有名な素数の種類一覧｜
有名な素数・特殊な素数をわかりやすく紹介

すべての桁の数字が「1」で構成された素数を「レピュニット素数」と呼びます。

例えば、

\begin{eqnarray}
11
\end{eqnarray}

は素数なので、レピュニット素数です。

一方、

\begin{eqnarray}
111=3 \times 37
\end{eqnarray}

なので、111 はレピュニット数ではありますが、レピュニット素数ではありません。

一般に、「1」を \(n\) 個並べた数を

\begin{eqnarray}
R_n
\end{eqnarray}

と表します。

例えば、

\begin{eqnarray}
R_2=11, \quad R_3=111
\end{eqnarray}

です。

自然数 \(n\) に対し、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2^n-1
\end{eqnarray}

という形で表される素数を「メルセンヌ素数」と呼びます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2^2-1=3 \\
\\
\displaystyle 2^3-1=7
\end{eqnarray}

なので、3と7はメルセンヌ素数です。

一方、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2^4-1=15
\end{eqnarray}

は素数ではないため、15 はメルセンヌ素数ではありません。

代表的なメルセンヌ素数には、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 3, 7, 31, 127, \cdots
\end{eqnarray}

があります。

素数 \(p\) に対して、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2p+1
\end{eqnarray}

も素数になるとき、\(p\) を「ソフィー・ジェルマン素数」と呼びます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle p=5
\end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2p+1=2 \times 5 +1 = 11
\end{eqnarray}

となります。5 と 11 はいずれも素数なので、5 はソフィー・ジェルマン素数です。

代表例として、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2, 3, 5, 11, 23, \cdots
\end{eqnarray}

などがあります。

ソフィー・ジェルマン素数と非常に関係が深いのが「安全素数」です。

素数 \(q\) が

\begin{eqnarray}
\displaystyle q=2p+1
\end{eqnarray}

と表され、\(p\) も素数であるとき、\(q\) を安全素数と呼びます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle p=5
\end{eqnarray}

なら、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2p+1=11
\end{eqnarray}

なので、

• 5 → ソフィー・ジェルマン素数
• 11 → 安全素数

という関係になります。

代表的な安全素数には、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 5,\ 7,\ 11,\ 23,\ 47, \cdots
\end{eqnarray}

があります。

差が \(2\) となる 2 つの素数の組を「双子素数」と呼びます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (3, 5) \\
\displaystyle (5, 7) \\
\displaystyle (11, 13) \\
\displaystyle (17, 19)
\end{eqnarray}

などです。

「双子」という名前のとおり、2つの素数が非常に近い位置に並んでいます。

双子素数より少し離れて、差が 4 となる素数の組を「いとこ素数」と呼びます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (3, 7) \\
\displaystyle (7, 11) \\
\displaystyle (13, 17) \\
\displaystyle (19, 23)
\end{eqnarray}

などです。

双子素数の差が 2 なのに対して、いとこ素数の差は 4。

名前も「双子」より少し離れて「いとこ」になっているのが面白いところです。

差が 6 となる素数の組を「セクシー素数」と呼びます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (5, 11) \\
\displaystyle (7, 13) \\
\displaystyle (11, 17) \\
\displaystyle (13, 19)
\end{eqnarray}

などです。

「なぜセクシーなの？」と思うかもしれませんが、この名前は英語の「sexy」から直接付けられたわけではありません。

ラテン語で 6 を意味する「sex」に由来する名称です。

つまり、

• 差が2 → 双子素数
• 差が4 → いとこ素数
• 差が6 → セクシー素数

という違いがあります。

前から読んでも後ろから読んでも同じになる数を回文数といいます。

その中でも素数になっているものが「回文素数」です。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 11,\quad 101,\quad 131,\quad 151
\end{eqnarray}

などがあります。

素数の数字を逆から並べたとき、元とは異なる別の素数になるものをエマープ素数と呼びます。

例えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 13
\end{eqnarray}

を逆から並べると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 31
\end{eqnarray}

になります。

13 も 31 も素数なので、13 と 31 はエマープ素数です。

同じように、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 17 \leftrightarrow 71 \\
\displaystyle 37 \leftrightarrow 73
\end{eqnarray}

などもエマープ素数です。