マクローリン展開とは、関数を \(x=0\) のまわりで、\(x\) のべき乗を使ったべき級数の形に展開する方法です。
例えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots
\end{eqnarray}
という公式を見たことがある方もいるのではないでしょうか。
しかし、この式だけを見ても、
「なぜ \(\sin x\) がこんなべき級数で表せるの？」
「\(3!、5!、7!\) はどこから出てくるの？」
「そもそもマクローリン展開は何のために使うの？」
と疑問に思うかもしれません。
本記事では、マクローリン展開の意味と一般公式を確認したうえで、公式がどのように導かれるのかを途中式を省略せずに解説します。
さらに、\(\sin x、\cos x、e^x\) を実際にマクローリン展開し、グラフを使って「なぜ多項式で元の関数を近似できるのか」についても確認していきます。
1. マクローリン展開とは？
マクローリン展開とは、ある関数 \(f(x)\) を
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+\cdots
\end{eqnarray}
のような、\(x\) のべき乗を使った無限級数（べき級数）の形で表す方法です。
例えば \(\sin x\) であれば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots
\end{eqnarray}
と表すことができます。
一見すると、三角関数である \(\sin x\) と右辺のべき級数には何の関係もないように見えます。
では、右辺の係数はどのように決めればよいのでしょうか。
実は、\(x=0\) における関数の値や微分係数が一致するように係数を決めていくことで、この式を作ることができます。
まずは一般的な関数 \(f(x)\) を使って、その仕組みを確認してみましょう。
2. マクローリン展開の公式を導出
マクローリン展開によって \(f(x)\) がべき級数で表せる場合、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+\cdots \tag{1}
\end{eqnarray}
のように表すことができます。
まずは、このように表せると仮定したとき、各係数 \(a_0, a_1, a_2,…\) がどのように決まるのかを確認していきましょう。
では、(1)式に現れる
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_0, \ a_1, \ a_2, \ a_3, \ a_4 \cdots
\end{eqnarray}
は、どのように決めればよいのでしょうか。
実は、(1)式を繰り返し微分して \(x=0\) を代入することで、それぞれの係数を求めることができます。
順番に確認していきましょう。
\(a_0\) を求める
まず、(1)式に \(x=0\) を代入します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(0)&=&a_0+a_1 \cdot 0+a_2 \cdot 0^2+a_3 \cdot 0^3+a_4 \cdot 0^4+\cdots \\
\displaystyle &=&a_0
\end{eqnarray}
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{a_0=f(0)} \tag{2}
\end{eqnarray}
となります。
\(a_1\) を求める
次に、(1)式の両辺を \(x\) で微分します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x)=a_1+2a_2 x+3a_3 x^2+4a_4 x^3+\cdots \tag{3}
\end{eqnarray}
ここで \(x=0\) を代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(0)=a_1
\end{eqnarray}
となるため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{a_1=f'(0)} \tag{4}
\end{eqnarray}
です。
\(a_2\) を求める
さらに、(3)式をもう一度微分します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle f''(x)=2a_2+3 \cdot 2a_3 x+4 \cdot 3a_4 x^2+\cdots \tag{5}
\end{eqnarray}
ここで \(x=0\) を代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f''(0)=2a_2
\end{eqnarray}
となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_2=\frac{f''(0)}{2}
\end{eqnarray}
となります。
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 2=2!
