積分でなぜ面積が求められる？
定積分と面積の関係をわかりやすく解説

高校数学では、曲線と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積を求めるときに「積分」を使います。

たとえば、\(y=x^2\) と \(x\) 軸、\(x=0,\ x=1\) で囲まれた部分の面積 \(S\) は、\[ S=\int_0^1x^2\,dx \]

として求めることができます。

しかし、

「なぜ積分すると面積が求められるの？」
「そもそも積分と面積にはどんな関係があるの？」

と疑問に思ったことがある方も多いのではないでしょうか。

積分で面積を求められる理由を理解するポイントは、求めたい図形を細長い長方形に分けて考えることです。

この記事では、長方形による面積の近似から出発して、なぜ定積分によって曲線で囲まれた部分の面積を求められるのかを、途中式を省略せずにわかりやすく解説します。

1. 定積分で面積を求める公式

\(a\le x\le b\) の範囲で、\[ f(x)\ge0 \]

であるとします。

このとき、関数\[ y=f(x) \]

と \(x\) 軸、2本の直線\[ x=a,\qquad x=b \]

によって囲まれた部分の面積 \(S\) は、\[ \boxed{ S=\int_a^b f(x)\,dx } \]

で求めることができます。

なぜ \(\int_a^b f(x)\,dx\) を計算すると、曲線で囲まれた部分の面積になるのでしょうか？

ここから、その理由を順番に考えていきます。

2. まずは長方形の面積から考えてみよう

曲線で囲まれた面積をいきなり求めるのは難しいので、まずは長方形について考えます。

長方形の横の長さを\[ \Delta x \]

縦の長さを\[ f(x) \]

とすると、その面積は、\[ f(x)\Delta x \]

です。

3. 曲線の下の部分を長方形に分ける

次に、

\(y=f(x)\) の \(x=a\) から \(x=b\) までの面積を求めたいとします。

この区間を \(n\) 個に分割します。

簡単のため、それぞれの横幅を同じ\[ \Delta x=\frac{b-a}{n} \]

とします。

各区間に細長い長方形を作ります。

\(k\) 番目の区間 \([x_k,x_{k+1}]\) に作る長方形の高さを \(f(x_k)\) とすると、その面積は、

\[ f(x_k)\Delta x \]

となります。

したがって、すべての長方形の面積を足すと、

\[ f(x_0)\Delta x+f(x_1)\Delta x+\cdots+f(x_{n-1})\Delta x \]

です。

\(\sum\) を使えば、

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x} \]

と表せます。

ただし、この段階ではまだ曲線の下の面積と完全には一致しません。

長方形と曲線の間に隙間やはみ出した部分があるからです。

4. 長方形をどんどん細くするとどうなる？

では、区間の分割数 \(n\) を増やしてみましょう。

たとえば、\[ n=5 \]

より、\[ n=10 \]

さらに、\[ n=100 \]

と分割数を増やすほど、1つ1つの長方形は細くなります。

すると、長方形と曲線の間にあったズレもどんどん小さくなっていきます。

そして、\[ n\to\infty \]

と考えると、\[ \Delta x\to0 \]

となり、長方形の面積の合計は、求めたい曲線の下の面積に近づいていきます。

したがって、\[ S= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x \]

と考えることができます。

このように、非常に細い長方形の面積をすべて足し合わせる考え方を表したものが定積分です。

したがって、\[ \boxed{ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x } \]

と考えることができ、\[ \boxed{ S=\int_a^b f(x)\,dx } \]

となります。

積分で面積を求められるのは、曲線の下を非常に細い長方形に分け、それらの面積をすべて足し合わせているからです。

5. 実際に \(y=x^2\) の面積を求めてみよう

\(y=x^2\) と \(x\) 軸、および\[ x=0,\qquad x=1 \]

で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めます。

先ほどの公式から、\[ S=\int_0^1x^2\,dx \]

です。

\(x^2\) の原始関数は、\[ \frac{x^3}{3} \]

なので、\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \]\[ = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \]\[ = \boxed{\frac13} \]

となります。

したがって、求める面積は、\[ \boxed{\frac13} \]

です。

6. \(x\) 軸より下にある部分はどうなる？

たとえば、\[ f(x)<0 \]

となる部分では、定積分の値は負になります。

つまり、\[ \int_a^b f(x)\,dx \]

は常に「普通の意味での面積」を表しているわけではありません。

\(x\) 軸より、

• 上側の部分 → 正
• 下側の部分 → 負

として計算されます。

したがって、実際の図形の面積を求めたい場合には、\(x\) 軸より下にある部分について符号を反転させる必要があります。

たとえば、\[ f(x)\le0 \]

なら、\[ S=-\int_a^b f(x)\,dx \]

です。

あるいは一般的には、\[ \boxed{ S=\int_a^b |f(x)|\,dx } \]

