sin24°・cos24°・tan24°の値と求め方｜
倍角公式で導出をわかりやすく解説

sin24°やcos24°、tan24°の値を正確に求めることはできるのでしょうか？

求め方は色々ありますが、今回は24°＝12°+12° に着目し、三角関数の倍角公式を利用して丁寧に導出していきます。

本記事では、

• sin24°・cos24°・tan24° の値を求める方針
• 倍角公式の復習
• sin12°・cos12° の値の復習（別記事で導出済み）
• sin24°・cos24°・tan24° の厳密解を導出
• 求めた厳密解の妥当性の確認

という構成で話を進めていきます。

■sin24°、cos24°、tan24° を求める方針

冒頭でも軽く触れた通り、本記事では \(24^\circ=12^\circ+12^\circ\) であることを利用し、倍角公式を用いて導いていきます。

ただし、tan24° については、\(\frac{\sin24^\circ}{\cos24^\circ}\) を利用して求める方針とします。

■三角関数の倍角公式の復習

まずは、三角関数の倍角公式の復習から始めましょう。

倍角公式は、以下となります。もしこの辺りの理解が不十分である場合は、以下別記事で丁寧に導出していますので、是非参照してみて下さい。

■ sin12°、cos12° の値の確認

sin24°、cos24°、tan24° を求めるための前情報として、sin12°、cos12° の値を確認しておきます。

これらの値については、別記事で既に導出済みのため、その値を利用することにします。

「なんでこの値になるの？」と疑問に思う方は、以下の別記事で詳しくまとめていますので、よろしければお立ち寄り下さい。

■ sin24° の導出

上で確認した倍角公式、および、12° の時の三角関数の値を利用して、sin24° の値を求めていくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 24^\circ &=& 2\sin 12^\circ \cos 12^\circ \\
\displaystyle &=& 2 \times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} \times \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} \\
\displaystyle &=& 2 \times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8} \times \frac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)\}\{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1\}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(10+2\sqrt{5})-\sqrt{3}(6-2\sqrt{5})-2(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{15}-2\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2 (10+2\sqrt{5})}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{15}-2\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{15}-2\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{15}-4\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\end{eqnarray}

となる。

■ cos24° の導出

同様に、倍角公式を利用して cos24° の値を求めていくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 24^\circ &=& 2\cos^2 12^\circ-1 \\
\displaystyle &=& 2\left(\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}\right)^2-1 \\
\displaystyle &=& \frac{30+6\sqrt{5}+6-2\sqrt{5}+2\sqrt{30+6\sqrt{5}}(\sqrt{5}-1)}{32}-1 \\
\displaystyle &=& \frac{36+4\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{(10+2\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2}}{32}-\frac{32}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4+4\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{(10+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4+4\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} \\
\end{eqnarray}

となる。

■ tan24° の導出

tan24° については、\(\frac{\sin24^\circ}{\cos24^\circ}\) を利用して求めていきます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 24^\circ &=& \frac{\sin 24^\circ}{\cos 24^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \times \color{red}{\frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}-\sqrt{30-6\sqrt{5}}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \times \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}-\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})-\sqrt{10-2\sqrt{5}}\}\{1+\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\}}{(1+\sqrt{5})^2-(\sqrt{30-6\sqrt{5}})^2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})^2+\sqrt{3}(\sqrt{10-2\sqrt{5}})^2-4(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{6+2\sqrt{5}-(30-6\sqrt{5})} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(6+2\sqrt{5})+\sqrt{3}(10-2\sqrt{5})-4\sqrt{(1+\sqrt{5})^2(10-2\sqrt{5})}}{8\sqrt{5}-24} \\
\displaystyle &=& \frac{16\sqrt{3}-4\sqrt{(6+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}{8\sqrt{5}-24} \\
\displaystyle &=& \frac{16\sqrt{3}-4\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{8\sqrt{5}-24} \\
\displaystyle &=& \frac{8\sqrt{10+2\sqrt{5}}-16\sqrt{3}}{24-8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3}}{3-\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3}}{3-\sqrt{5}} \times \color{red}{\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=& \frac{(3+\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{(3+\sqrt{5})^2(10+2\sqrt{5})}-2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{(14+6\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}-2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{2\sqrt{(7+3\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}-2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2} \\
\end{eqnarray}

■結果まとめと値の確認

三角関数の加法定理を利用することで、sin24°、cos24°、tan24° の値は以下の通り求めることができました。

ただ、これらの値って、本当に合っているのでしょうか？

それを確認するため、根号の値を小数第6位までの小数で表し、それを(1)式～(3)式に当てはめてみて、最終的に他サイトの三角関数表を参照して、上式の正当性の確認を行ってみましょう。

sin24° の値（小数形式）

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 24^\circ &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{1.732050+3.872983-\sqrt{10-2 \times 2.236067}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{5.605033-\sqrt{5.527866}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{5.605033-2.351141}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{3.253892}{8} \\
\displaystyle &≒& 0.406736 \tag{4}
\end{eqnarray}

cos24° の値（小数形式）

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 24^\circ &=& \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{1+2.236067+\sqrt{30-6 \times 2.236067}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{3.236067+\sqrt{16.583598}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{3.236067+4.072296}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{7.308363}{8} \\
\displaystyle &≒& 0.913545 \tag{5}
\end{eqnarray}

tan24° の値（小数形式）

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 24^\circ &=& \frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{50+22 \times 2.236067}-3 \times 1.732050-3.872983}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{99.193474}-9.069133}{2} \\
\displaystyle &≒& \frac{9.959592-9.069133}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{9.959592-9.069133}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{0.890459}{2} \\
\displaystyle &≒& 0.445229 \tag{6}
\end{eqnarray}

国立大学が公表している三角関数表の値との比較

千葉大学理学部数学・情報物理学科の公式HPに載っている三角関数表を参考に、
上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか、確認していきます。

上記サイト内では、sin24°、cos24°、tan24° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。

(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。

■まとめ

本記事では、以下のように sin24°・cos24°・tan24° の値を導出しました。

• 24°は12°の2倍として考える
• 倍角公式を利用する
• sin12°・cos12°など既知の値を活用する

ただ、一般の人は sin12° や cos12° の値なんて知らないと思うので、実用的な導出手段ではないのも確かです。

もし、もっとスマートな解法を思いついた方がいらっしゃいましたら、是非その方法で sin24°・cos24°・tan24° を導いてみて、今回の結果と一致するか確かめてみて下さい！

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