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{a_2=\frac{f''(0)}{2!}} \tag{6}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
\(a_3\) を求める
さらに、(5)式をもう一度微分すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'''(x)=3 \cdot 2a_3+4 \cdot 3 \cdot 2a_4 x+\cdots \tag{7}
\end{eqnarray}
となります。
ここで \(x=0\) を代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'''(0)=3 \cdot 2a_3=3!a_3
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{a_3=\frac{f'''(0)}{3!}} \tag{8}
\end{eqnarray}
となります。
一般化して \(a_n\) を求める
ここまでの結果を並べてみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_0&=&f(0) \\
\displaystyle a_1&=&f'(0) \\
\displaystyle a_2&=&\frac{f''(0)}{2!} \\
\displaystyle a_3&=&\frac{f'''(0)}{3!} \\
&\vdots&
\end{eqnarray}
という規則になっています。
したがって、\(n\) 番目の係数 \(a_n\) は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}} \tag{9}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
これを最初の(1)式
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+\cdots
\end{eqnarray}
に代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0) x+\frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f'''(0)}{3!} x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4+\cdots \tag{10}
\end{eqnarray}
となります。
これがマクローリン展開の基本的な形です。
さらに、シグマ \(\Sigma\) を使えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \tag{11}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
つまりマクローリン展開では、
「関数を繰り返し微分する → \(x=0\) を代入する」
という操作によって、\(x^0, x^1, x^2, \cdots\) の係数を順番に決めているのです。
上では分かりやすさを優先して、\(f(x)\) とそのマクローリン級数を「\(=\)」で結びました。
ただし厳密には、何回でも微分できる関数であれば必ず元の関数とマクローリン級数が一致する、というわけではありません。
本記事では、\(\sin x、\cos x、e^x\) など、実際にマクローリン展開によって表すことのできる代表的な関数を扱います。
3. \(\sin x\) のマクローリン展開
それでは、先ほど導出した公式を使って、実際に関数をマクローリン展開してみましょう。
本記事では、三角関数の角度 \(x\) をラジアンで表します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle (\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x
\end{eqnarray}
という微分公式や、ここから導かれる \(\sin x, \cos x\) のマクローリン展開は、\(x\) をラジアンで表した場合に成り立ちます。
まずは、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=\sin x \tag{12}
\end{eqnarray}
を考えます。
マクローリン展開の公式は
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0) x+\frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f'''(0)}{3!} x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4+\cdots \tag{13}
\end{eqnarray}
でした。
したがって、\(\sin x\) を繰り返し微分し、それぞれに \(x=0\) を代入していけばOKです。
STEP1 \(\sin x\) を繰り返し微分する
\(\sin x\) を順番に微分すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&\sin x \\
\displaystyle f'(x)&=&\cos x \\
\displaystyle f''(x)&=&-\sin x \\
\displaystyle f'''(x)&=&-\cos x \\
\displaystyle f^{(4)}(x)&=&\sin x \\
\displaystyle f^{(5)}(x)&=&\cos x \\
&\vdots&
\end{eqnarray}
となります。
つまり、\(\sin x\) は4回微分すると元の \(\sin x\) に戻り、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x \rightarrow \cos x \rightarrow -\sin x \rightarrow -\cos x \rightarrow \sin x \rightarrow \cdots
\end{eqnarray}
という周期を繰り返します。
STEP2 \(x=0\) を代入する
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin0=0,\qquad \cos0=1
\end{eqnarray}
なので、それぞれに \(x=0\) を代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(0)&=&0 \\
\displaystyle f'(0)&=&1 \\
\displaystyle f''(0)&=&0 \\
\displaystyle f'''(0)&=&-1 \\
\displaystyle f^{(4)}(0)&=&0 \\
\displaystyle f^{(5)}(0)&=&1 \\
&\vdots&
\end{eqnarray}
となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0 \rightarrow 1 \rightarrow 0 \rightarrow -1 \rightarrow 0 \rightarrow \cdots
\end{eqnarray}
という値が繰り返されることがわかります。
STEP3 マクローリン展開の公式に代入する
これらを(13)式に代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x&=&0+1 \cdot x+\frac{0}{2!} x^2+\frac{-1}{3!} x^3+\frac{0}{4!} x^4+\frac{1}{5!} x^5+\cdots \\
\displaystyle &=&x-\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{5!} x^5-\frac{1}{7!} x^7+\cdots
\end{eqnarray}
となります。
したがって、\(\sin x\) のマクローリン展開は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots} \tag{14}
