本記事では準有名角と呼ばれている【18°、36°】の三角関数の値の導出を行っていきます。
本記事で導出する三角関数の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\displaystyle \cos18^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle \tan18^{\circ}&=&\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}} \\
\\
\displaystyle \sin36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle \cos36^{\circ}&=&\frac{\sqrt{5}+1}{4} \\
\displaystyle \tan36^{\circ}&=&\sqrt{5-2\sqrt{5}} \\
\end{eqnarray}
目次
■ \(\sin18^{\circ}\) の導出
\(\sin18^{\circ}\) の値を導出は、以下の関係式を利用してやれば実は簡単に求まる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin54^{\circ}=\cos36^{\circ} \tag{1}\\
\end{eqnarray}
(1)式は、以下の関係式が成立することを利用したものになります。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta \\
\end{eqnarray}
この関係式は「三角関数の加法定理」から簡単に証明できます。
ここで、\(\theta=18^{\circ}\) とおくと、(1)式は
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin3\theta}=\color{blue}{\cos2\theta} \tag{2}\\
\end{eqnarray}
のような形になる。
次に、(2)式の左辺と右辺それぞれを、\(\sin\theta\) で表すことを考える。
まず(2)式の左辺は、三倍角の公式を利用して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\sin3\theta}=-4\sin^3\theta+3\sin\theta \tag{3}\\
\end{eqnarray}
となる。次に(2)式の右辺は、倍角の公式を利用して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{blue}{\cos2\theta}=1-2\sin^2\theta \tag{4}\\
\end{eqnarray}
となるので、(3)式、(4)式を(2)式に代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle -4\sin^3\theta+3\sin\theta=1-2\sin^2\theta \tag{5}\\
\end{eqnarray}
(5)式は『\(\sin\theta\) の3次方程式』になっているため解くことができる。
「三倍角の公式とか倍角の公式って何だっけ？」という方は、こちらに説明がありますのでよろしければお立ち寄り下さい！
\(\sin\theta\) のままだと見づらいので、\(x=\sin\theta\) とおいて(5)式を解いていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle &&-4x^3+3x=1-2x^2 \\
\displaystyle \Rightarrow &\ \ &4x^3-2x^2-3x+1=0 \\
\displaystyle \Rightarrow &\ \ &(x-1)(4x^2+2x-1)=0 \tag{6}\\
\end{eqnarray}
「\(4x^2+2x-1\)」の項は、解の公式を利用して
\begin{eqnarray}
\displaystyle x&=&\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4} \\
\end{eqnarray}
となるため、(6)式の解は
\begin{eqnarray}
\displaystyle x=1,\ \frac{-1\pm\sqrt{5}}{4} \tag{7}
\end{eqnarray}
のように3種類出てくる。
ここで、元々 \(x=\sin18^\circ\) だったことを思い出すと、\(x\) の値は
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0<x<1 \tag{8}
\end{eqnarray}
を満たさなければならないことは明白である。
(7)の3種の解のうち、(8)の定義域を満たすものは以下しか存在しない。
\begin{eqnarray}
\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}
\end{eqnarray}
よって、最終的に \(\sin18^{\circ}\) の値は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \tag{9}
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
ちょっとここまで長くなってしまいましたが、次の \(\cos18^\circ\) と \(\tan18^\circ\) の導出は、たった今求めた \(\sin18^\circ\) の値を利用すればすぐに求まりますので、安心して下さい！
■ \(\cos18^{\circ}\) の導出
これは先ほど求めた \(\sin18^{\circ}\) と、三角関数の基本公式（\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)）を利用すれば求められる。
また、\(0<\cos18^{\circ}<1\) であることに注意して、計算していくと
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos18^\circ&=&\sqrt{1-\sin^2 18^\circ} \\
\displaystyle &=&\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2} \\
\displaystyle &=&\sqrt{1-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \tag{10}\\
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
■ \(\tan18^{\circ}\) の導出
先ほど求めた \(\sin18^{\circ}\) と \(\cos18^{\circ}\) を、三角関数の基本公式（\(\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)）に当てはめて求めていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan18^\circ&=&\frac{\sin18^\circ}{\cos18^\circ} \\
\displaystyle &=&\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}・\color{red}{\frac{4}{4}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}・\color{red}{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}} \tag{11}\\
\displaystyle &=&\frac{5-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}} \\
\displaystyle &=&\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}\sqrt{6+2\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=&\frac{4}{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(6+2\sqrt{5})}} \\
\displaystyle &=&\frac{4}{\sqrt{80+32\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=&\frac{4}{4\sqrt{5+2\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}} \tag{12} \\
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
(11)式で分子の有理化を行うことで、(12)式のようなシンプルな形にできるのです！
■ \(\sin36^{\circ}\) の導出
先ほど求めた \(\sin18^{\circ}\) と、倍角の公式（\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)）を利用すれば求められる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin36^\circ&=&2\sin18^\circ \cos18^\circ \\
\displaystyle &=&2・\frac{\sqrt{5}-1}{4}・\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}(\sqrt{10+2\sqrt{5}})}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{(\sqrt{6-2\sqrt{5}})(\sqrt{10+2\sqrt{5}})}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
■ \(\cos36^{\circ}\) の導出
先ほど求めた \(\cos18^{\circ}\) と、倍角の公式（\(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\)）を利用すれば求められる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos36^\circ&=&2\cos^2 18^\circ-1 \\
\displaystyle &=&2\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)^2-1 \\
\displaystyle &=&\frac{10+2\sqrt{5}}{8}-1 \\
\displaystyle &=&\frac{1+\sqrt{5}}{4} \\
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
■ \(\tan36^{\circ}\) の導出
先ほど求めた \(\sin36^{\circ}\) と \(\cos36^{\circ}\) を、三角関数の基本公式（\(\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)）に当てはめて求めていくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan36^\circ&=&\frac{\sin36^\circ}{\cos36^\circ} \\
\displaystyle &=&\frac{\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{5}+1}{4}}・\color{red}{\frac{4}{4}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}・\color{red}{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{5-1} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=&\frac{4\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{4} \\
\displaystyle &=& \sqrt{5-2\sqrt{5}} \\
\end{eqnarray}
となり、これが答えとなる。
■まとめ：二重根号は出ちゃうけど、比較的綺麗に求まる！
ここまで導出してきて思ったのは、「結構キレイな形になるんだなぁ～」ということです。
特に \(\sin18^\circ\) と \(\cos36^\circ\) は二重根号すら出ず、とてもキレイな形ですね。
また、今回求めた \(\sin18^\circ\) とか \(\sin36^\circ\) とかを利用すれば、もっと色々な角の三角関数の値を求めることができそうですね。
機会があれば、またどんどん導出していきたいと思います。