と考えることができます。

「定積分の値」と「図形の面積」は必ずしも同じではありません。

7. なぜ面積を求めるのに原始関数を使うの？

ここまで、曲線の下の部分を細長い長方形に分け、それらの面積を足し合わせることで、定積分によって面積を求められる理由を説明しました。

しかし、実際に定積分を計算するときには、細長い長方形の面積を1つずつ足し合わせるのではなく、原始関数を利用して計算します。

たとえば、\[ \int_0^1 x^2\,dx \]

を計算するときには、\(x^2\) の原始関数が \(\displaystyle \frac{x^3}{3}\) であることを利用して、\[ \int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac13 \]

と計算します。

では、なぜ「細長い長方形の面積を足し合わせること」と「原始関数を使って計算すること」がつながるのでしょうか？

7-1. 面積の増え方を考えてみよう

関数 \(y=f(x)\) が、\[ f(x)\geq0 \]

を満たしている場合について考えてみましょう。

\(x=a\) から \(x=t\) までの曲線の下の面積を \(S(t)\) とすると、\[ S(t)=\int_a^t f(x)\,dx \]

と表すことができます。

ここで、\(t\) を少しだけ増やして、\[ t+\Delta t \]

にした場合を考えます。

このとき増加する面積は、\[ S(t+\Delta t)-S(t) \]

です。

\(\Delta t\) が十分に小さければ、この増加した部分は「横幅が \(\Delta t\)、高さが \(f(t)\) の細長い長方形」とほぼ同じ面積になります。

したがって、\[ S(t+\Delta t)-S(t)\approx f(t)\Delta t \]

と考えることができます。

両辺を \(\Delta t\) で割ると、\[ \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}\approx f(t) \]

となります。

ここで、\(\Delta t\) を限りなく \(0\) に近づけると、\[ \lim_{\Delta t\to0}\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}=f(t) \]

となります。

左辺は \(S(t)\) の微分そのものなので、\[ \boxed{S'(t)=f(t)} \]

となります。

つまり、曲線の下の面積を表す関数 \(S(t)\) を微分すると、元の関数 \(f(t)\) になるのです。

7-2. だから原始関数を使って面積を計算できる

先ほど、\[ S'(t)=f(t) \]

となることを確認しました。

一方、\(f(t)\) の原始関数を \(F(t)\) とすると、\[ F'(t)=f(t) \]

です。

つまり、\[ S'(t)=F'(t) \]

となります。

微分した結果が同じ2つの関数は、定数分だけ異なるため、\[ S(t)=F(t)+C \]

と表すことができます。

また、\(t=a\) のときは、\(x=a\) から \(x=a\) までの面積なので、\[ S(a)=0 \]

です。

したがって、\[ 0=F(a)+C \]

より、\[ C=-F(a) \]

となります。

これを、\[ S(t)=F(t)+C \]

に代入すると、\[ S(t)=F(t)-F(a) \]

となります。

最後に \(t=b\) とすれば、\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)} \]

となります。

これが、定積分を原始関数を使って計算できる理由です。

このように、「細長い長方形の面積を足し合わせること」と「原始関数を使って計算すること」は、実は数学的につながっています。

この関係は、微積分学の基本定理と呼ばれる非常に重要な定理です。

まとめ

この記事では、なぜ積分を使うと曲線で囲まれた部分の面積を求められるのかを解説しました。

曲線の下の面積を求めるときには、まず求めたい部分を細長い長方形に分けて考えます。

1つの長方形の横幅を \(\Delta x\)、高さを \(f(x_k)\) とすると、その面積は、\[ f(x_k)\Delta x \]

となります。

したがって、これらの長方形の面積をすべて足すと、\[ \sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)\Delta x \]

となります。

さらに、分割数 \(n\) を限りなく大きくして、1つ1つの長方形の横幅を限りなく小さくすると、この合計は曲線の下の面積に近づいていきます。

この考え方を表したものが定積分です。

そのため、\(a\leq x\leq b\) の範囲で、\[ f(x)\geq0 \]

であれば、曲線 \(y=f(x)\) と \(x\) 軸、\(x=a\)、\(x=b\) で囲まれた部分の面積 \(S\) は、\[ \boxed{S=\int_a^b f(x)\,dx} \]

で求めることができます。

さらに、\(f(x)\) の原始関数を \(F(x)\) とすると、微積分学の基本定理より、\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)} \]

として計算することができます。

ただし、\(x\) 軸より下にある部分では定積分の値が負になるため、「定積分の値」と「図形の面積」は必ずしも同じではありません。

積分を単なる計算公式として覚えるのではなく、「曲線の下を細長い長方形に分け、その面積を足し合わせている」とイメージすると、なぜ積分で面積を求められるのか理解しやすくなります。