\end{eqnarray}
です。
シグマを使えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
なぜ \(\sin x\) には偶数乗の項がない？
(14)式を見ると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots}
\end{eqnarray}
と、奇数乗の項しかありません。
これは、\(\sin x\) の0階・偶数階微分に \(x=0\) を代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(0)=f''(0)=f^{(4)}(0)=\cdots=0
\end{eqnarray}
となるためです。
その結果、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x^0, \ x^2, \ x^4, \ x^6, \cdots
\end{eqnarray}
の係数がすべて \(0\) となり、奇数乗の項だけが残ります。
4. \(\cos x\) のマクローリン展開
続いて、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=\cos x
\end{eqnarray}
をマクローリン展開してみましょう。
考え方は先ほどの \(\sin x\) とまったく同じです。
STEP1 \(\cos x\) を繰り返し微分する
\(\cos x\) を順番に微分すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&\cos x \\
\displaystyle f'(x)&=&-\sin x \\
\displaystyle f''(x)&=&-\cos x \\
\displaystyle f'''(x)&=&\sin x \\
\displaystyle f^{(4)}(x)&=&\cos x \\
\displaystyle f^{(5)}(x)&=&-\sin x \\
&\vdots&
\end{eqnarray}
となります。
こちらも4回微分すると元の関数に戻ります。
STEP2 \(x=0\) を代入する
先ほど確認したように、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin0=0,\qquad \cos0=1
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(0)&=&1 \\
\displaystyle f'(0)&=&0 \\
\displaystyle f''(0)&=&-1 \\
\displaystyle f'''(0)&=&0 \\
\displaystyle f^{(4)}(0)&=&1 \\
\displaystyle f^{(5)}(0)&=&0 \\
&\vdots&
\end{eqnarray}
となります。
つまり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1 \rightarrow 0 \rightarrow -1 \rightarrow 0 \rightarrow 1 \rightarrow \cdots
\end{eqnarray}
という値が繰り返されます。
STEP3 マクローリン展開の公式に代入する
これらを(13)式に代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos x&=&1+0 \cdot x-\frac{1}{2!} x^2+\frac{0}{3!} x^3+\frac{1}{4!} x^4+\frac{0}{5!} x^5+\cdots \\
\displaystyle &=&1-\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\frac{1}{6!} x^6+\cdots
\end{eqnarray}
となります。
したがって、\(\cos x\) のマクローリン展開は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots} \tag{15}
\end{eqnarray}
です。
シグマを使えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
\(\sin x\) では奇数乗の項だけが残りましたが、\(\cos x\) では反対に、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x^0, \ x^2, \ x^4, \ x^6, \cdots
\end{eqnarray}
という偶数乗の項だけが残るのが特徴です。
5. \(e^x\) のマクローリン展開
最後に、指数関数
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=e^x
\end{eqnarray}
をマクローリン展開してみましょう。
実は \(e^x\) は、\(\sin x\) や \(\cos x\) よりも簡単にマクローリン展開できます。
その理由は、\(e^x\) は何回微分しても \(e^x\) のままだからです。
STEP1 \(e^x\) を繰り返し微分する
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&e^x \\
\displaystyle f'(x)&=&e^x \\
\displaystyle f''(x)&=&e^x \\
\displaystyle f'''(x)&=&e^x \\
&\vdots& \\
\displaystyle f^{(n)}(x)&=&e^x \\
\end{eqnarray}
となります。
STEP2 \(x=0\) を代入する
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^0=1
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(0)&=&1 \\
\displaystyle f'(0)&=&1 \\
\displaystyle f''(0)&=&1 \\
\displaystyle f'''(0)&=&1 \\
&\vdots& \\
\displaystyle f^{(n)}(0)&=&1 \\
\end{eqnarray}
となります。
つまり、マクローリン展開に必要な値がすべて\(1\)になります。
STEP3 マクローリン展開の公式に代入する
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^x&=&1+1 \cdot x+\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{4!} x^4+\cdots \\
\displaystyle &=&1+x+\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{4!} x^4+\cdots
\end{eqnarray}
となります。
よって、\(e^x\) のマクローリン展開は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots} \tag{16}
\end{eqnarray}
です。
シグマを使えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}
\end{eqnarray}
と、非常にシンプルな形で表すことができます。
6. よく使うマクローリン展開一覧
ここまで、\(\sin x、\cos x、e^x\) のマクローリン展開を実際に導出してきました。
これらを含め、数学でよく使われる代表的なマクローリン展開をまとめると、次のようになります。
\(\sin x\) のマクローリン展開
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots}
\end{eqnarray}
もしくはシグマを利用して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}
\end{eqnarray}
\(\cos x\) のマクローリン展開
