三角関数とは？｜
sin・cos・tan の定義・性質・使い方を
わかりやすく解説

三角関数とは、角度 \(\theta\) によって値が決まる関数で、代表的なものに

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\theta, \quad \cos\theta, \quad \tan\theta
\end{eqnarray}

があります。

中学校で学ぶ直角三角形の「三角比」から発展したもので、三角形の辺の長さや角度を求めるだけでなく、波や周期的な現象を表すときにも利用されます。

しかし、初めて三角関数を学ぶと、

「sin・cos・tan って結局何を表しているの？」

「三角関数って何に使うの？」

「sin・cos・tan の値はどうやって決まるの？」

と疑問に思う人も多いのではないでしょうか。

本記事では、三角関数の意味から、sin・cos・tanの定義、代表的な値、基本的な性質・公式、実際の使い方まで、図を使いながら順番に解説します。

1. 三角関数とは？｜sin・cos・tan は何を表す？

三角関数を簡単にいうと、角度と辺の長さの関係を数値で表すための関数です。

例えば、次のような直角三角形を考えてみましょう。

この三角形では、斜辺の長さが\(10\)、1つの角が \(40^\circ\) と分かっています。

このとき三角関数を使えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 40^\circ, \quad \cos 40^\circ
\end{eqnarray}

を利用して、未知の辺 \(a, b\) の長さを求めることができます。

三角関数には主に、

• \(\sin\theta\)：サイン（正弦）
• \(\cos\theta\)：コサイン（余弦）
• \(\tan\theta\)：タンジェント（正接）

の3つがあります。

まずは「sin・cos・tanは、角度と長さの関係を表すもの」とイメージしておけばOKです。

では、なぜ三角関数を使うと辺の長さが分かるのでしょうか。

2. 三角関数（sin・cos・tan）は何に使うの？

三角関数は、角度や長さを求めたり、波のような周期的な現象を表したりするときに使われます。

例えば、

• 建物や山などの高さを求める
• 離れた場所までの距離を求める
• 三角形の辺の長さや角度を求める
• 音や光、電気などの波を表す
• 円運動や振動を表す

といった場面で利用されます。

高校数学では、まず直角三角形を使って「角度と辺の長さ」の関係を学ぶと理解しやすいでしょう。

3. sin・cos・tan の定義

三角関数をより正確に理解するために、単位円を使って sin・cos・tan を定義します。

単位円とは、原点 \(O\) を中心とする半径 1 の円です。

原点 \(O\) から、\(x\) 軸の正の向きを基準として角度 \(\theta\) の方向へ半直線を引き、単位円との交点を考えます。

この交点の座標は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{(\cos \theta, \sin \theta)}
\end{eqnarray}

と表されます。

したがって、

• \(\sin\theta\)：交点の \(y\) 座標
• \(\cos\theta\)：交点の \(x\) 座標

です。

また、\(\tan\theta\) は

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}
\end{eqnarray}

で表されます。

4. 三角関数の『定義域』と『値域』

三角関数について考えるときは、「定義域」と「値域」の違いを理解しておくことが大切です。

• 定義域：\(\theta\) が取ることのできる値の範囲
• 値域　：\(\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta\) が取ることのできる値の範囲

それでは、\(\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta\) についてそれぞれ確認していきましょう。

\(\sin\theta\) の定義域と値域

前章で説明した通り、\(\sin\theta\) は単位円上の点の \(y\) 座標を表しています。

角度 \(\theta\) は、1周、2周、あるいは逆方向に回転しても考えることができるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \theta=\cdots, -360^\circ, -90^\circ, 0^\circ, 90^\circ, 360^\circ, 720^\circ, \cdots
\end{eqnarray}

のように、どのような実数の角度についても \(\sin\theta\) を考えることができます。

したがって、\(\sin\theta\) の定義域はすべての実数です。

一方、\(\sin\theta\) は単位円上の点の \(y\) 座標です。

単位円の半径は \(1\) なので、\(y\) 座標が \(1\) より大きくなったり、\(-1\) より小さくなったりすることはありません。

したがって、\(\sin\theta\) の値域は

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{-1 \leqq \sin\theta \leqq 1}
\end{eqnarray}

となります。

\(\cos\theta\) の定義域と値域

\(\cos\theta\) は単位円上の点の \(x\) 座標を表しています。

\(\sin\theta\) と同様に、どのような実数の角度 \(\theta\) についても考えることができるので、定義域はすべての実数です。

また、単位円の \(x\) 座標も \(-1\) から \(1\) までの範囲にあるため、\(\cos\theta\) の値域は

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{-1 \leqq \cos\theta \leqq 1}
\end{eqnarray}

