正弦定理・余弦定理の証明｜
図を使ってなぜ成り立つのかをわかりやすく解説

「正弦定理や余弦定理は、なぜ成り立つの？」

正弦定理・余弦定理は、三角形の辺の長さと角度の関係を表す重要な公式です。

高校数学では頻繁に利用する公式ですが、公式そのものを覚えていても、「なぜこの式が成り立つのか」までは分からないという方も多いのではないでしょうか。

実は、正弦定理は外接円と円周角の定理、余弦定理は垂線と三平方の定理を利用することで導出できます。

本記事では、正弦定理・余弦定理の公式を確認したうえで、図を使いながら途中式をできるだけ省略せずに証明します。

結論だけを暗記するのではなく、「なぜこの公式が成り立つのか」を理解したい方は、ぜひ参考にしてください。

1. 正弦定理・余弦定理とは？

まず、今回証明する正弦定理と余弦定理を確認しておきましょう。

三角形ABCについて、それぞれの辺と角を次のように定めます。

1-1. 正弦定理

三角形ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R}
\end{eqnarray}

と表されます。

さらに、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a:b:c=\sin \alpha:\sin \beta:\sin \gamma
\end{eqnarray}

という関係も得られます。

1-2. 余弦定理

余弦定理は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha} \\
\displaystyle \boxed{b^2=c^2+a^2-2ca \cos\beta} \\
\displaystyle \boxed{c^2=a^2+b^2-2ab \cos\gamma}
\end{eqnarray}

と表されます。

2. 正弦定理はなぜ成り立つ？証明をわかりやすく解説

正弦定理は「円周角の定理」を利用することで証明できます。

2-1. 外接円の直径を引く

まず、三角形ABCの外接円を考えます。

外接円の中心をO、半径をRとします。

次に、直線COを延長し、外接円とのもう1つの交点をA'とします。

この時、A'Cは外接円の直径となるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle A'C=2R
\end{eqnarray}

となります。

2-2. 円周角の定理を使う

ここで、円周角の定理を利用して、三角形ABCの角度と三角形A'BCの角度の関係を確認しましょう。

三角形ABCの頂点Aと、三角形A'BCの頂点A'は、どちらも外接円の円周上にあります。

また、今回の図では、AとA'は弦BCに対して同じ側の弧上にあります。

したがって、角BACと角BA'Cは、どちらも同じ弧BCに対する円周角となるため、円周角の定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle BAC=\angle BA'C=\alpha
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

さらに、線分A'Cは外接円の直径なので、直径に対する円周角は90°になることから、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle A'BC=90^\circ
\end{eqnarray}

となります。

つまり、三角形A'BCは、角Bが90°の直角三角形です。

この直角三角形に注目すると、三角関数の定義から正弦定理を導くことができます。

2-3. sinの定義から正弦定理を導く

先ほど確認した直角三角形A'BCに注目しましょう。

この三角形では、角A'が \(\alpha\) であり、斜辺は線分A'C、角A'の向かい側にある辺は線分BCです。

したがって、正弦（sin）の定義より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \alpha=\frac{BC}{A'C}
\end{eqnarray}

となります。

ここで、三角形ABCの辺BCの長さは \(a\)、外接円の直径A'Cの長さは 2R なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle BC=a, \quad A'C=2R
\end{eqnarray}

です。

これらを先ほどの式に代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \alpha=\frac{a}{2R}
\end{eqnarray}

となります。

両辺に 2R を掛けると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2R\sin \alpha=a
\end{eqnarray}

さらに、両辺を \(\sin \alpha\) で割ることで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\frac{a}{\sin \alpha}=2R}
\end{eqnarray}

が得られます。

同様に、辺CAと角B、辺ABと角Cについて考えると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\frac{b}{\sin \beta}=2R}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\frac{c}{\sin \gamma}=2R}
\end{eqnarray}

も成り立ちます。

したがって、これらの式をまとめると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R}
\end{eqnarray}

となり、正弦定理が証明できました。

以上より、図のように、頂点AとA'が弦BCに対して同じ側にある場合について、正弦定理を証明できました。

次に、三角形ABCの角Bが鈍角の場合についても、正弦定理が成り立つことを確認しましょう。

2-4. 鈍角三角形でも正弦定理が成り立つことを確認

ここでは、三角形ABCの角Bが鈍角、すなわち、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 90^\circ<\beta<180^\circ
\end{eqnarray}

の場合を考えます。

まず、外接円の中心をOとし、直線AOを延長して、外接円とのもう1つの交点をB'とします。

すると、線分AB'は外接円の直径となります。

線分AB'は外接円の直径なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle AB'=2R
\end{eqnarray}

です。

また、直径に対する円周角は90°になるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle ACB'=90^\circ
\end{eqnarray}

