数学Aで円の性質を学習すると、「方べきの定理」という公式が登場します。
方べきの定理は、円と直線の交点について、線分の長さの積が等しくなることを表す定理です。
例えば、円の内部で2本の弦 \(AB\)、\(CD\) が点 \(P\) で交わるとき、
\[ \color{red}{PA\cdot PB=PC\cdot PD} \]
という関係が成り立ちます。
この定理を使えば、円に関する図形問題で、未知の線分の長さを簡単に求められることがあります。
しかし、
「方べきの定理にはどのような公式があるのか？」
「3つのパターンをどう覚えればよいのか？」
「なぜ線分の長さの積が等しくなるのか？」
と疑問に思う方もいるのではないでしょうか。
この記事では、方べきの定理の3つの公式と覚え方を紹介した後、具体的な例題を使って解き方を解説します。
さらに、三角形の相似を利用して、方べきの定理が成り立つ理由も証明します。
1. 方べきの定理とは？
方べきの定理とは、円と直線の交点について、ある点からの距離の積が一定になることを表す定理です。
方べきの定理には、主に次の3つのパターンがあります。
1.1 円の内部で2本の弦が交わる場合
円の内部に点 \(P\) があり、2本の弦 \(AB\)、\(CD\) が点 \(P\) で交わるとします。
このとき、次の関係が成り立ちます。
\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]
つまり、点 \(P\) から同じ弦の両端までの距離を掛けると、どちらの弦でも同じ値になります。
1.2 円の外部から2本の割線を引く場合
次に、円の外部から2本の割線を引く場合を考えます。
割線とは、円と異なる2点で交わる直線のことです。
円の外部に点 \(P\) があり、点 \(P\) から引いた2本の割線が、円とそれぞれ点 \(A,B\)、点 \(C,D\) で交わるとします。
ただし、点の並び順は \(P,A,B\) および \(P,C,D\) とします。
このときも、
\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]
が成り立ちます。
円の内部と外部では図形の形が異なりますが、公式は同じです。
1.3 円の外部から接線を引く場合
円の外部に点 \(P\) があり、点 \(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\)、割線と円の交点を \(A,B\) とします。
ただし、円の中心を点 \(O\)、点の並び順は \(P,A,B\) とします。
このとき、
\[ PT^2=PA\cdot PB \]
が成り立ちます。
接線の場合は、接点までの距離の2乗になることが特徴です。
2. 方べきの定理の覚え方
方べきの定理には3つのパターンがありますが、別々の公式として丸暗記する必要はありません。
覚えるポイントは、「2本の直線の交点 \(P\) から、それぞれの直線と円が交わる2点までの距離を掛け合わせると、その値が等しくなる」ということです。
円の内部・外部のどちらでも、
\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]
という関係が成り立ちます。
また、接線の場合は、接点 \(T\) を重なった2つの交点と考えることで、
\[ PA\cdot PB=PT\cdot PT=PT^2 \]
と覚えられます。
つまり、3つの公式はすべて、「交点 \(P\) を基準に、円との交点までの距離の積を考える」という共通した考え方で理解できます。
3. 方べきの定理の使い方
この章では、3つのパターンについて、具体的な例題を解いてみましょう。
3.1 円の内部で交わる場合
解答
方べきの定理より、
\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]
なので、
\[ 3\cdot8=4\cdot PD \]
\[ PD=6 \]
したがって、答えは \(6\) です。
3.2 円の外部から2本の割線を引く場合
解答
\[ PB=PA+AB=8 \]
方べきの定理より、
\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]
\[ 3\cdot8=4(4+CD) \]
\[ 24=16+4CD \]
\[ CD=2 \]
したがって、答えは \(2\) です。
3.3 接線がある場合
解答
方べきの定理より、
\[ PT^2=PA\cdot PB \]
\[ PT^2=4\cdot9=36 \]
\(PT\) は線分の長さなので正の値を取り、
\[ PT=6 \]
したがって、答えは \(6\) です。
4. 方べきの定理の証明
ここでは、三角形の相似を利用して、方べきの定理を証明します。
4.1 円の内部で2本の弦が交わる場合
円の内部で弦 \(AB\)、\(CD\) が点 \(P\) で交わるとします。
三角形 \(PAC\) と三角形 \(PDB\) に注目します。
円周角の定理より、