となります。

\(\tan\theta\) の定義域と値域

\(\tan\theta\) は

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{eqnarray}

と表すことができます。

ここで注意したいのが、分母の \(\cos\theta\) が 0 になる場合です。

分母が 0 になる割り算は定義できないため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos\theta \neq 0
\end{eqnarray}

である必要があります。

\(\cos\theta=0\) となるのは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \theta=\cdots, -270^\circ, -90^\circ, 90^\circ, 270^\circ, 450^\circ, \cdots
\end{eqnarray}

のような、単位円の \(x\) 座標が 0 となる場合の角度です。

したがって、\(\tan\theta\) の定義域は、任意の整数 \(n\) を用いて

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\theta \neq 90^\circ+180^\circ \times n}
\end{eqnarray}

となります。

一方、\(\tan\theta\) の値には、\(\sin\theta\) や \(\cos\theta\) のような「\(-1\) から \(1\) まで」という制限はありません。

\(\tan\theta\) は、正の値・負の値を含めてどこまでも大きな値、小さな値を取ることができます。

したがって、\(\tan\theta\) の値域はすべての実数です。

sin・cos・tanの定義域と値域まとめ

最後に整理すると、次のようになります。

三角関数	定義域	値域
\(\sin\theta\)	すべての実数	\(-1 \leqq \sin\theta \leqq 1\)
\(\cos\theta\)	すべての実数	\(-1 \leqq \cos\theta \leqq 1\)
\(\tan\theta\)	\(\theta \neq 90^\circ+180^\circ \times n\)	すべての実数

5. sin・cos・tan の代表的な値【三角関数表】

三角関数は角度 \(\theta\) によって値が決まります。

その中でも、\(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) などの角度では、\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) の値を比較的簡単な形で表すことができます。

代表的な角度について、\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) の値を以下の表にまとめます。

	\(\sin \theta\)	\(\cos \theta\)	\(\tan \theta\)
\(\theta = 0^{ \circ }\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(\theta = 30^{ \circ }\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\theta = 45^{ \circ }\)	\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
\(\theta = 60^{ \circ }\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)
\(\theta = 90^{ \circ }\)	\(1\)	\(0\)	未定義(※)
\(\theta = 120^{ \circ }\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	-\(\cfrac{1}{2}\)	-\(\sqrt{3}\)
\(\theta = 135^{ \circ }\)	\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	-\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	-\(1\)
\(\theta = 150^{ \circ }\)	\(\cfrac{1}{2}\)	-\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	-\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\theta = 180^{ \circ }\)	\(0\)	-\(1\)	\(0\)
\(\theta = 210^{ \circ }\)	-\(\cfrac{1}{2}\)	-\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\theta = 225^{ \circ }\)	-\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	-\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
\(\theta = 240^{ \circ }\)	-\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	-\(\cfrac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)
\(\theta = 270^{ \circ }\)	-\(1\)	\(0\)	未定義(※)
\(\theta = 300^{ \circ }\)	-\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	-\(\sqrt{3}\)
\(\theta = 315^{ \circ }\)	-\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	-\(1\)
\(\theta = 330^{ \circ }\)	-\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	-\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\theta = 360^{ \circ }\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)

6. 三角関数の基本的な性質

三角関数には、角度を変化させたときに値がどのように変わるかを表す、いくつかの重要な性質があります。

ここでは、単位円を使いながら代表的な性質を確認していきましょう。

\(\theta\) を \(-\theta\) にするとどうなる？

まず、角度 \(\theta\) と \(-\theta\) の関係について考えてみます。

単位円上において、角度 \(\theta\) に対応する点の座標は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\cos \theta, \sin \theta)
\end{eqnarray}

と表されます。

一方、角度を \(-\theta\) にすると、単位円上の点は \(x\) 軸について対称な位置へ移動します。

このとき、\(x\) 座標は変わりませんが、\(y\) 座標の符号が反対になります。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin (-\theta)}&\color{red}{=}&\color{red}{-\sin \theta} \\
\displaystyle \color{red}{\cos (-\theta)}&\color{red}{=}&\color{red}{\cos \theta}
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

さらに、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{eqnarray}

であるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan(-\theta)=\frac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)}=\frac{-\sin\theta}{\cos\theta}=-\tan\theta
\end{eqnarray}

となり、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\tan (-\theta)=-\tan \theta}
\end{eqnarray}

も成り立ちます。

つまり、\(\sin\theta\) と \(\tan\theta\) は角度の符号を反対にすると値の符号も反対になりますが、\(\cos\theta\) は値が変わりません。

\(\theta\) に \(90^\circ, 180^\circ\) を加えるとどうなる？

続いて、角度 \(\theta\) に \(90^\circ\) や \(180^\circ\) を加えた場合を考えてみましょう。

単位円上の点を \(90^\circ\) 回転させると、座標は

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\cos \theta, \sin \theta)
\end{eqnarray}

