整数と自然数の違いとは？0は自然数？
定義と具体例で解説

「整数」や「自然数」は、中学・高校数学で当たり前のように登場する言葉です。

しかし、

「整数と自然数って何が違うの？」

「0は整数に含まれる？」

「0は自然数なの？」

「自然数と正の整数は同じ？」

と聞かれると、意外と迷ってしまう人も多いのではないでしょうか。

特に注意したいのが「0は自然数に含まれるのか」という問題です。

実は、自然数に0を含めるかどうかは、数学の分野や採用する定義によって異なります。

本記事では、整数と自然数の定義や違い、0の扱いについて具体例を使いながらわかりやすく解説します。

さらに、有理数・無理数・実数との関係についても整理していきます。

1. 整数と自然数の違いをまず簡単に確認

まずは結論から確認しましょう。

整数と自然数の違いを簡単にまとめると、次のようになります。

数の種類	具体例	負の数	0	正の整数
整数	-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3	○	○	○
自然数	1, 2, 3, 4	×	定義による	○

整数とは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots
\end{eqnarray}

のような、負の整数・0・正の整数をすべて合わせた数です。

一方、自然数とは、ものの個数などを数えるときに使われる

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, \cdots
\end{eqnarray}

のような数です。

ただし、自然数については

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, \cdots
\end{eqnarray}

のように、0を自然数に含める定義もあります。

そのため、

「0は整数ですか？」

という質問には、

「はい。0は整数です」

と答えることができますが、

「0は自然数ですか？」

については、

「自然数の定義によって異なります」

というのが正確な答えになります。

それでは、整数と自然数についてもう少し詳しく見ていきましょう。

2. 整数とは？

整数とは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots}
\end{eqnarray}

のような数のことです。

整数は、大きく分けると次の3種類から構成されています。

• 正の整数：1, 2, 3, 4, ・・・
• 0
• 負の整数：-1, -2, -3, -4, ・・・

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle -10, \quad -3, \quad 0, \quad 2, \quad 100
\end{eqnarray}

はすべて整数です。

一方、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{2}, \quad 0.5, \quad \sqrt{2}, \quad \pi
\end{eqnarray}

などは整数ではありません。

3. \(0\) は整数？

0は整数に含まれます。

0 は正の整数でも負の整数でもない、特殊な整数です。

つまり、

• 1, 2, 3, ・・・ → 正の整数
• -1, -2, -3, ・・・ → 負の整数
• 0 → 正でも負でもない特殊な整数

という関係になります。

4. 自然数とは？

自然数とは、簡単にいうとものの個数などを数えるときに使われる数です。

例えば、りんごの個数を

「1個、2個、3個、4個……」

と数えるときに使われる

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cdots, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots}
\end{eqnarray}

のような数が自然数です。

学校数学では、このように

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cdots, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots
\end{eqnarray}

を自然数として扱うことがあります。

この定義では、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cdots, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots
\end{eqnarray}

■まずは結論！実数・自然数等の関係性まとめ！

細かな説明に入る前に、まずは図で視覚的にグループ分けを見てみましょう！

まず中学生の段階で出てくる数字は全て「実数」の範囲内に含まれています。

次に、実数の中で「有理数」と「無理数」に分類されます。

そして、有理数の中では「整数」、「小数」に分類され、その2種はさらに分類される、、、みたいな感じです。

例としまして、【-50】という数字があったとすると、この数字は「実数」、「有理数」、「整数」、「負の整数」のいずれのグループにも所属している数字、ということになります。

■実数って何？

上の図からわかるように、まず中学生の範囲で学ぶ数字は全て「実数」というものになります。

■有理数/無理数って何？

有理数/無理数のグループ分けは実は簡単です。

ズバリ、分母分子が整数の分数で表すことができる数が「有理数」、できない数が「無理数」となります。

例えば「整数」は全て、分母を1とした分数で表すことができるので、「有理数」に含まれます。

一方、\(\displaystyle \sqrt{2}\) や\(\displaystyle \sqrt{3}\)、\(\displaystyle \pi\)についてはどう頑張っても分母分子を整数とした分数では表すことができないため、これらは「無理数」となるわけです。

■整数/自然数って何？

まずは理解しやすい「自然数」から理解しましょう。

簡単に言うと、物の個数を数えたり、順番を数えたりする際に使用する数字が「自然数」です。

そして、この『自然数』と、『自然数に負号（-）をつけたもの』、あと数字の『0』、この3種類をまとめて「整数」と呼びます。

自然数は「正の整数」と表現されることもありますが、どちらも同じ意味となりますので、惑わされることがないようにしましょう。

一方、自然数にマイナスをつけた数は「負の整数」と定義されます。

■（補足1）「整数」≠「正数」であることに注意！

実はここでは説明していない数の種別用語として、「正数」というものがあります。

この用語の意味としては単純に「正の数（つまり、負の数でも0の数でもない）」という意味ですが、よく「整数」と混同してしまう人がいます。

読み方は同じなのですが、意味としてはまるで別となるので、気を付けてください！！

■有限小数/循環小数って何？

「有限小数」とは、「無限に続かない小数で表現可能な分数or小数のこと」です。

例えば小数の\(0.02\)とかは当然「有限小数」です。

では、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) はどうでしょうか。

これは小数で表現すると\(0.5\)と表現されるため、「有限小数」となります。

では、\(\displaystyle \frac{1}{3}\) はどうでしょうか。

これは小数で表すと\(0.33333333・・・\)となり、無限に3が続く形の小数になるので、「有限小数」とはなりません。

\(\displaystyle \frac{1}{3}\) のように、「途中から同じ数字の列を繰り返す形の分数or小数」は「循環小数」と定義されます。

■（補足2）整数・自然数の定義を知っていることのメリット

ここで補足として、整数・自然数を知っていることのメリットを少し紹介します。

例えば、以下のような問題があったとします。

この問題の回答として、\(x=0, 2\) と答えた方は×（甘めに見て△）です。

なぜなら、求めるように言われているのは「自然数\(x\)の値」のため、\(x=0\) の値を答えると減点or間違いとなります。
　※\(x=0\) は自然数ではないため。

つまり、上記例題の回答としては \(x=2\) だけが正解となります。

このように、「自然数」や「整数」の正確な定義を理解していないと、解ける問題も解けないようになってしまうわけです！

■【まとめ】”整数”と”自然数”の違いだけでも理解しておこう！

いかがでしたでしょうか。

先述しました通り、「自然数」や「整数」の正確な知識を持っていないと正確に回答ができない問題も今後出てきます。

本記事では色々な数を区別するための用語の説明をしてきましたが、全て覚えるのは難しいという方は、一旦は「自然数」や「整数」の違いだけでも覚えてもらえれば十分かと思います。

数学が得意な人ほど、このあたりの定義を正確に知っているので、是非この機会に覚えて、他の人と差をつけてしまいましょう！

最後まで本記事を読んでいただき、ありがとうございました！