三角関数の中でも、sin12° の値を正確に求められますか？
sin30° や sin45° のような有名角と違い、sin12° は一見すると求めにくい値に見えます。
しかし、加法定理を使うことで「√を含む正確な値」を導出することが可能です。
本記事では、12°＝30°−18° に着目し、加法定理を利用して sin12°・cos12°・tan12° の値を丁寧に導出していきます。
本記事で求める sin12°、cos12°、tan12° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 12^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} \\
\displaystyle \cos 12^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} \\
\displaystyle \tan 12^\circ &=& \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}-(\sqrt{5}-2)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}
\end{eqnarray}
目次
■sin12°、cos12°、tan12° を求める方針
冒頭でも軽く触れた通り、本記事では \(12^\circ=30^\circ-18^\circ\) であることを利用し、加法定理を用いて導いていきます。
ただし、tan12° については、\(\frac{\sin12^\circ}{\cos12^\circ}\) を利用して求める方針とします。
本記事では、sin30°、cos30° の値は既知の情報として取り扱っています。
この辺りの知識が怪しい方は、以下記事にて三角関数の基本知識をまとめておりますので、事前に立ち寄ることをおススメ致します！
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■加法定理の復習
まずは三角関数の加法定理についてですが、実はこちらは既に別記事でまとめています。
以下の記事で丁寧に導出・証明しているので、気になる方は是非ご一読ください。
「そういえば、加法定理って何故成立するんだっけ？」という方におススメの記事となっています！
三角関数の加法定理（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
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■ sin18°、cos18° の値の確認
sin12°、cos12°、tan12° と求めるための前情報として、sin18°、cos18°、tan18° の値を確認しておきます。
これらの値については、以下の通りとなります。
「なんでこの値になるの？」と疑問に思う方は、以下の別記事で詳しくまとめていますので、よろしければお立ち寄り下さい。
本記事で導出する sin18°、cos18°、tan18° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle \cos18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle \tan18^{\circ}&=&\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}
\end{eqnarray}
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■ sin12° の導出
上で確認した加法定理、および、18°の時の三角関数の値を利用して、sin12° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 12^\circ &=& \sin (30^\circ-18^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 30^\circ \cos 18^\circ-\cos 30^\circ \sin 18^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}
\end{eqnarray}
■ cos12° の導出
同様に、加法定理を利用して cos12° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 12^\circ &=& \cos (30^\circ-18^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 30^\circ \cos 18^\circ+\sin 30^\circ \sin 18^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}
\end{eqnarray}
となる。
■ tan12° の導出
tan12° については、\(\frac{\sin12^\circ}{\cos12^\circ}\) を利用して求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 12^\circ &=& \frac{\sin 12^\circ}{\cos 12^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1} \cdot \frac{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}}{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(10+2\sqrt{5})-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-3(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)^2}{3(10+2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(10+2\sqrt{5})-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-3(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)^2}{24+8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{10\sqrt{3}+2\sqrt{15}-4(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(6-2\sqrt{5})}{24+8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{16\sqrt{3}-4(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{24+8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{6+2\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2(3+\sqrt{5})} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2 \cdot 4} \\
\displaystyle &=& \frac{4(3\sqrt{3}-\sqrt{15})-(4\sqrt{5}-8)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2 \cdot 4} \\
\displaystyle &=& \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}-(\sqrt{5}-2)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2} \\
\end{eqnarray}
■結果まとめと値の確認
三角関数の加法定理を利用することで、sin12°、cos12°、tan12° の値は以下の通り求めることができました。
先ほど求めた sin12°、cos12°、tan12° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 12^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} \tag{1} \\ \\
\displaystyle \cos 12^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} \tag{2} \\ \\
\displaystyle \tan 12^\circ &=& \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}-(\sqrt{5}-2)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2} \tag{3}
\end{eqnarray}
ただ、これらの値って、本当に合っているのでしょうか？
それを確認するため、根号の値を小数第6位までの小数で表し、それを(1)式～(3)式に当てはめてみて、最終的に他サイトの三角関数表を参照して、上式の正当性の確認を行ってみましょう。
筆者が電卓を用いて計算した結果を以下に記載していきます。
計算結果の小数第6位までを利用して計算していくこととします。
sin12° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 12^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{10+2 \times 2.236067}-3.872983+1.732050}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{14.472134}-2.140933}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{3.804225-2.140933}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{1.663292}{8} \\
\displaystyle &≒& 0.207911 \tag{4}
\end{eqnarray}
cos12° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 12^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{30+6 \times 2.236067}+2.236067-1}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{43.416402}+1.236067}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{6.589112+1.236067}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{7.825179}{8} \\
\displaystyle &≒& 0.978147 \tag{5}
\end{eqnarray}
tan12° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 12^\circ &=& \frac{\sin 12^\circ}{\cos 12^\circ} \\
\displaystyle &≒& \frac{0.207911}{0.978147} \\
\displaystyle &≒& 0.212555 \tag{6}
\end{eqnarray}
国立大学が公表している三角関数表の値との比較
千葉大学理学部数学・情報物理学科の公式HPに載っている三角関数表を参考に、
上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか、確認していきます。
上記サイト内では、sin12°、cos12°、tan12° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。
千葉大学が公表している sin12°、cos12°、tan12° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 12^\circ &=& 0.2079 \\
\displaystyle \cos 12^\circ &=& 0.9781 \\
\displaystyle \tan 12^\circ &=& 0.2126
\end{eqnarray}
(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。
■まとめ
今回は、sin12°の値について解説しました。
sin12°は一見すると求めにくい角度ですが、
30°と18°の差として捉えることで、加法定理を使って導出できます。
ポイントは以下の通りです。
- sin12°は sin(30°−18°) として考える
- 加法定理を使って展開する
- sin18°・cos18°の値を利用する
このように、三角関数では
「角度を分解する発想」が非常に重要になります。
ここまで記事を読んでいただき、ありがとうございました。
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