となります。

次に、角AB'Cの大きさを考えましょう。

四角形ABCB'は円に内接しているため、向かい合う角の和は180°になります。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle AB'C+\angle ABC=180^\circ
\end{eqnarray}

です。

ここで、\(\angle ABC=\beta\) なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \angle AB'C=180^\circ-\beta
\end{eqnarray}

となります。

ここまでの結果から、直角三角形AB'Cにおいて、角B'に対する正弦を考えると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(180^\circ-\beta)=\frac{AC}{AB'}
\end{eqnarray}

となります。

辺ACの長さは b、線分AB'の長さは 2R なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(180^\circ-\beta)=\frac{b}{2R}
\end{eqnarray}

です。

ここで、三角関数には、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(180^\circ-\beta)=\sin \beta
\end{eqnarray}

という性質があります。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \beta=\frac{b}{2R}
\end{eqnarray}

となり、両辺を整理すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\frac{b}{\sin \beta}=2R}
\end{eqnarray}

が得られます。

同様に、ほかの辺と角についても考えることで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R}
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

以上より、正弦定理は鋭角三角形だけでなく、鈍角三角形でも成り立つことが確認できました。

なお、今回利用した \(\sin(180^\circ-\beta)=\sin \beta\) という性質については、三角関数の加法定理を利用して導くこともできます。

3. 正弦定理から「辺の比＝sinの比」を導く

正弦定理が証明できたので、ここからは三角形の辺の比とsinの比の関係を導いてみましょう。

先ほど証明した正弦定理は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R
\end{eqnarray}

でした。

この式を、それぞれの辺の長さについて整理すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a&=&2R \sin \alpha \\
\displaystyle b&=&2R \sin \beta \\
\displaystyle c&=&2R \sin \gamma
\end{eqnarray}

となります。

これらを辺の比に代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a:b:c&=&2R\sin\alpha:2R\sin\beta:2R\sin\gamma \\
\displaystyle &=&\sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma
\end{eqnarray}

となります。

最後の式では、3つの項に共通して掛かっている 2R を取り除いています。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{a:b:c=\sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma}
\end{eqnarray}

が得られます。

つまり、三角形の辺の長さの比は、それぞれの辺に向かい合う角のsinの比に等しいということです。

この関係は、次のように2つの辺と角の比に分けて考えることもできます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle a:b=\sin\alpha:\sin\beta
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle b:c=\sin\beta:\sin\gamma
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle c:a=\sin\gamma:\sin\alpha
\end{eqnarray}

4. 余弦定理はなぜ成り立つ？証明・導出をわかりやすく解説

ここからは、余弦定理がなぜ成り立つのかを証明していきます。

今回証明するのは、次の公式です。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha}
\end{eqnarray}

正弦定理では外接円と円周角の定理を利用しましたが、余弦定理では、三角形に垂線を引き、三平方の定理を利用することで公式を導きます。

まずは、三角形ABCが鋭角三角形の場合について考えましょう。

4-1. 頂点Cから垂線を引く

三角形ABCの頂点Cから辺ABに垂線を下ろし、その交点をHとします。

すると、三角形ACHと三角形BCHは、どちらも角Hが90°の直角三角形になります。

このうち、まず三角形ACHに注目して、各辺の長さをsinとcosで表していきましょう。

4-2. sin・cosを使って各辺の長さを表す

三角形ACHでは、斜辺ACの長さは b、角Aの大きさは \(\alpha\) です。

したがって、cosの定義より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos\alpha=\frac{AH}{AC}
\end{eqnarray}

となります。

ここで、\(AC=b\) なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos\alpha=\frac{AH}{b}
\end{eqnarray}

両辺に b をかけると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{AH=b\cos\alpha}
\end{eqnarray}

が得られます。

同様に、sinの定義より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\alpha=\frac{CH}{AC}
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin\alpha=\frac{CH}{b}
\end{eqnarray}

となります。

両辺に b を掛けると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{CH=b\sin\alpha}
\end{eqnarray}

が得られます。

さらに、辺ABの長さは c なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle AB=AH+HB=c
\end{eqnarray}

となります。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle HB=c-AH
\end{eqnarray}

ここに、先ほど求めた \(AH=b\cos\alpha\) を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{HB=c-b\cos\alpha}
\end{eqnarray}

が得られます。

以上より、三角形BCHの2辺の長さを、

\begin{eqnarray}
\displaystyle CH&=&b\sin\alpha \\
\displaystyle HB&=&c-b\cos\alpha
\end{eqnarray}

と表すことができました。

次に、この2辺を使って三平方の定理を適用します。

4-3. 三平方の定理から余弦定理を導く

三角形BCHは、角Hが90°の直角三角形です。

したがって、三平方の定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle BC^2=CH^2+HB^2
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

