この公式を使いこなせるようになれば準有名角である \(\sin15^\circ\)、\(\cos15^\circ\) の値も求めることができるようになります！
、、、え？加法定理を使っても \(\sin15^\circ\)、\(\cos15^\circ\) の値は導けるって？
、、、まあ、それは一旦置いといて、半角公式の導出からしていきましょう。
本記事で導出する半角公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2\theta &=& \frac{1-\cos2\theta}{2} \\
\displaystyle \cos^2\theta &=& \frac{1+\cos2\theta}{2} \\
\end{eqnarray}
実は半角公式の導出は、以下の倍角公式を利用して一瞬で導くことができます。
\[\displaystyle \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\]
上記の倍角公式が何故成立するのか不明の方は、こちらから確認可能です！
目次
■半角公式の導出
早速導出していきます。 \(\sin\)、\(\cos\) のどちらの半角公式の導出も、以下の倍角公式を利用します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
\displaystyle &=& 1 - 2\sin^2 \theta \tag{1} \\
\displaystyle &=& 2\cos^2 \theta - 1 \tag{2}
\end{eqnarray}
(1)式、(2)式をそれぞれ式変形することで、以下の半角公式を得ることができます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2\theta &=& \frac{1-\cos2\theta}{2} \\
\displaystyle \cos^2\theta &=& \frac{1+\cos2\theta}{2} \\
\end{eqnarray}
左辺が2乗の形になっているのが気持ち悪い方は、以下のように根号を使って表現することもできますが、右辺の符号は１つに定まる点は注意してください。＋と－のどちらになるかは、\(\theta\) の値次第で決まります。このあたりの自信がない方は、こちらを参照してみて下さい。
① \(0^\circ \leqq \theta \lt 90^\circ\) の場合
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\theta = \sqrt{\frac{1-\cos2\theta}{2}} 、 \cos\theta = \sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}} \\
\end{eqnarray}
② \(90^\circ \leqq \theta \lt 180^\circ\) の場合
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\theta = \sqrt{\frac{1-\cos2\theta}{2}} 、 \cos\theta = -\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}} \\
\end{eqnarray}
③ \(180^\circ \leqq \theta \lt 270^\circ\) の場合
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\theta = -\sqrt{\frac{1-\cos2\theta}{2}} 、 \cos\theta = -\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}} \\
\end{eqnarray}
④ \(270^\circ \leqq \theta \lt 360^\circ\) の場合
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\theta = -\sqrt{\frac{1-\cos2\theta}{2}} 、 \cos\theta = \sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}} \\
\end{eqnarray}
■半角公式を利用して \(\sin15^\circ\)、\(\cos15^\circ\) の値を求める
これまでの我々は \(\sin30^\circ\)、\(\sin45^\circ\)、\(\sin60^\circ\) のような、いわゆる有名角の角度の三角関数であれば数値で表現できましたが、それ以外（有名角以外）は数値で表現できませんでした。
しかし、半角公式を覚えた我々であれば、以下のように \(\sin15^\circ\)、\(\cos15^\circ\) の値も求められるようになります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin15^\circ &=& \sqrt{\frac{1-\cos30^\circ}{2}} \\
\displaystyle &=& \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\
\displaystyle &=& \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos15^\circ &=& \sqrt{\frac{1+\cos30^\circ}{2}} \\
\displaystyle &=& \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\
\displaystyle &=& \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
■半角公式を利用して \(\sin22.5^\circ\)、\(\cos22.5^\circ\) の値を求める
ちょっと中途半端な数値ですが、 \(\sin22.5^\circ\)、\(\cos22.5^\circ\) の値も \(45^\circ\) が有名角であるため、求めることができます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin22.5^\circ &=& \sqrt{\frac{1-\cos45^\circ}{2}} \\
\displaystyle &=& \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\
\displaystyle &=& \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos22.5^\circ &=& \sqrt{\frac{1+\cos45^\circ}{2}} \\
\displaystyle &=& \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\
\displaystyle &=& \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{eqnarray}
■まとめ：君は角度を半分にする技術を習得した
半角公式さえ身に着ければ、本記事で求めた \(\cos15^\circ\) の値を利用して \(\sin7.5^\circ\)、\(\cos7.5^\circ\) の値も根号を用いて表現することができます。もし気になる方はガンガン半角公式を利用して、より小さい角度まで求めていってみよう！
筆者は面倒くさいからやりません！