から

\begin{eqnarray}
\displaystyle (-\sin \theta, \cos \theta)
\end{eqnarray}

へ移動します。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin (\theta+90^\circ)}&\color{red}{=}&\color{red}{\cos \theta} \\
\displaystyle \color{red}{\cos (\theta+90^\circ)}&\color{red}{=}&\color{red}{-\sin \theta}
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

また、\(180^\circ\) 回転させると、座標は

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\cos \theta, \sin \theta)
\end{eqnarray}

から

\begin{eqnarray}
\displaystyle (-\cos \theta, -\sin \theta)
\end{eqnarray}

へ移動するため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin (\theta+180^\circ)}&\color{red}{=}&\color{red}{-\sin \theta} \\
\displaystyle \color{red}{\cos (\theta+180^\circ)}&\color{red}{=}&\color{red}{-\cos \theta}
\end{eqnarray}

となります。

これらの公式は丸暗記することもできますが、単位円上の点がどこへ移動するのかを考えると、符号や sin・cos の入れ替わりを理解しやすくなります。

最後に、ここまで登場した性質をまとめておきます。

角度	sin	cos
\(-\theta\)	\(-\sin\theta\)	\(\cos\theta\)
\(\theta+90^\circ\)	\(\cos\theta\)	\(-\sin\theta\)
\(\theta+180^\circ\)	\(-\sin\theta\)	\(-\cos\theta\)

特に、これらの公式を忘れてしまった場合は、単位円を書いて座標がどの位置へ移動するか考えるのがおすすめです。

7. 三角関数の基本公式と証明

三角関数では、\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) の間に次の3つの重要な公式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin^2 \theta}&\color{red}{+}&\color{red}{\cos^2 \theta=1} \\
\\
\displaystyle \color{red}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}&\color{red}{=}&\color{red}{\tan \theta \quad (\cos\theta \neq 0)} \\
\\
\displaystyle \color{red}{1+\tan^2 \theta}&\color{red}{=}&\color{red}{\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \quad (\cos\theta \neq 0)}
\end{eqnarray}

どれも三角関数を扱ううえで頻繁に登場する公式です。

ここでは、これまで使用してきた単位円を利用して、なぜこれらの公式が成り立つのかを順番に確認していきましょう。

① \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) の証明

上の図において、単位円上にある点Bの座標は

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\cos \theta, \sin \theta)
\end{eqnarray}

と表されます。

単位円の半径は1なので、三平方の定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\cos \theta)^2+(\sin \theta)^2=1^2
\end{eqnarray}

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1}
\end{eqnarray}

となります。

つまり、この公式は単位円の半径が 1 であることから直接導かれる公式です。

② \(\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta\) の証明

上の図において、直角三角形OABと直角三角形OCDに着目します。

この2つの三角形は角度 \(\theta\) が共通なので相似です。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle OA : AB = OC : CD
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

それぞれの長さは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle OA=\cos\theta, \quad AB=\sin\theta, \quad OC=1, \quad CD=\tan\theta
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos \theta : \sin \theta &=& 1 : \tan \theta
\end{eqnarray}

となります。

これを変形すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos \theta \tan \theta = \sin \theta
\end{eqnarray}

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}
\end{eqnarray}

が得られます。

（※この式は、\(\cos\theta \neq 0\) の場合に成り立ちます。）

③ \(\displaystyle 1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\) の証明

最後の公式は、①と②を利用すれば簡単に証明できます。

まず、①より

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1 \\
\end{eqnarray}

であるため、両辺を \(\cos^2\theta\) （※ただし、\(\cos\theta \neq 0\) とする）で割ると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}+\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}=\frac{1}{\cos^2 \theta}
\end{eqnarray}

となります。

ここで、②の

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta
\end{eqnarray}

の関係式を用いると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan^2 \theta+1=\frac{1}{\cos^2 \theta}
\end{eqnarray}

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{1+\tan^2 \theta=\frac{1}{\cos^2 \theta}}
\end{eqnarray}

となります。

このように、3つの公式を別々に暗記するのではなく、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1}
\end{eqnarray}

を基本として考えると、他の公式とのつながりも理解しやすくなります。

8. 三角比と三角関数の違い

「三角比」と「三角関数」はよく似た言葉ですが、同じ意味ではありません。

まず、直角三角形を使って考える三角比では、次のように \(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を定義します。

上の図のような直角三角形において、三角比は辺 \(a\), \(b\), \(c\) を用いて次のように定義されます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin \theta}&\color{red}{=}&\color{red}{\frac{b}{c}} \\
\displaystyle \color{red}{\cos \theta}&\color{red}{=}&\color{red}{\frac{a}{c}} \\
\displaystyle \color{red}{\tan \theta}&\color{red}{=}&\color{red}{\frac{b}{a}}
\end{eqnarray}

