高校で学ぶ、以下の三角関数（\(\sin x, \cos x, \tan x\)）の微分公式。
三角関数の微分公式
\[\displaystyle (\sin x)' = \cos x\]
\[\displaystyle(\cos x)' = -\sin x\]
\[\displaystyle(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\]
今回はこの証明手順について、可能な限り丁寧にまとめてみました。
受験生の方など、是非メモ代わりに本記事をご利用いただければと思います！
また、簡潔な記述を心掛けているため、証明の中で以下4種は「前提知識」として利用します。ご了承下さい。
※以下前提知識を利用してよい理由については、各公式・定理のリンク先に別途説明を載せていますので、良ければ併せてご確認ください！
見出し
①\((\sin x)'=\cos x\)の証明
\(f(x) = \sin x\) と定義する。微分の定義より、
\(f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\)
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\cos x・\frac{\sin h}{h} \right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos^2 h-1)}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(-\sin^2 h)}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\sin x(\sin^2 h)}{h^2(\cos h+1)}・h+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\sin x}{\cos h+1}・\left(\frac{\sin h}{h} \right)^2・h+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \left[-\frac{\sin x}{2}・1^2・0+\cos x・1 \right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \cos x \)
②\((\cos x)'=-\sin x\)の証明
\(f(x) = \cos x\) と定義する。
\(f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\)
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\cos h-1)}{h}-\sin x・\frac{\sin h}{h} \right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(\cos^2 h-1)}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\cos x(-\sin^2 h)}{h(\cos h+1)}-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\cos x(\sin^2 h)}{h^2(\cos h+1)}・h-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\cos x}{\cos h+1}・\left(\frac{\sin h}{h} \right)^2・h-\sin x・\frac{\sin h}{h}\right]\)
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \left[-\frac{\cos x}{2}・1^2・0-\sin x・1 \right]\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle -\sin x \)
③\((\tan x)'=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)の証明
\(f(x) = \tan x\) と定義する。
\(f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan(x+h)-\tan x}{h}\)
前提知識「2. 三角関数の加法定理（\(\displaystyle \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\tan x + \tan h}{1-\tan x\tan h}-\tan x}{h}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan x + \tan h-\tan x(1-\tan x\tan h)}{h(1-\tan x\tan h)}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan h+\tan^2 x\tan h}{h(1-\tan x\tan h)}\)
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin h}{\cos h}+\tan^2 x・\frac{\sin h}{\cos h}}{h(1-\tan x・\frac{\sin h}{\cos h})}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h+\tan^2 x\sin h}{h(\cos h-\tan x\sin h)}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h(1+\tan^2 x)}{h(\cos h-\tan x\sin h)}\)
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin h}{h}・\frac{1}{\cos h-\tan x\sin h}・(1+\tan^2 x) \right]\)
前提知識「4. 三角関数の極限（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \cos h = 1\)）と（\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \sin h = 0\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[1・\frac{1}{1-\tan x・0}・(1+\tan^2 x) \right]\)
\( \hspace{25pt} = 1+\tan^2 x \)
前提知識「3. 三角関数の基礎公式（\(1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)）」より、
\( \hspace{25pt} = \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} \)
■まとめ
いかがでしたでしょうか？
三角関数の微分の公式自体は知っていても、1から証明ができる人は中々いないのではないかと思います。
高校数学ではもちろん、理系の大学に進んでもこのあたりの微分公式は当たり前のように出てきますので、「なぜこの公式は成立するんだっけ？」と疑問に思われる方にとって、本記事がその手助けとなっていればとても幸いです。
最後まで本記事を読んでいただき、ありがとうございました！！