皆さん、「素数」と聞くとどのような数を思い浮かべるでしょうか。
素数とは、1とその数自身以外では割り切れない自然数のことです。
そんな素数には、単に「素数」と呼ばれるだけでなく、特別な性質を持つことから固有の名前が付けられているものが数多く存在します。
例えば、
- レピュニット素数
- メルセンヌ素数
- ソフィー・ジェルマン素数
- 双子素数
などが有名です。
本記事では、数学の世界で知られているさまざまな特殊な素数について、その定義や特徴をできるだけわかりやすく紹介していきます。
「素数にはどんな種類があるのか知りたい」
「名前だけ聞いたことがある素数について調べたい」
という方は、ぜひ最後までご覧ください。
■レピュニット素数
レピュニット素数の”定義”と”特徴”を以下に示します。
ちなみに、全ての桁の数字が「1」で構成された自然数はレピュニット数と呼びます。
レピュニット素数の特徴
・2026年6月時点で、素数だと証明されているレピュニット素数は8個のみ。
・その8個のレピュニット素数は以下の通り。ただし、「1」を \(n\) 個並べてできる自然数を \(R_n\) と定義している。
\begin{eqnarray}
①&:&R_2 \ (=11) \\
②&:&R_{19} \ (=1111111111111111111) \\
③&:&R_{23} \ (=11111111111111111111111) \\
④&:&R_{317} \\
⑤&:&R_{1031} \\
⑥&:&R_{49081} \\
⑦&:&R_{86453} \\
⑧&:&R_{109297}
\end{eqnarray}
・上記８個のレピュニット素数以外に、下記３個のレピュニット数も素数であることが予想されているが、現時点ではまだ証明されていない。
\begin{eqnarray}
⑨&:&R_{270343} \\
⑩&:&R_{5794777} \\
⑪&:&R_{8177207}
\end{eqnarray}
引用元：Wikipedia<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88>
■メルセンヌ素数
メルセンヌ素数の”定義”と”特徴”を以下に示します。
ちなみに、自然数 \(n\) に対し、\(2^n-1\) で表現できる数をメルセンヌ数と呼びます。
メルセンヌ素数の特徴
・2026年6月時点で、発見されているメルセンヌ素数は全部で52個。
・発見されているメルセンヌ素数の中で最大の数は \(2^{136279841}\) であり、\(41024320\) 桁の数である。
・メルセンヌ数（\(2^n-1\)）がメルセンヌ素数となるとき、\(n\) は必ず素数となる。
・メルセンヌ素数に \(2^{n-1}\) をかけた値 \(\left(2^{n-1}(2^n-1)\right)\) は、完全数になることが知られている。
(例1) \(n=2\) のとき、 \(2^{2-1}(2^2-1)=2 \times 3=6\) となり、6は完全数である。
(例2) \(n=3\) のとき、 \(2^{3-1}(2^3-1)=4 \times 7=28\) となり、28は完全数である。
(例3) \(n=5\) のとき、 \(2^{5-1}(2^5-1)=16 \times 31=496\) となり、496は完全数である。
・完全数も52個発見されており、上で述べたメルセンヌ素数との対応関係からいずれも求めることができる。
引用元：Wikipedia<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8C%E6%95%B0>
引用元：数学の景色 様<https://mathlandscape.com/perfect-num/>
■ソフィー・ジェルマン素数（＋安全素数）
ソフィー・ジェルマン素数の”定義”と”特徴”を以下に示します。
ソフィー・ジェルマン素数の特徴
・「\(2\)」と「\(3\)」を除くソフィー・ジェルマン素数は、必ず \(6n-1\) で表現できる素数となる。
・「\(2\)」と「\(5\)」を除くソフィー・ジェルマン素数の一の位の数は、「\(1\)」、「\(3\)」、「\(9\)」のいずれかとなる。
・2026年6月時点で知られている最大のソフィー・ジェルマン素数は \(2618163402417 \times 2^{1290000}−1\) であり、\(388342\) 桁の数である。
・ソフィー・ジェルマン素数 \(p\) に対し、\(2p+1\) の素数を安全素数と呼ぶ。
■双子素数
双子素数の”定義”と”特徴”を以下に示します。
\((3,5)\) のような組自体を双子素数と定義する場合もあるようですが、本サイトでは「素数の組を構成する各素数（\(3\) とか \(5\) とか）」を双子素数と定義することにします。
双子素数の特徴
・素数の性質上、\((3, 5)\) 以外の双子素数の組は必ず \((6n-1, 6n+1)\) の形式となる。(ただし、\(n\) は自然数）
・\((3, 5)\) の組以外の双子素数の一の位の数は \((1, 3), (7, 9), (9, 1)\) のいずれかとなる。
・2026年6月時点で知られている最大の双子素数の組は \(2996863034895 \times 2^{1290000} \pm 1\) であり、\(388342\) 桁の数である。
引用元：Wikipedia<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0>
■いとこ素数
いとこ素数の”定義”と”特徴”を以下に示します。
こちらも双子素数と同様、\((3,7)\) のような組自体をいとこ素数と定義する場合もあるようです。
いとこ素数の特徴
・2組のいとこ素数の組に属するいとこ素数は \(7\) のみである。
・2026年6月現在、発見されている最大のいとこ素数の桁数は \(11594\) 桁である。
※最大のいとこ素数はどのように表現できるかは、Wikipediaを参照ください。
引用元：Wikipedia<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%84%E3%81%A8%E3%81%93%E7%B4%A0%E6%95%B0>
■セクシー素数
セクシー素数の”定義”と”特徴”を以下に示します。
「セクシー素数」という名前の由来は参照先Wikipediaを参照ください。
セクシー素数の特徴
・「2」と「3」を除く最小のセクシー素数は \(71\) である。
・2026年6月時点で知られている最大のセクシー素数は \(11922002779 \cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-5\) であり、\(51934\) 桁の数である。
引用元：Wikipedia<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BB%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%BC%E7%B4%A0%E6%95%B0>
■回文素数
回文素数の”定義”と”特徴”を以下に示します。
回文素数の特徴
・桁数が偶数の回文素数は \(11\) のみである。（※11以外の桁数が偶数の回文数は、全て11の倍数となるため）
・レピュニット素数は全て回文素数となる。
引用元：Wikipedia<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E6%96%87%E7%B4%A0%E6%95%B0>
■エマープ素数
エマープ素数の”定義”と”特徴”を以下に示します。
ちなみに「エマープ素数」という名前の由来は、素数を英語で「prime」というので、その綴りのアルファベットを逆に並べると「emirp」となるからだそうです。
エマープ素数の特徴
特にナシ。（ネタ枠の要素が強いのかも？）
最後に
今回は、数学の世界で名前が付けられている代表的な素数について紹介しました。
素数は単純な定義を持つ数ですが、その中には特別な性質を持つものが数多く存在し、それぞれが独自の研究対象となっています。
今回紹介した
- レピュニット素数
- メルセンヌ素数
- ソフィー・ジェルマン素数
- 双子素数
- いとこ素数
- セクシー素数
- 回文素数
- エマープ素数
以外にも、数学にはさまざまな特殊な素数が存在します。
本記事が、素数の奥深さや数学の面白さに触れるきっかけとなれば幸いです。
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