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots}
\end{eqnarray}
もしくはシグマを利用して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}}
\end{eqnarray}
\(e^x\) のマクローリン展開
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots}
\end{eqnarray}
もしくはシグマを利用して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}
\end{eqnarray}
\(\log(1+x)\) のマクローリン展開
こちらは本記事では証明はせず、結果だけ以下に記載します。
\(\log(1+x)\) のマクローリン展開は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\log(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots}
\end{eqnarray}
となります。
もしくは、シグマを利用して
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
この級数は
\begin{eqnarray}
\displaystyle -1<x\leqq1
\end{eqnarray}
の範囲で収束します。なお、\(x=−1\) では \(\log(1+x)\) 自体が定義されず、\(x>1\) では右辺の級数が収束しません。収束範囲の詳しい証明は本記事では割愛します。
\(\displaystyle \frac{1}{1-x}\) のマクローリン展開
こちらも本記事では証明はせず、結果だけ以下に記載します。
\(\displaystyle \frac{1}{1-x}\) のマクローリン展開は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots} \tag{17}
\end{eqnarray}
となります。
ただしこの展開は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle -1<x<1
\end{eqnarray}
の範囲で成立します。
ちなみにこれは、初項 \(1\)、公比 \(x\) の等比級数の和
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n=\frac{1 \cdot (1-x^{n+1})}{1-x}
\end{eqnarray}
を考えたとき、\(\displaystyle -1<x<1\) では \(n \to \infty\) とすると \(x^{n+1} \to 0\) となるため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}
\end{eqnarray}
が得られます。
7. マクローリン展開は何のために使う？｜多項式による近似
ここまでマクローリン展開の求め方を説明してきましたが、
「そもそもマクローリン展開は何のために使うの？」
と思った方もいるかもしれません。
マクローリン展開の大きな役割の1つが、複雑な関数を簡単な多項式で近似することです。
例えば、\(\sin x\) のマクローリン展開は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots
\end{eqnarray}
でした。
この無限に続く式を、途中で打ち切ってみましょう。
例えば最初の1項だけなら、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x \approx x \tag{18}
\end{eqnarray}
となります。
さらに3次の項まで使えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x \approx x-\frac{x^3}{3!} \tag{19}
\end{eqnarray}
5次の項まで使えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x \approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \tag{20}
\end{eqnarray}
となります。
このように、\(\sin x\) という三角関数を、(18)～(20)のように、\(x\) の多項式で近似することができるのです。
特に \(x=0\) に近いところでは、少ない項でもよい近似になります。
具体的な例で見てみましょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=\sin x
\end{eqnarray}
とします。
\(\sin x\) について、\(x^5\)、\(x^7\)、\(x^9\) の項までマクローリン展開したものをそれぞれ \(g(x)\)、\(h(x)\)、\(p(x)\) として、
\begin{eqnarray}
g(x)&=&x-\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{5!} x^5 \\
h(x)&=&x-\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{5!} x^5-\frac{1}{7!} x^7 \\
p(x)&=&x-\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{5!} x^5-\frac{1}{7!} x^7+\frac{1}{9!} x^9
\end{eqnarray}
と定義します。
\(f(x)\)、\(g(x)\)、\(h(x)\)、\(p(x)\) を同じ座標平面上に描くと、以下のようになります。
上の4つのグラフを見比べてみてください。
\(g(x), h(x), p(x)\) の各グラフとも、\(x=0\) 付近で\(f(x)\)のグラフと形がほぼ一致しています。
また少しわかりづらいかもしれませんが、\(g(x)\) よりも \(h(x)\)、\(h(x)\) よりも \(p(x)\) の方が、\(f(x)\)とグラフが一致している範囲が広いこともわかるかと思います。
\(g(x)\) はおおよそ \(-2 \lt x \lt 2\) の範囲で \(f(x)=\sin x\) とほぼ重なって見えるのに対し、
\(p(x)\) はさらに広い範囲で \(\sin x\) のグラフに近い形になっていることがわかります。
つまり、マクローリン展開では、
今回の \(\sin x\) のように、使う項を増やすことで、\(x=0\) 付近での近似精度が高まり、より広い範囲で元の関数に近い値をとるようになります。
最後に例として、\(f(x), g(x), h(x), p(x)\)に\(x=1\)を代入した値を見てみると、
\begin{eqnarray}
f(1)&=&0.841470985,,,,,, \\
g(1)&=&0.841666666,,,,,,（f(1)との差：0.000195681） \\
h(1)&=&0.841468254,,,,,,（f(1)との差：0.000002731） \\
p(1)&=&0.841471009,,,,,,（f(1)との差：0.000000024）
\end{eqnarray}
となり、\(x\)の高次の項まで考慮すればするほど、マクローリン展開の”近似”の精度が上がっていくことがわかります。
8. マクローリン展開とテイラー展開の違い
マクローリン展開について調べていると、「テイラー展開」という言葉もよく登場します。
この2つはまったく別のものではなく、マクローリン展開はテイラー展開の特別な場合です。
テイラー展開では、関数 \(f(x)\) を \(x=a\) の周りで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{blue}{f(x)=f(a)+f'(a) (x-a)+\frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3+\frac{f^{(4)}(a)}{4!} (x-a)^4+\cdots} \tag{21}
\end{eqnarray}
