\(\sin12^\circ\)、\(\cos12^\circ\)、\(\tan12^\circ\) の値は、30°や45°のような有名角と比べると、一見求めにくそうに見えます。
しかし、\[ 12^\circ=30^\circ-18^\circ \]
と考えて三角関数の加法定理を使うことで、正確な値（厳密値）を求めることができます。
結論からいうと、\begin{eqnarray} \displaystyle \sin12^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt5}-\sqrt{15}+\sqrt3}{8} \\ \displaystyle \cos12^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt5}+\sqrt5-1}{8} \\ \displaystyle \tan12^\circ &=& \frac{3\sqrt3-\sqrt{15}-\sqrt{50-22\sqrt5}}{2} \end{eqnarray}
となります。
本記事では、これらの値がどのようにして得られるのか、途中式を省略せずに順番に導出していきます。
1. sin12°、cos12°、tan12° を求める方針
冒頭でも軽く触れた通り、本記事では \(12^\circ=30^\circ-18^\circ\) であることを利用し、加法定理を用いて導いていきます。
ただし、tan12° については、\(\frac{\sin12^\circ}{\cos12^\circ}\) を利用して求める方針とします。
本記事では、sin30°、cos30° の値は既知の情報として取り扱っています。
この辺りの知識が怪しい方は、以下記事にて三角関数の基本知識をまとめておりますので、事前に立ち寄ることをおススメ致します！
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三角関数とは？｜
sin・cos・tan の定義・性質・使い方を
わかりやすく解説三角関数とは、角度 \(\theta\) によって値が決まる関数で、代表的なものに \begin{eqnarray}\displaystyle \sin\theta, \quad \cos\theta ...
2. 12°＝30°−18°として加法定理を使う
まずは三角関数の加法定理についてですが、実はこちらは既に別記事でまとめています。
以下の記事で丁寧に導出・証明しているので、気になる方は是非ご一読ください。
「そういえば、加法定理って何故成立するんだっけ？」という方におススメの記事となっています！
三角関数の加法定理（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
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公式・使い方・証明をわかりやすく解説2026/9/29
三角関数には、2つの角の和や差を扱うための「加法定理」と呼ばれる重要な公式があります。 代表的なものが、 \begin{eqnarray}\displaystyle \sin(\alpha+\beta ...
3. sin18°・cos18°の値を確認
sin12°、cos12°、tan12° を求めるための前情報として、sin18°、cos18° の値を確認しておきます。
これらの値については、以下の通りとなります。
「なんでこの値になるの？」と疑問に思う方は、以下の別記事で詳しくまとめていますので、よろしければお立ち寄り下さい。
本記事で使用する sin18°、cos18° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle \cos18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}
\end{eqnarray}
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sin18°・cos18°・tan18°の値の求め方｜
倍角・三倍角の公式からわかりやすく導出「sin18°・cos18°・tan18°の値は、どうやって求めればいいの？」 18°は30°・45°・60°などの有名角とは異なり、公式などを使って厳密値を求められる「準有名角」の1つです。 三角関 ...
4. sin12°の値を加法定理で求める
それでは、加法定理と \(\sin18^\circ,\cos18^\circ\) の値を使って、\(\sin12^\circ\) の値を求めてみましょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 12^\circ &=& \sin (30^\circ-18^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 30^\circ \cos 18^\circ-\cos 30^\circ \sin 18^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}
\end{eqnarray}
となります。
5. cos12°の値を加法定理で求める
同様に、加法定理を利用して cos12° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 12^\circ &=& \cos (30^\circ-18^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 30^\circ \cos 18^\circ+\sin 30^\circ \sin 18^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}
\end{eqnarray}
となります。
6. tan12°の値を求める
\(\tan12^\circ\) の値は、\[ \boxed{ \tan12^\circ= \frac{3\sqrt3-\sqrt{15}-\sqrt{50-22\sqrt5}}{2} } \]
です。
以下では、\[ \tan12^\circ=\frac{\sin12^\circ}{\cos12^\circ} \]
を利用して、この値を途中式から導出します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 12^\circ &=& \frac{\sin 12^\circ}{\cos 12^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1} \cdot \frac{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}}{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(10+2\sqrt{5})-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-3(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)^2}{3(10+2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(10+2\sqrt{5})-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-3(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)^2}{24+8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{10\sqrt{3}+2\sqrt{15}-4(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(6-2\sqrt{5})}{24+8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{16\sqrt{3}-4(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{24+8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{6+2\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2(3+\sqrt{5})} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2 \cdot 4} \\
\displaystyle &=& \frac{4(3\sqrt{3}-\sqrt{15})-(4\sqrt{5}-8)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2 \cdot 4} \\
\displaystyle &=& \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}-(\sqrt{5}-2)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2 (10+2\sqrt{5})}}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{(9-4\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{50-22\sqrt{5}}}{2} \\
\end{eqnarray}
まとめ
本記事では、\(\sin12^\circ\)、\(\cos12^\circ\)、\(\tan12^\circ\) の値と、その求め方について解説しました。
12°は30°や45°のような有名角ではありませんが、\[ 12^\circ=30^\circ-18^\circ \]
と考えることで、加法定理を利用できます。
その結果、\begin{eqnarray} \displaystyle \sin12^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt5}-\sqrt{15}+\sqrt3}{8} \\ \displaystyle \cos12^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt5}+\sqrt5-1}{8} \\ \displaystyle \tan12^\circ &=& \frac{3\sqrt3-\sqrt{15}-\sqrt{50-22\sqrt5}}{2} \end{eqnarray}
と求めることができます。
なお、小数で表すと、\[ \sin12^\circ\approx0.2079,\qquad \cos12^\circ\approx0.9781,\qquad \tan12^\circ\approx0.2126 \]
となります。
一見すると求めにくい角度でも、既知の角度の和や差として表せないか考えることが、三角関数の厳密値を求める重要なポイントです。
本記事が、三角関数の加法定理や厳密値について理解する助けになれば幸いです。