高校で学ぶ三角関数(sinsin, coscos, tantan)について、皆さんどれほど理解しておりますでしょうか。
特に理系の方でもない限り、「結局、三角関数って何だったんだ、、?」とか、「結局何に使うんだろう、、?」と思いながら、高校を卒業していく方が大半だと思います。
本記事では、そんな方向けに「三角関数の定義」~「三角関数ってどう使うの?」の部分について、可能な限り丁寧にまとめてみましたので、是非最後までお読みいただけますと幸いです!

以下のような三角形を考えた際、 a,ba,b の長さを求めたい場合などに、三角関数を利用することで求めることが可能となります!!

本記事の内容
- 三角関数(sin,cos,tansin,cos,tan)って結局何なの?
- 三角関数の値はどうやって決まるの?
- 三角関数の基本公式の証明:
- sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θ=1
- sinθcosθ=tanθsinθcosθ=tanθ
- 1+tan2θ=1cos2θ1+tan2θ=1cos2θ
- 三角関数って何に使うの?
①三角関数の定義
図で理解するのが一番早いと思います。

■sinθsinθ の定義:
xx 軸のxx>0 の線から角度 θθ の方向に引いた直線と、単位円(半径が1の円)との交点の yy 座標
■cosθcosθ の定義:
xx 軸の xx>0 の線から角度 θθ の方向に引いた直線と、単位円(半径が1の円)との交点の xx 座標
■tanθtanθ の定義:
xx 軸の xx>0 の線から角度 θθ の方向に引いた直線と、直線 x=1x=1 との交点の yy 座標
②三角関数の定義域(取れる値の範囲)
上で述べた「三角関数の定義」より、sinθsinθ、cosθcosθについては単位円上で定義されるため、
−1≦sinθ≦1−1≦cosθ≦1
となる。一方、tanθについては直線 x=1 上の点ならどこでも取れるため、
−∞<tanθ<∞
となる。
③よく利用する三角関数の値
・上で述べた「三角関数の定義」より、三角関数は角度 θ 次第で値が決定する。
・基本的に三角関数は綺麗な値にはならず、いくつかの無理数の足し算などで表される。
・しかし、比較的綺麗な値になるものも存在するため、以下表で綺麗な値になるときの角度 θ とその時の三角関数の値をまとめておく。
sinθ | cosθ | tanθ | |
θ=0∘ | 0 | 1 | 0 |
θ=30∘ | 12 | √32 | √33 |
θ=45∘ | √22 | √22 | 1 |
θ=60∘ | √32 | 12 | √3 |
θ=90∘ | 1 | 0 | 未定義(※1) |
θ=120∘ | √32 | -12 | -√3 |
θ=135∘ | √22 | -√22 | -1 |
θ=150∘ | 12 | -√32 | -√33 |
θ=180∘ | 0 | -1 | 0 |
θ=210∘ | -12 | -√32 | √33 |
θ=225∘ | -√22 | -√22 | 1 |
θ=240∘ | -√32 | -12 | √3 |
θ=270∘ | -1 | 0 | 未定義(※2) |
θ=300∘ | -√32 | 12 | -√3 |
θ=315∘ | -√22 | √22 | -1 |
θ=330∘ | -12 | √32 | -√33 |
θ=360∘ | 0 | 1 | 0 |
(※2)このときtanの値は−∞に限りなく近くなる

他の角度の値も気になる方については、「三角関数表」などでググってみてください!
④よく利用する三角関数の角度公式
- 上で述べた「①三角関数の定義」から明らかな通り、以下等式が成り立つ。
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ

- また、sinθ、cosθ の間では以下等式が成り立つ。
- sin(θ+90∘) = cosθ
- cos(θ+90∘) = −sinθ
- sin(θ+180∘) = −sinθ
- cos(θ+180∘) = −cosθ


上記等式が本当に合っているかどうか気になる人は、「三角関数の加法定理」を利用することで確認が可能なため、よろしければこちらの記事も参照ください!
⑤三角関数の基本公式の証明
- sinθ、cosθ 、tanθ の間では以下の公式が成立する。
- sin2θ+cos2θ=1
- sinθcosθ=tanθ
- 1+tan2θ=1cos2θ
- 「①三角関数の定義」で使用した図を基に、上記3つの式を証明していく。

①sin2θ+cos2θ=1 の証明:
cosθ、sinθ がそもそも単位円上に定義されるx座標、y座標であるため、三平方の定理より上式が成立する。
②sinθcosθ=tanθ の証明:
上図において、三角形OABと三角形OCDの相似関係に着目する。
OA:AB=OC:CDより、
cosθ:sinθ=1:tanθ⇒ cosθtanθ=sinθ⇒ tanθ=sinθcosθ
となり、上式が成立する。
③1+tan2θ=1cos2θ の証明:
これも実は簡単で、①式の両辺をcos2θで割って、②式を利用すれば③式を得ることができる。
⑥結局、三角関数って何に使うの?
さあ、いよいよ本題です。
実は直角三角形の各辺と三角関数の間には、以下関係性が存在しています。
(※この関係性はメチャクチャ使いますので、是非覚えておきましょう)

証明は簡単で、上でsinθcosθ=tanθを証明した時と同様に、相似比を利用します。

例えば三角形OABと三角形OA'B'の相似関係に着目します。
OB:BA=OB':B'A'より、
c:b=1:sinθ⇒ c×sinθ=b⇒ sinθ=bc
同じように、cosθ=ac、tanθ=baも求められるが、ここでは割愛します。
是非、手を動かして一度導出してみてください。
前置きが長くなりましたが、三角関数を知っていることで、
直角三角形の角度と1辺の長さが分かれば、他の辺の長さも求めることができるようになります。
例として、斜辺の長さが10、1つの角度が40°の直角三角形の各辺を求めてみると、
sinθ=bc、cosθ=acを利用して、以下のように求められます。
※sin40∘, cos40∘ の値については、以下を確認した値を使用しました。
<https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~yasuda/sysKOU/cit-H20/trig-table.pdf>

上の例は斜辺の長さが判明しているパターンでしたが、斜辺以外の1辺の長さが判明している場合でも、三角関数を利用することで他の2辺の長さを求めることができます!是非試してみてください!
★まとめ★
いかがでしたでしょうか。
上の例では、各角度がそれぞれ [90∘,40∘,50∘] の三角形を考えましたが、もちろん他の角度の場合でも、1辺の長さが定まっていれば、三角関数を利用して残りの辺の長さを求めることができます。
現実世界では三角関数を利用して、建物の高さや物体までの距離を測定したりしていますので、社会人になっても三角関数を利用する場面は多々出てきます。そういった意味でも、ここで得た知識は決して無駄にならないかなと思っております。
本記事が少しでも皆様のお役に立っていれば幸いです。
ここまで記事を読んでいただき、ありがとうございました!