【sin,cos,tanって何に使うの？】三角関数の基礎と使い方！

高校で学ぶ三角関数（ $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ ）について、皆さんどれほど理解しておりますでしょうか。
特に理系の方でもない限り、「結局、三角関数って何だったんだ、、？」とか、「結局何に使うんだろう、、？」と思いながら、高校を卒業していく方が大半だと思います。

本記事では、そんな方向けに「三角関数の定義」～「三角関数ってどう使うの？」の部分について、可能な限り丁寧にまとめてみましたので、是非最後までお読みいただけますと幸いです！

$おろち$

おろち

以下のような三角形を考えた際、 $a, b$ の長さを求めたい場合などに、三角関数を利用することで求めることが可能となります！！

本記事の内容

三角関数（ $\sin, \cos, \tan$ ）って結局何なの？
三角関数の値はどうやって決まるの？
三角関数の基本公式の証明：
1. $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$
2. $\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$
3. $1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}$
三角関数って何に使うの？

目次 [hide]

①三角関数の定義
②三角関数の定義域（取れる値の範囲）
③よく利用する三角関数の値
④よく利用する三角関数の角度公式
⑤三角関数の基本公式の証明
⑥結局、三角関数って何に使うの？
★まとめ★

①三角関数の定義

図で理解するのが一番早いと思います。

■ $\sin \theta$ の定義：
　 $x$ 軸の $x$ >0 の線から角度 $\theta$ の方向に引いた直線と、単位円(半径が1の円)との交点の $\color{red}{y}$ 座標

■ $\cos \theta$ の定義：
　 $x$ 軸の $x$ >0 の線から角度 $\theta$ の方向に引いた直線と、単位円(半径が1の円)との交点の $\color{red}{x}$ 座標

■ $\tan \theta$ の定義：
　 $x$ 軸の $x$ >0 の線から角度 $\theta$ の方向に引いた直線と、直線 $x=1$ との交点の $\color{red}{y}$ 座標

②三角関数の定義域（取れる値の範囲）

上で述べた「三角関数の定義」より、 $\sin \theta$ 、 $\cos \theta$ については単位円上で定義されるため、

$\begin{eqnarray} -1 \leqq \sin \theta \leqq 1 \\ -1 \leqq \cos \theta \leqq 1 \end{eqnarray}$

となる。一方、 $\tan \theta$ については直線 $x=1$ 上の点ならどこでも取れるため、

$\begin{eqnarray} -\infty \lt \tan \theta \lt \infty \\ \end{eqnarray}$

となる。

③よく利用する三角関数の値

・上で述べた「三角関数の定義」より、三角関数は角度 $\theta$ 次第で値が決定する。

・基本的に三角関数は綺麗な値にはならず、いくつかの無理数の足し算などで表される。

・しかし、比較的綺麗な値になるものも存在するため、以下表で綺麗な値になるときの角度 $\theta$ とその時の三角関数の値をまとめておく。

	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$\theta = 0^{ \circ }$	$0$	$1$	$0$
$\theta = 30^{ \circ }$	$\cfrac{1}{2}$	$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\cfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\theta = 45^{ \circ }$	$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\theta = 60^{ \circ }$	$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\cfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\theta = 90^{ \circ }$	$1$	$0$	未定義(※1)
$\theta = 120^{ \circ }$	$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$	- $\cfrac{1}{2}$	- $\sqrt{3}$
$\theta = 135^{ \circ }$	$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$	- $\cfrac{\sqrt{2}}{2}$	- $1$
$\theta = 150^{ \circ }$	$\cfrac{1}{2}$	- $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$	- $\cfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\theta = 180^{ \circ }$	$0$	- $1$	$0$
$\theta = 210^{ \circ }$	- $\cfrac{1}{2}$	- $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\cfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\theta = 225^{ \circ }$	- $\cfrac{\sqrt{2}}{2}$	- $\cfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\theta = 240^{ \circ }$	- $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$	- $\cfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\theta = 270^{ \circ }$	- $1$	$0$	未定義(※2)
$\theta = 300^{ \circ }$	- $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\cfrac{1}{2}$	- $\sqrt{3}$
$\theta = 315^{ \circ }$	- $\cfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$	- $1$
$\theta = 330^{ \circ }$	- $\cfrac{1}{2}$	$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$	- $\cfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\theta = 360^{ \circ }$	$0$	$1$	$0$

