚えておく方が、公式を忘れたときにも対応しやすいでしょう。

7. 積和公式を実際に使ってみよう

例えば、\[ \sin75^\circ\cos15^\circ \]

を積和公式で変形してみましょう。

積和公式\[ \sin\alpha\cos\beta = \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right\} \]

を使います。\[ \alpha=75^\circ, \qquad \beta=15^\circ \]

なので、\[ \sin75^\circ\cos15^\circ \]\[ = \frac12 \left\{ \sin(75^\circ+15^\circ) + \sin(75^\circ-15^\circ) \right\} \]\[ = \frac12 \left( \sin90^\circ+\sin60^\circ \right) \]

ここで、\[ \sin90^\circ=1, \qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2} \]

なので、\[ = \frac12 \left( 1+\frac{\sqrt3}{2} \right) \]\[ = \boxed{ \frac{2+\sqrt3}{4} } \]

となります。

積のままでは計算しにくい式でも、積和公式を使って計算しやすい角度の和に変換できる場合があります。

8. 積和公式はどんなときに役立つ？

積和公式は、単に三角関数の積を変形するだけでなく、積分などの計算でも役立ちます。

例えば、\[ \int \sin 3x\cos 2x\,dx \]

を考えてみましょう。

このままでは、\[ \sin 3x\cos 2x \]

という2つの三角関数の積になっているため、少し積分しにくい形です。

そこで、積和公式\[ \sin\alpha\cos\beta = \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) \right\} \]

を使います。\[ \alpha=3x,\qquad\beta=2x \]

とすると、\[ \sin3x\cos2x = \frac12 \left\{ \sin5x+\sin x \right\} \]

となります。

したがって、\[ \int\sin3x\cos2x\,dx = \frac12 \int (\sin5x+\sin x)\,dx \]

となります。

ここまで変形すれば、それぞれ普通に積分できます。\[ = \frac12 \left( -\frac15\cos5x-\cos x \right)+C \]

したがって、\[ \boxed{ \int\sin3x\cos2x\,dx = -\frac1{10}\cos5x -\frac12\cos x+C } \]

となります。

このように積和公式を使うと、\[ \boxed{ \text{三角関数の積} \rightarrow \text{三角関数の和} } \]

と変形できるため、積分しやすくなる場合があります。

高校数学では、積和公式は三角関数を含む積分を計算するときにも役立つ公式なのです。

9. 和積公式を実際に使ってみよう

今度は、\[ \sin75^\circ+\sin15^\circ \]

を考えてみましょう。

和積公式\[ \sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} \]

を使います。\[ A=75^\circ, \qquad B=15^\circ \]

なので、\[ \sin75^\circ+\sin15^\circ \]\[ = 2 \sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2} \cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2} \]\[ = 2\sin45^\circ\cos30^\circ \]

ここで、\[ \sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2} \]

なので、\[ = 2\cdot \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} \]\[ = \boxed{ \frac{\sqrt6}{2} } \]

となります。

10. 和積公式はどんなときに役立つ？

和積公式は、三角関数の和や差を積の形に変えたいときに役立ちます。

特に便利なのが、三角方程式を解く場合です。

例えば、\[ \sin3x+\sin x=0 \]

という方程式を考えてみましょう。

このままでは、\[ \sin3x \]

と\[ \sin x \]

という異なる角度の三角関数が足されているため、少し扱いにくい形です。

そこで、和積公式\[ \sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} \]

を使います。\[ A=3x,\qquad B=x \]

とすると、\[ \sin3x+\sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} \]

となります。

整理すると、\[ \sin3x+\sin x = 2\sin2x\cos x \]

です。

したがって、\[ \sin3x+\sin x=0 \]

は、\[ 2\sin2x\cos x=0 \]

と変形できます。

積が0になるため、\[ \sin2x=0 \]

または、\[ \cos x=0 \]

と分けて考えることができます。

このように和積公式を使うと、\[ \boxed{ \text{三角関数の和} \rightarrow \text{三角関数の積} } \]

と変形できるため、「積が0なら、どちらかが0」という考え方を利用して三角方程式を解ける場合があります。

まとめ

今回は、三角関数の積和公式・和積公式について解説しました。

積和公式は、三角関数の積を和や差に変換する公式です。

例えば、\[ \boxed{ \sin\alpha\cos\beta = \frac12 \left\{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right\} } \]

となります。

一方、和積公式は三角関数の和や差を積に変換する公式です。

例えば、\[ \boxed{ \sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} } \]

となります。

一見すると覚えにくい公式ですが、積和公式は加法定理を足したり引いたりして不要な項を消すことで導くことができます。

また、和積公式に\[ \frac{A+B}{2}, \qquad \frac{A-B}{2} \]

が登場するのも偶然ではありません。\[ A=\alpha+\beta, \qquad B=\alpha-\beta \]

という関係から元の \(\alpha,\beta\) を逆算すると、\[ \alpha=\frac{A+B}{2}, \qquad \beta=\frac{A-B}{2} \]

となるためです。

つまり、\[ \boxed{ \text{加法定理} \longrightarrow \text{積和公式} \longrightarrow \text{和積公式} } \]

というつながりがあります。

積和公式・和積公式を8個の別々の公式として丸暗記するのではなく、「すべて加法定理からつながっている」と理解しておくと、公式を忘れた場合でも自分で導き直せるようになります。