高校で学ぶ、以下の三角関数（\(\sin x, \cos x, \tan x\)）の微分公式。
三角関数の微分公式
\[\displaystyle (\sin x)' = \cos x\]
\[\displaystyle(\cos x)' = -\sin x\]
\[\displaystyle(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\]
今回はこの証明手順について、可能な限り丁寧にまとめてみました。
受験生の方など、是非メモ代わりに本記事をご利用いただければと思います！
また、簡潔な記述を心掛けているため、証明の中で以下4点を前提知識として利用します。ご了承下さい。
※「この前提知識の証明がそもそもわからない！」という方は該当のリンク先も併せてご確認ください！
目次
① $(\sin x)'=\cos x$ の証明
\(f(x) = \sin x\) と定義する。微分の定義より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\sin(x+h)}-\sin x}{h}
\end{eqnarray}
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\sin x\cos h+\cos x\sin h}-\sin x}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\cos x・\frac{\sin h}{h} \right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\color{blue}{\cos^2 h-1})}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
\end{eqnarray}
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\color{blue}{-\sin^2 h})}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\sin x(\sin^2 h)}{h^2(\cos h+1)}・h+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\sin x}{\color{green}{\cos h}+1}・\left(\color{green}{\frac{\sin h}{h}} \right)^2・h+\cos x・\color{green}{\frac{\sin h}{h}}\right]
\end{eqnarray}
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \left[-\frac{\sin x}{\color{green}{2}}・\color{green}{1}^2・0+\cos x・\color{green}{1} \right] \\
&=& \displaystyle \cos x
\end{eqnarray}
以上より、
\begin{equation}
f'(x) = (\sin x)' = \cos x
\end{equation}
が導出できた。
② \((\cos x)'=-\sin x\)の証明
\(f(x) = \cos x\) と定義する。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\cos(x+h)}-\cos x}{h}
\end{eqnarray}
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\cos x\cos h-\sin x\sin h}-\cos x}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\cos h-1)}{h}-\sin x・\frac{\sin h}{h} \right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\color{blue}{\cos^2 h-1})}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right]
\end{eqnarray}
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\color{blue}{-\sin^2 h})}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\cos x(\sin^2 h)}{h^2(\cos h+1)}・h-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\cos x}{\color{green}{\cos h}+1}・\left(\color{green}{\frac{\sin h}{h}} \right)^2・h-\sin x・\color{green}{\frac{\sin h}{h}}\right]
\end{eqnarray}
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \left[-\frac{\cos x}{\color{green}{2}}・\color{green}{1}^2・0-\sin x・\color{green}{1} \right] \\
&=& \displaystyle -\sin x
\end{eqnarray}
以上より、
\begin{equation}
f'(x) = (\cos x)' = -\sin x
\end{equation}
が導出できた。
③\(\displaystyle (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\) の証明
\(f(x) = \tan x\) と定義する。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\tan(x+h)}-\tan x}{h}
\end{eqnarray}
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\displaystyle \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{red}{\frac{\tan x + \tan h}{1-\tan x\tan h}}-\tan x}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan x + \tan h-\tan x(1-\tan x\tan h)}{h(1-\tan x\tan h)} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{blue}{\tan h}+\tan^2 x\color{blue}{\tan h}}{h(1-\tan x\color{blue}{\tan h})}
\end{eqnarray}
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\color{blue}{\frac{\sin h}{\cos h}}+\tan^2 x・\color{blue}{\frac{\sin h}{\cos h}}}{h(1-\tan x・\color{blue}{\frac{\sin h}{\cos h}})} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h+\tan^2 x\sin h}{h(\cos h-\tan x\sin h)} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h(1+\tan^2 x)}{h(\cos h-\tan x\sin h)} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\color{green}{\frac{\sin h}{h}}・\frac{1}{\color{green}{\cos h}-\tan x\color{green}{\sin h}}・(1+\tan^2 x) \right]
\end{eqnarray}
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \sin h = 0\)）」より、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\color{green}{1}・\frac{1}{\color{green}{1}-\tan x・\color{green}{0}}・(1+\tan^2 x) \right] \\
&=& \displaystyle 1+\tan^2 x \\
&=& \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}
※ただし、最後の式変形では前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)）」を用いた。
以上より、
\begin{equation}
f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}
\end{equation}
が導出できた。
■まとめ
いかがでしたでしょうか？
三角関数の微分の公式自体は知っていても、1から証明ができる人は中々いないのではないかと思います。
高校数学ではもちろん、理系の大学に進んでもこのあたりの微分公式は当たり前のように出てきますので、「なぜこの公式は成立するんだっけ？」と疑問に思われる方にとって、本記事がその手助けとなっていればとても幸いです。
最後まで本記事を読んでいただき、ありがとうございました！！