\[ \angle PAC=\angle PDB \]
また、対頂角より、
\[ \angle APC=\angle DPB \]
したがって、2組の角がそれぞれ等しいので、
\[ \triangle PAC\sim\triangle PDB \]
相似比より、
\[ \frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB} \]
両辺を整理すると、
\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]
よって、方べきの定理が証明できました。
日本の教科書などでは、相似を表す記号として「∽」が使われることもあります。本記事では、国際的に広く使われている「\(\sim\)」を相似記号として使用します。
4.2 円の外部から2本の割線を引く場合
点 \(P\) から2本の割線を引き、円との交点をそれぞれ \(A,B\)、\(C,D\) とします。
ただし、点の並び順は \(P,A,B\) および \(P,C,D\) とします。
三角形 \(PAC\) と三角形 \(PDB\) に注目します。
円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) なので、
\[ \angle BAC+\angle BDC=180^\circ \]
また、点 \(P,A,B\) は一直線上にあるため、
\[ \angle PAC+\angle BAC=180^\circ \]
したがって、
\[ \color{red}{\angle PAC}=180^\circ-\angle BAC=\angle BDC=\color{red}{\angle PDB} \]
となります。
上の角度の関係が成立する理由がよくわからない方は、以下記事で解説していますのでよろしければご覧ください！
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また、点 \(P\) における角は共通なので、
\[ \color{red}{\angle APC}=\color{red}{\angle DPB} \]
したがって、
\[ \triangle PAC\sim\triangle PDB \]
相似比より、
\[ \frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB} \]
よって、
\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]
が成り立ちます。
4.3 円の外部から接線を引く場合
点 \(P\) から円に接線 \(PT\) と割線 \(PAB\) を引きます。
三角形 \(PTA\) と三角形 \(PBT\) に注目します。
接弦定理より、
\[ \angle PTA=\angle PBT \]
また、点 \(P\) における角は共通なので、
\[ \angle TPA=\angle BPT \]
したがって、
\[ \triangle PTA\sim\triangle PBT \]
相似比より、
\[ \frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT} \]
両辺を整理すると、
\[ PT^2=PA\cdot PB \]
よって、接線を含む場合についても、方べきの定理が証明できました。
5. 方べきの定理の逆
方べきの定理には逆も成り立ちます。
異なる2直線が点 \(P\) で交わり、一方の直線上に点 \(A,B\)、もう一方の直線上に点 \(C,D\) があるとします。
ただし、点 \(P\) は、両方の線分 \(AB,CD\) の内部にあるか、両方の線分の外部にあるものとします。
このとき、
\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]
が成り立てば、4点 \(A,B,C,D\) は同一円周上にあります。
つまり、方べきの定理の逆を利用すると、4点が同一円周上にあることを示せます。
まとめ
この記事では、方べきの定理の3つの公式と覚え方、使い方、証明について解説しました。
方べきの定理をまとめると、次のようになります。
| パターン | 公式 |
|---|---|
| 円の内部で2本の弦が交わる | \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\) |
| 円の外部から2本の割線を引く | \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\) |
| 円の外部から接線を引く | \(PT^2=PA\cdot PB\) |
方べきの定理は、円に関する図形問題で、線分の長さを求める際に役立つ定理です。
3つの公式を別々に暗記するのではなく、同じ直線上の交点までの距離の積に注目すると、理解しやすくなります。
また、三角形の相似を利用することで、公式が成り立つ理由も説明できます。