(※1)このとき

$\tan$ の値は

$\infty$ に限りなく近くなる
(※2)このとき

$\tan$ の値は

$-\infty$ に限りなく近くなる

$おろち$

おろち

他の角度の値も気になる方については、「三角関数表」などでググってみてください！

④よく利用する三角関数の角度公式

上で述べた「①三角関数の定義」から明らかな通り、以下等式が成り立つ。
- $\sin (-\theta)$ = $-\sin \theta$ 　　
- $\cos (-\theta)$ = $\cos \theta$
- $\tan (-\theta)$ = $-\tan \theta$

また、sinθ、cosθ の間では以下等式が成り立つ。
- $\sin (\theta+90^{ \circ })$ = $\cos \theta$
- $\cos (\theta+90^{ \circ })$ = $-\sin \theta$
- $\sin (\theta+180^{ \circ })$ = $-\sin \theta$
- $\cos (\theta+180^{ \circ })$ = $-\cos \theta$

$おろち$

おろち

上記等式が本当に合っているかどうか気になる人は、「三角関数の加法定理」を利用することで確認が可能なため、よろしければこちらの記事も参照ください！

⑤三角関数の基本公式の証明

sinθ、cosθ 、tanθ の間では以下の公式が成立する。
1. $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$
2. $\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$
3. $1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}$
「①三角関数の定義」で使用した図を基に、上記3つの式を証明していく。

① $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ 　の証明：

$\cos \theta$ 、 $\sin \theta$ がそもそも単位円上に定義される $x$ 座標、 $y$ 座標であるため、三平方の定理より上式が成立する。

② $\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$ 　の証明：

上図において、三角形OABと三角形OCDの相似関係に着目する。
OA：AB＝OC：CDより、

$\begin{eqnarray} \displaystyle \cos \theta : \sin \theta &=& 1 : \tan \theta \\ ⇒　\displaystyle \cos \theta \tan \theta &=& \sin \theta \\ ⇒　\tan \theta &=& \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \end{eqnarray}$

となり、上式が成立する。

③ $1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}$ 　の証明：

これも実は簡単で、①式の両辺を $\cos^2 \theta$ で割って、②式を利用すれば③式を得ることができる。

⑥結局、三角関数って何に使うの？

さあ、いよいよ本題です。
実は直角三角形の各辺と三角関数の間には、以下関係性が存在しています。
（※この関係性はメチャクチャ使いますので、是非覚えておきましょう）

証明は簡単で、上で $\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$ を証明した時と同様に、相似比を利用します。

例えば三角形OABと三角形OA'B'の相似関係に着目します。
OB：BA＝OB'：B'A'より、

$\begin{eqnarray} c : b &=& 1 : \sin \theta \\ ⇒　c \times \sin \theta &=& b \\ ⇒　\sin \theta &=& \displaystyle \frac{b}{c} \\ \end{eqnarray}$

同じように、 $\cos \theta = \displaystyle \frac{a}{c}$ 、 $\tan \theta = \displaystyle \frac{b}{a}$ も求められるが、ここでは割愛します。
是非、手を動かして一度導出してみてください。

前置きが長くなりましたが、三角関数を知っていることで、
直角三角形の角度と1辺の長さが分かれば、他の辺の長さも求めることができるようになります。

例として、斜辺の長さが10、１つの角度が40°の直角三角形の各辺を求めてみると、
$\sin \theta = \displaystyle \frac{b}{c}$ 、 $\cos \theta = \displaystyle \frac{a}{c}$ を利用して、以下のように求められます。
　※ $\sin 40^{ \circ }$ , $\cos 40^{ \circ }$ の値については、以下を確認した値を使用しました。
　　<https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~yasuda/sysKOU/cit-H20/trig-table.pdf>