この式に

\begin{eqnarray}
\displaystyle BC&=&a \\
\displaystyle CH&=&b\sin\alpha \\
\displaystyle HB&=&c-b\cos\alpha
\end{eqnarray}

を代入し計算していくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a^2&=&(b\sin\alpha)^2+(c-b\cos\alpha)^2 \\
\displaystyle &=&b^2\sin^2\alpha+c^2-2bc\cos\alpha+b^2\cos^2\alpha \\
\displaystyle &=&b^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+c^2-2bc\cos\alpha \\
\end{eqnarray}

となります。

ここで、三角関数の基本公式、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
\end{eqnarray}

を利用すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha}
\end{eqnarray}

が得られます。

同様に、ほかの角についても考えることで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{b^2=c^2+a^2-2ca\cos\beta}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}
\end{eqnarray}

が得られます。

ただし、ここまでの証明では、垂線の足Hが辺AB上にある場合を考えました。

次に、鈍角三角形の場合についても、余弦定理が成り立つことを確認しましょう。

4-4. 鈍角三角形でも余弦定理が成り立つことを確認

次に、角Bが鈍角の場合を考えます。この場合、頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足Hは、辺ABの外側に位置するため、先ほどとは線分HBの長さの表し方が変わります。

この場合も、直角三角形ACHに注目すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle AH&=&b\cos\alpha \\
\displaystyle CH&=&b\sin\alpha
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

ただし、今回はHがBよりも外側にあるため、線分HBの長さは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle HB=AH-AB
\end{eqnarray}

となります。

ここに、\(AH=b\cos\alpha, AB=c\) を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{HB=b\cos\alpha-c}
\end{eqnarray}

が得られます。

ここで、直角三角形BCHに三平方の定理を適用すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle BC^2=CH^2+HB^2
\end{eqnarray}

となります。

この式に、先ほど求めた

\begin{eqnarray}
\displaystyle BC&=&a \\
\displaystyle CH&=&b\sin\alpha \\
\displaystyle HB&=&b\cos\alpha-c
\end{eqnarray}

を代入し計算していくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a^2&=&(b\sin\alpha)^2+(b\cos\alpha-c)^2 \\
\displaystyle &=&b^2\sin^2\alpha+b^2\cos^2\alpha-2bc\cos\alpha+c^2 \\
\displaystyle &=&b^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+c^2-2bc\cos\alpha \\
\end{eqnarray}

ここで、三角関数の基本公式、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
\end{eqnarray}

を利用すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha}
\end{eqnarray}

が得られます。

以上より、鈍角三角形の場合でも余弦定理が成り立つことが確認できました。

なお、角Aが鈍角の場合は、\(\cos\alpha\) が負の値になりますが、余弦定理そのものは同じ形で成り立ちます。

5. 正弦定理と余弦定理はどう使い分ける？

ここまで、正弦定理と余弦定理がなぜ成り立つのかを証明してきました。

では、実際に三角形の辺の長さや角度を求める問題では、どちらの定理を使えばよいのでしょうか。

基本的には、問題で分かっている辺と角の情報に注目すると、使う定理を判断しやすくなります。

分かっている情報	主に使う定理
1組の辺とその対角、さらに別の角または辺	正弦定理
2辺とその間の角	余弦定理
3辺の長さ	余弦定理

例えば、三角形ABCについて、辺 \(a\)、角 \(\alpha\)、角 \(\beta\) が分かっている場合を考えましょう。

この場合、正弦定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

この式を辺 \(b\) について整理すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}}
\end{eqnarray}

となり、辺 \(b\) の長さを求められます。

一方、辺 \(b\)、辺 \(c\)、その間の角 \(\alpha\) が分かっている場合は、余弦定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc \cos\alpha
\end{eqnarray}

となります。

辺の長さ \(a\) は正の値なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a=\sqrt{b^2+c^2-2bc \cos\alpha}
\end{eqnarray}

として求められます。

このように、公式を丸暗記するだけでなく、どの辺と角が分かっているときに利用できるのかを理解しておくと、問題を解くときにも役立ちます。

まとめ

本記事では、正弦定理と余弦定理がなぜ成り立つのかを、図を使いながら証明しました。

今回証明した公式は、次の通りです。

正弦定理は、三角形の外接円に直径を引き、円周角の定理とsinの定義を利用することで証明できます。

一方、余弦定理は、三角形の頂点から垂線を引き、sin・cosの定義と三平方の定理を利用することで証明できます。

また、今回確認したように、どちらの定理も鋭角三角形だけでなく、鈍角三角形でも成り立ちます。

公式の形だけを覚えるのではなく、「なぜこの公式が成り立つのか」「どのような図を描けば導出できるのか」を理解しておくことが大切です。

正弦定理・余弦定理を使う問題で公式を忘れてしまったときも、今回の証明で利用した図を思い出せば、自分で公式を導く手がかりになります。