sinx/xの極限が1になる理由｜
はさみうちの原理でわかりやすく証明

三角関数で重要な極限の一つに、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{eqnarray}

があります。

しかし、\(x \to 0\) のときは \(\displaystyle \sin x \to 0\)、 \(\displaystyle x \to 0\) となるため、形式的には \(\displaystyle \frac{0}{0}\) の不定形になります。

本記事では、 \(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\)​ の極限が1になる理由を、図形の面積の大小関係から不等式を作り、はさみうちの原理を使って丁寧に証明します。

記事の最後の方では、\(x \to +0\) だけでなく \(x \to -0\) の場合についても確認し、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{eqnarray}

が成立することをしっかり示していきます。

sinx/xの極限とは？

証明に入る前に、一度「\(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\) の極限」とは何のことを言っているのか、明確にしておきましょう。

\(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\) の極限とは、一般的には以下公式のことを意味します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{eqnarray}

本記事ではこの式が何故成り立つのか、証明していきます。

sinx/xの極限が1になることの証明

【手順1】図形を描く

上の図を参考に描いてみてください。描き方は以下を参照。

　(1) まず半径1の扇形OABを描く。

　(2) その後、点Aから直線OAに垂直に引いた線と
　　 直線OBが交わる点をCとする。

　(3) 三角形OACを考えると、自動的に線分ACの長さは
　　 \(\tan \theta\)と定まる。
　　　※\(\tan \theta\) と定まる理由が不明な方は、別記事＜三角関数の基本＞で \(\tan \theta\) の定義から復習してみて下さい！

【手順2】3種類の図形の面積を求める

①三角形\(OAB\)の面積

　　三角形\(OAB\)の面積は【\(\displaystyle \frac{1}{2} × OA × OB × \sin \theta\)】で求められるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{2} × 1 × 1 × \sin \theta = \frac{1}{2}\sin \theta
\end{eqnarray}

②扇形\(OAB\)の面積

　　扇形の面積は【\(\displaystyle \frac{1}{2} r^2 \theta\)】で求められるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{2} × 1^2 × \theta = \frac{1}{2}\theta
\end{eqnarray}

③三角形\(OAC\)の面積

　　三角形\(OAC\)の面積は【\(\displaystyle \frac{1}{2} × OA × AC\)】で求められるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{2} × 1 × \tan \theta = \frac{1}{2}\tan \theta
\end{eqnarray}

上で求めた①、②、③をまとめると、

三角形\(OAB\)の面積： \(\displaystyle\frac{1}{2}\sin \theta\)
扇形\(OAB\)の面積： \(\displaystyle\frac{1}{2}\theta\)、　
三角形\(OAC\)の面積： \(\displaystyle\frac{1}{2}\tan \theta\)

【手順3】求めた面積の大小関係を比較する

手順1にて描いた図形より、[三角形\(OAB\)] < [扇形\(OAB\)] < [三角形\(OAC\)]が明らかなため、

\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}\sin \theta < \frac{1}{2}\theta < \frac{1}{2}\tan \theta \tag{1}
\end{eqnarray}

各辺に \(\times \displaystyle\frac{2}{\sin \theta}\)をすると、

\begin{eqnarray}
1 < \frac{\theta}{\sin \theta} < \frac{1}{\cos \theta} \tag{2}
\end{eqnarray}

両辺の分母と分子を入れ替えると、（※この操作では不等号の向きが変わることに注意）

\begin{eqnarray}
1 > \frac{\sin \theta}{\theta} > \cos \theta \tag{3}
\end{eqnarray}

【手順4】\(\theta \to +0\) の極限を考え、はさみうちの原理を使う

\(\cos \theta\) について、\(\theta \to +0\) の極限を取ると、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \cos \theta=1 \tag{4}
\end{equation}

となるため、(3)式においてはさみうちの原理より、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \tag{5}
\end{equation}