このように、直角三角形における2辺の長さの比のことを三角比と呼びます。

一方、本記事の前半で説明した三角関数では、単位円を利用して、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\cos\theta, \sin\theta)
\end{eqnarray}

と定義しました。

単位円を使えば、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 120^\circ, \quad 270^\circ, \quad -30^\circ
\end{eqnarray}

のように、直角三角形だけでは扱いにくい角度についても \(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を考えることができます。

このように、三角比の考え方を座標平面上の単位円に拡張して関数として扱ったものを三角関数と呼びます。

改めてまとめると、

■ 三角比
　➡ まず直角三角形における2辺の長さの比として学ぶ

■ 三角関数
　➡ \(\sin, \cos, \tan\) の一般の角度まで拡張し、角度を変数とする関数として扱う

となります。

高校数学では、まず直角三角形を使って三角比を学び、その後、単位円を使って三角関数へと考え方を広げていきます。

9. 三角関数を使って辺の長さを求めてみよう

ここまで三角関数の定義や性質について説明してきました。

ここでは、三角関数を実際にどのように使うのかを、具体的な例題で確認してみましょう。

三角関数を利用すると、直角三角形について1つの角度と1辺の長さが分かっていれば、他の辺の長さを求めることができます。

例えば、次の直角三角形を考えます。

斜辺の長さが 10、角度が \(40^\circ\) であるとします。

求めたい辺をそれぞれ \(a, b\) とすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 40^\circ=\frac{b}{10}
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle b=10\sin 40^\circ
\end{eqnarray}

となります。

ここで、三角関数表を参照すると

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 40^\circ \approx 0.643
\end{eqnarray}

であることがわかるため、これより

\begin{eqnarray}
\displaystyle b \approx 10 \times 0.643 \color{red}{=6.43}
\end{eqnarray}

となります。

同様に、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 40^\circ=\frac{a}{10}
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a=10\cos 40^\circ
\end{eqnarray}

となります。

ここで、三角関数表を参照すると

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 40^\circ \approx 0.766
\end{eqnarray}

であることがわかるため、これより

\begin{eqnarray}
\displaystyle a \approx 10 \times 0.766 \color{red}{=7.66}
\end{eqnarray}

となります。

したがって、この直角三角形の辺の長さは、およそ

\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{a=7.66}, \quad \color{red}{b=6.43}
\end{eqnarray}

と求めることができます。

10. なぜ三角関数を使うと辺の長さが求められるのか

ここでは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\theta=\frac{b}{c}, \quad \cos\theta=\frac{a}{c}
\end{eqnarray}

という関係が成り立つ理由を、単位円を用いて定義した \(\sin\theta\)、\(\cos\theta\) を元に解説します。

上の図において、三角形 OAB と三角形 OA'B' は相似です。

三角形 OA'B' の斜辺は単位円の半径なので 1 です。

相似な三角形では対応する辺の比が等しいため、

\begin{eqnarray}
c : b = 1 : \sin \theta
\end{eqnarray}

となります。

したがって、

\begin{eqnarray}
c \sin \theta = b
\end{eqnarray}

つまり、

\begin{eqnarray}
\color{red}{\sin \theta = \frac{b}{c}}
\end{eqnarray}

が得られます。

同様に考えることで、

\begin{eqnarray}
\color{red}{\cos \theta = \frac{a}{c}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\color{red}{\tan \theta = \frac{b}{a}}
\end{eqnarray}

も導くことができます。

つまり、これらの関係は単なる暗記用の公式ではなく、相似な三角形の辺の比から導かれているわけです。

今回は斜辺の長さが分かっている例を扱いましたが、斜辺以外の1辺が分かっている場合でも、\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を使えば他の辺の長さを求めることができます。

まとめ｜三角関数とは角度によって値が決まる関数

本記事では、三角関数とは何か、\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) の定義や性質、基本公式、そして実際に何に使うのかについて解説しました。

三角関数について、特に重要なポイントをまとめると次のようになります。

• 三角関数には、代表的なものとして \(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) がある
• 単位円上の点の座標は \((\cos\theta\), \(\sin\theta)\) と表される
• \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の値は -1 から 1 の範囲を取る
• \(\tan\theta\) は \(\cos\theta=0\) となる角度では定義されない
• \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) などの基本公式が成り立つ
• 直角三角形では、\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) を使って辺の長さや角度を求めることができる

また、三角関数は三角形の計算だけに使われるものではありません。

波・振動・円運動などの周期的な現象を数式で表すためにも利用され、数学だけでなく物理学や工学など幅広い分野で登場します。

最初は公式が多く難しく感じるかもしれませんが、単位円や直角三角形の図と結びつけて考えると、それぞれの公式がなぜ成り立つのか理解しやすくなります。

本記事を三角関数の基本を確認するときの参考にしていただければ幸いです。