と展開します。
一般的には、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{blue}{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n} \tag{22}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
このテイラー展開の式(21)に
\begin{eqnarray}
\displaystyle a=0
\end{eqnarray}
を代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{f(x)=f(0)+f'(0) x+\frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f'''(0)}{3!} x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4+\cdots}
\end{eqnarray}
となり、マクローリン展開とまったく同じ形になります。
つまり、マクローリン展開はテイラー展開の一種であり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \text{テイラー展開：\(\color{blue}{x=a}\) の周りで展開する} \\
\displaystyle \text{マクローリン展開：\(\color{red}{x=0}\) の周りで展開する}
\end{eqnarray}
という違いがあることを覚えておけばよいでしょう。
9. 【発展】オイラーの公式との関係
ここまでに、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^x,\qquad \sin x,\qquad \cos x
\end{eqnarray}
のマクローリン展開を確認しました。
実は、この3つのマクローリン展開を利用すると、数学で非常に有名なオイラーの公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{e^{ix}=\cos x+i\sin x} \tag{23}
\end{eqnarray}
を導くことができます。（ただし、\(i\) は虚数単位で、\(i^2=-1\) を満たします）
まず、\(e^x\) のマクローリン展開
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots
\end{eqnarray}
の \(x\) を \(ix\) に置き換えてみます。すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\cdots \tag{24}
\end{eqnarray}
となります。
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle i^2&=&-1 \\
\displaystyle i^3&=&-i \\
\displaystyle i^4&=&1
\end{eqnarray}
なので、(24)式は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\cdots
\end{eqnarray}
となります。
ここで、実数部分と \(i\) が付いている部分をそれぞれまとめてみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^{ix}=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right) \tag{25}
\end{eqnarray}
となります。
ここで、先ほど求めた \(\cos x, \sin x\) のマクローリン展開を思い出してみましょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \\
\displaystyle \sin x&=&x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots
\end{eqnarray}
でした。
したがって、(25)式は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x
\end{eqnarray}
となります。
よって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{e^{ix}=\cos x+i\sin x}
\end{eqnarray}
というオイラーの公式が得られます。
以上が、マクローリン展開を利用したオイラーの公式の導出です。
一見すると、指数関数 \(e^x\) と三角関数 \(\cos x, \sin x\) には何の関係もないように見えます。
しかし、それぞれをマクローリン展開してみると、これらの関数が非常に美しい形でつながっていることが分かります。
まとめ｜マクローリン展開は「微分して0を代入」で理解できる
本記事では、マクローリン展開の公式について、その導出方法から具体的な使い方まで順番に解説しました。
マクローリン展開の基本公式は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{f(x)=f(0)+f'(0) x+\frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f'''(0)}{3!} x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4+\cdots}
\end{eqnarray}
であり、シグマを使えば
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
一見すると複雑な公式に見えますが、考え方はそれほど難しくありません。
関数を
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+\cdots
\end{eqnarray}
と置き、「繰り返し微分して、\(x=0\) を代入する」ことで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}
\end{eqnarray}
という係数が順番に求められます。
この考え方を使うことで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x &=& x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \\
\displaystyle \cos x &=& 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \\
\displaystyle e^x &=& 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots
\end{eqnarray}
といった展開を導くことができます。
また、マクローリン展開は単に公式を求めるためのものではありません。
無限に続く展開を途中で打ち切ることで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x \approx x
\end{eqnarray}
のように、複雑な関数を扱いやすい多項式で近似することもできます。
さらに、マクローリン展開はテイラー展開において展開の中心を \(a=0\) としたものであり、\(e^x, \sin x, \cos x\) の展開を組み合わせることで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x
\end{eqnarray}
というオイラーの公式にもつながります。
マクローリン展開は公式だけを見ると難しく感じるかもしれませんが、
「関数を微分する → x=0 を代入する → 係数を決める」
という流れを理解しておけば、丸暗記する必要はありません。
公式がどのように作られているのかを理解したうえで、\(\sin x, \cos x, e^x\) などの代表的な関数について、自分でも実際に展開できるようにしておきましょう。
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