が成立します。

最後に、変数 \(\theta\) を \(x\) に置き換えると、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{equation}

が得られます。

\(x \to -0\) の場合も sinx/x の極限は1になる

先ほどの証明では、\(x \to +0\) のように、\(x\) を正の方向から \(0\) に近づけた場合を考えました。

では、負の方向から \(0\) に近づけた場合 (\(x \to -0\) の場合) の極限は \(1\) にならないのでしょうか。

結論としては、\(x \to -0\) の場合でも極限は \(1\) となり、\(x \to +0\) の場合と結果は同じとなります。

\(x \to -0\) の場合に何故成り立つのかの証明は、以下のように考えます。

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{x \to -0} \frac{\sin x}{x}
\end{equation}

ここで、\(x=-t\)と変換すると、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{\sin (-t)}{(-t)}
\end{equation}

\(\sin(-t)=-\sin t\)より、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{\sin t}{t}
\end{equation}

となるので結局、\(x\)をプラスから0に近づけた時の値と一致します。

つまり、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{\color{blue}{x \to +0}} \frac{\sin x}{x}=1, \ \ \ \ \ \lim_{\color{blue}{x \to -0}} \frac{\sin x}{x}=1
\end{equation}

より、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{\color{red}{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}=1
\end{equation}

であることが証明できます。

なぜ sinx/x の極限は重要なの？

なぜ、sinx/x の極限が重要なのでしょうか。それは、

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1\) という関係を用いることで、\(\displaystyle \frac{0}{0}\) のような不定形の形を避けて計算できる場合がある

ためです。これはとても重要であり、高校数学では必須の知識となります。

例えば、以下のような問題があったとします。

この例題の解法としては、導関数の定義式

\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{eqnarray}

に当てはめて計算していけばよいのですが、試しに計算してみると

\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} &=& \lim_{h \to 0} \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\cos x・\frac{\sin h}{h} \right] \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\color{blue}{\cos^2 h-1})}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin x(\color{blue}{-\sin^2 h})}{h(\cos h+1)}+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\sin x(\sin^2 h)}{h^2(\cos h+1)}・h+\cos x・\frac{\sin h}{h}\right] \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[-\frac{\sin x}{\cos h+1}・\left(\color{red}{\frac{\sin h}{h}} \right)^2・h+\cos x・\color{red}{\frac{\sin h}{h}}\right] \tag{6}
\end{eqnarray}

となります。このまま \(h=0\) を代入すると、\(\displaystyle \frac{0}{0}\) 型の不定形が現れるため、直接は極限を計算できません。

それを避けるため、本記事で導出した以下公式

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{equation}

を利用することで、(6)式の極限を計算することができます。つまり、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (6)式 &=& -\frac{\sin x}{1+1}・\left(\color{red}{1} \right)^2・0+\cos x・\color{red}{1} \\
\displaystyle &=& \cos x \\
\end{eqnarray}

と計算でき、証明ができます。

今見てもらった通り、この極限は、三角関数の微分をはじめ、高校数学のさまざまな極限計算で重要になります。

まとめ

本記事では、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{eqnarray}

となる理由を、図形の面積の大小関係とはさみうちの原理を使って証明しました。

証明のポイントは、\(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\)​ において、三角形と扇形の面積を比較することで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1
\end{eqnarray}

という不等式を導くことです。

\(x \to +0\) のとき、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos x \to 1
\end{eqnarray}

となるため、はさみうちの原理から、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{eqnarray}

が得られます。

さらに、\(\displaystyle \sin(−x)=−\sin x\) という性質を利用すれば、\(x \to -0\) の場合についても同じく極限が \(1\) になることがわかります。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{eqnarray}

が成立します。

この極限は、三角関数の微分公式を証明する際にも重要な役割を持つ公式です。「公式として覚える」だけでなく、図形の面積とはさみうちの原理から導けることも押さえておきましょう。