数学基礎

【sin,cos,tanって何に使うの?】
三角関数の基礎と使い方!

高校で学ぶ三角関数(sinsin, coscos, tantan)について、皆さんどれほど理解しておりますでしょうか。
特に理系の方でもない限り、「結局、三角関数って何だったんだ、、?」とか、「結局何に使うんだろう、、?」と思いながら、高校を卒業していく方が大半だと思います。

本記事では、そんな方向けに「三角関数の定義」~「三角関数ってどう使うの?」の部分について、可能な限り丁寧にまとめてみましたので、是非最後までお読みいただけますと幸いです!

おろち
おろち

以下のような三角形を考えた際、 a,ba,b の長さを求めたい場合などに、三角関数を利用することで求めることが可能となります!!

本記事の内容

  • 三角関数(sin,cos,tansin,cos,tan)って結局何なの?
  • 三角関数の値はどうやって決まるの?
  • 三角関数の基本公式の証明:
    1. sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θ=1
    2. sinθcosθ=tanθsinθcosθ=tanθ
    3. 1+tan2θ=1cos2θ1+tan2θ=1cos2θ
  • 三角関数って何に使うの?

①三角関数の定義

図で理解するのが一番早いと思います。

sinθsinθ の定義:
 xx 軸のxx>0 の線から角度 θθ の方向に引いた直線と、単位円(半径が1の円)との交点の yy 座標

cosθcosθ の定義:
 xx 軸の xx>0 の線から角度 θθ の方向に引いた直線と、単位円(半径が1の円)との交点の xx 座標

tanθtanθ の定義:
 xx 軸の xx>0 の線から角度 θθ の方向に引いた直線と、直線 x=1x=1 との交点の yy 座標

②三角関数の定義域(取れる値の範囲)

上で述べた「三角関数の定義」より、sinθsinθcosθcosθについては単位円上で定義されるため、

1sinθ11cosθ1

となる。一方、tanθについては直線 x=1 上の点ならどこでも取れるため、

<tanθ<

となる。

③よく利用する三角関数の値

・上で述べた「三角関数の定義」より、三角関数は角度 θ 次第で値が決定する。

・基本的に三角関数は綺麗な値にはならず、いくつかの無理数の足し算などで表される。

・しかし、比較的綺麗な値になるものも存在するため、以下表で綺麗な値になるときの角度 θ とその時の三角関数の値をまとめておく。

sinθcosθtanθ
θ=0010
θ=30123233
θ=4522221
θ=6032123
θ=9010未定義(※1)
θ=12032-12-3
θ=13522-22-1
θ=15012-32-33
θ=1800-10
θ=210-12-3233
θ=225-22-221
θ=240-32-123
θ=270-10未定義(※2)
θ=300-3212-3
θ=315-2222-1
θ=330-1232-33
θ=360010
(※1)このときtanの値はに限りなく近くなる
(※2)このときtanの値はに限りなく近くなる
おろち
おろち

他の角度の値も気になる方については、「三角関数表」などでググってみてください!

④よく利用する三角関数の角度公式

  • 上で述べた「①三角関数の定義」から明らかな通り、以下等式が成り立つ。
    • sin(θ) = sinθ  
    • cos(θ) = cosθ
    • tan(θ) = tanθ
  • また、sinθcosθ の間では以下等式が成り立つ。
    • sin(θ+90) = cosθ
    • cos(θ+90) = sinθ
    • sin(θ+180) = sinθ
    • cos(θ+180) = cosθ
おろち
おろち

上記等式が本当に合っているかどうか気になる人は、「三角関数の加法定理」を利用することで確認が可能なため、よろしければこちらの記事も参照ください!

⑤三角関数の基本公式の証明

  • sinθcosθtanθ の間では以下の公式が成立する。
    1. sin2θ+cos2θ=1
    2. sinθcosθ=tanθ
    3. 1+tan2θ=1cos2θ
  • 「①三角関数の定義」で使用した図を基に、上記3つの式を証明していく。

sin2θ+cos2θ=1 の証明:

cosθsinθ がそもそも単位円上に定義されるx座標、y座標であるため、三平方の定理より上式が成立する。

sinθcosθ=tanθ の証明:

上図において、三角形OABと三角形OCDの相似関係に着目する。
OA:AB=OC:CDより、

cosθ:sinθ=1:tanθ cosθtanθ=sinθ tanθ=sinθcosθ

となり、上式が成立する。

1+tan2θ=1cos2θ の証明:

これも実は簡単で、①式の両辺をcos2θで割って、②式を利用すれば③式を得ることができる。

⑥結局、三角関数って何に使うの?

さあ、いよいよ本題です。
実は直角三角形の各辺と三角関数の間には、以下関係性が存在しています。
(※この関係性はメチャクチャ使いますので、是非覚えておきましょう)

証明は簡単で、上でsinθcosθ=tanθを証明した時と同様に、相似比を利用します。

例えば三角形OABと三角形OA'B'の相似関係に着目します。
OB:BA=OB':B'A'より、

c:b=1:sinθ c×sinθ=b sinθ=bc

同じように、cosθ=actanθ=baも求められるが、ここでは割愛します。
是非、手を動かして一度導出してみてください。

前置きが長くなりましたが、三角関数を知っていることで、
直角三角形の角度と1辺の長さが分かれば、他の辺の長さも求めることができるようになります。

例として、斜辺の長さが10、1つの角度が40°の直角三角形の各辺を求めてみると、
sinθ=bccosθ=acを利用して、以下のように求められます。
 ※sin40, cos40 の値については、以下を確認した値を使用しました。
  <https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~yasuda/sysKOU/cit-H20/trig-table.pdf>

上の例は斜辺の長さが判明しているパターンでしたが、斜辺以外の1辺の長さが判明している場合でも、三角関数を利用することで他の2辺の長さを求めることができます!是非試してみてください!

★まとめ★

いかがでしたでしょうか。
上の例では、各角度がそれぞれ [90,40,50] の三角形を考えましたが、もちろん他の角度の場合でも、1辺の長さが定まっていれば、三角関数を利用して残りの辺の長さを求めることができます。

現実世界では三角関数を利用して、建物の高さや物体までの距離を測定したりしていますので、社会人になっても三角関数を利用する場面は多々出てきます。そういった意味でも、ここで得た知識は決して無駄にならないかなと思っております。

本記事が少しでも皆様のお役に立っていれば幸いです。
ここまで記事を読んでいただき、ありがとうございました!

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