0は有理数？無理数？0が有理数に
なる理由をわかりやすく解説

「0は有理数なの？」

「それとも、0は無理数なの？」

数学を勉強していると、0がどのような数に分類されるのか迷うことがあります。

結論から言うと、

0は有理数です。無理数ではありません。

なぜなら、有理数とは整数 \(a,b\) を使って、\(\displaystyle\frac{a}{b}\)（ただし \(b\neq0\)）の形で表せる数だからです。

0は、\[ 0=\frac{0}{1} \]

と表すことができるため、有理数に含まれます。

この記事では、

• そもそも有理数とは何か
• なぜ0が有理数になるのか
• なぜ0は無理数ではないのか
• 0は整数や自然数にも含まれるのか
• 整数・有理数・無理数・実数の関係

について、高校数学の範囲を中心にわかりやすく解説します。

1. そもそも有理数とは？

まずは、有理数の定義を確認しましょう。

有理数とは、2つの整数 \(a,b\) を使って、\[ \frac{a}{b} \]

の形で表すことができる数です。

ただし、分母を0にすることはできないので、\[ b\neq0 \]

という条件があります。

例えば、\[ \frac{1}{2},\quad -\frac{3}{5},\quad \frac{7}{4} \]

などは、すでに「整数÷整数」の形になっているので有理数です。

また、\[ 3=\frac31 \]\[ -5=\frac{-5}{1} \]

のように、整数も「整数÷整数」の形にできます。

したがって、すべての整数は有理数に含まれます。

では、0も「整数÷整数」の形にできるのでしょうか？

実際に確認してみましょう。

2. 0は有理数なの？

0も有理数です。

有理数であるためには、\[ \frac{a}{b} \qquad (a,bは整数,\ b\neq0) \]

という形で表すことができればよいのでした。

ここで、\[ a=0,\qquad b=1 \]

としてみましょう。

すると、\[ \frac{a}{b} = \frac01 = 0 \]

となります。

つまり、\[ \boxed{0=\frac01} \]

と表すことができます。

0と1はどちらも整数であり、分母の1は0ではありません。

したがって、有理数の定義を満たしています。

0は有理数である。

理由：\(\displaystyle 0=\frac{0}{1}\) のように、分母が0ではない2つの整数の比として表すことができるため。

もちろん、\[ 0=\frac02 \]\[ 0=\frac0{-3} \]\[ 0=\frac0{100} \]

などと表しても構いません。

分母が0でない限り、\[ \frac0b=0 \qquad (b\neq0) \]

となるからです。

3. 0は無理数ではないの？

結論として、0は無理数ではありません。

無理数とは、簡単にいうと有理数ではない実数のことです。

例えば、\[ \sqrt2,\quad \sqrt3,\quad \pi \]

などが代表的な無理数です。

これらの数は、\[ \frac{a}{b} \qquad (a,bは整数,\ b\neq0) \]

という形では表すことができません。

一方、0は、\[ 0=\frac01 \]

と表すことができます。

したがって

0は有理数であり、無理数ではありません。

「有理数でもあり無理数でもある」ということはありません。

実数は、有理数と無理数に分けることができます。

4. 0は整数なの？

0は整数でもあります。

整数とは、\[ \cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \]

のような数です。

したがって、0は整数に含まれます。

ここで重要なのは、1つの数が複数のグループに含まれることがあるということです。

例えば3は整数ですが、\[ 3=\frac31 \]

とも表せるので、有理数でもあります。

同じように0も、

• 整数である
• 有理数でもある

ということです。

整数は有理数の一部なので、\[ \boxed{\text{整数}\subset\text{有理数}} \]

という関係になっています。

5. 0は自然数なの？

ここは少し注意が必要です。

0を自然数に含めるかどうかは、自然数の定義によって異なります。

自然数を、\[ 1,2,3,4,\cdots \]

と定義する場合、0は自然数ではありません。

一方、\[ 0,1,2,3,4,\cdots \]

と定義して、0を自然数に含める場合もあります。

つまり、

0が自然数に含まれるかどうかは、採用する定義によって異なります。

問題を解くときは、その教科書や問題で自然数をどのように定義しているか確認することが大切です。

なお、0が整数・有理数であることについては、このような定義の違いはありません。

0は整数であり、有理数です。

「整数と自然数ってそもそも何が違うの？」という方は、以下の記事で詳しく解説しています。

6. 整数・有理数・無理数・実数の関係

最後に、0が数全体の中でどこに位置するのか整理してみましょう。

実数は、大きく有理数と無理数に分けることができます。

そして整数は、有理数の中に含まれます。

したがって、\[ \boxed{ \text{整数} \subset \text{有理数} \subset \text{実数} } \]

という関係があります。

一方、無理数も実数の一部ですが、有理数には含まれません。

具体例を整理すると、次のようになります。

数の種類	具体例	0を含む？
整数	\(-2,-1,0,1,2,\cdots\)	○
有理数	\(\frac12,-3,0,1.25,\cdots\)	○
無理数	\(\sqrt2,\sqrt3,\pi,\cdots\)	×
実数	有理数と無理数	○

したがって0については、\[ \boxed{\text{0は整数であり、有理数であり、実数でもある}} \]

と整理できます。

ただし、先ほど説明した通り、自然数に0を含めるかどうかについては定義によって異なります。

7. 「0は有理数？」についてよくある疑問

0は分数ではないのに、なぜ有理数なの？

有理数は、「見た目が分数になっている数」ではありません。

整数 \(a,b\) を使って\[ \frac ab \qquad (b\neq0) \]

と表すことができる数が有理数です。

0は整数として書かれていても、\[ 0=\frac01 \]

と表すことができます。

そのため、有理数です。

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0÷0なら0になるの？

なりません。\[ \frac00 \]

は定義されません。

なぜなら、割り算\[ a\div b=c \]

は、\[ b\times c=a \]

となる \(c\) を考えることだからです。

もし、\[ 0\div0=c \]

とすると、\[ 0\times c=0 \]

となります。

しかし、\[ 0\times1=0,\qquad 0\times2=0,\qquad 0\times100=0 \]

のように、これはさまざまな \(c\) について成り立ってしまいます。

そのため、\(0\div0\) の答えを1つに決めることができず、通常の数の演算としては定義されません。

したがって、有理数の定義\[ \frac ab \]

にも、\[ b\neq0 \]

という条件が必要になります。

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0.5や0.333…も有理数なの？

どちらも有理数です。

例えば、\[ 0.5=\frac12 \]

と表せます。

また、また、3が無限に続く循環小数\[ 0.333\cdots=\frac13 \]

も有理数です。

このように、有限小数や循環小数は整数の比で表すことができるため、有理数になります。

一方、\[ \sqrt2=1.41421356\cdots \]

のような無理数は、小数で表すと循環しない無限小数になります。

まとめ

今回は、「0は有理数なのか？それとも無理数なのか？」について解説しました。

結論は、

0は有理数です。また、0は整数・実数でもありますが、無理数ではありません。

有理数とは、\[ \frac ab \qquad (a,bは整数,\ b\neq0) \]

と表すことができる数です。

0は、\[ 0=\frac01 \]

と表すことができます。

したがって、有理数の定義を満たしています。

数の分類として整理すると、\[ \text{整数}\subset\text{有理数}\subset\text{実数} \]

となるため、0は整数であると同時に、有理数・実数でもあります。

一方、0を自然数に含めるかどうかについては、採用する定義によって異なるので注意しましょう。

「0は有理数」と丸暗記するのではなく、\[ \boxed{0=\frac01} \]

と書けるから有理数である、と定義から理解しておくと迷わなくなります。