多くの学生は語呂合わせ等で暗記してしまうそうですが、基本的に筆者はこういった公式の暗記が出来ない脳みそをしているため、これらの公式は毎回その場で導出して使う派です。
本記事で導出する倍角・三倍角の公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\
\displaystyle \cos 2\theta &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
\displaystyle \tan 2\theta &=& \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} \\
\\
\displaystyle \sin 3\theta &=& - 4\sin^3 \theta + 3\sin \theta \\
\displaystyle \cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta \\
\displaystyle \tan 3\theta &=& \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
上記のいずれの公式も以下の三角関数の加法定理を利用することで簡単に導出可能です。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha+\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
上記の加法定理が成り立つ理由が不明な方は、こちらで解説してますのでお立ち寄りください！
■倍角の公式の導出
早速、sin, cos, tanの順で、2倍角の公式を導出していきます。
、、、と言っても、普通に加法定理を使うだけです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 2\theta &=& \sin(\theta+\theta) \\
\displaystyle &=& \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta \\
\displaystyle &=& 2\sin \theta \cos \theta \\
\\
\displaystyle \cos 2\theta &=& \cos(\theta+\theta) \\
\displaystyle &=& \cos \theta \cos \theta - \sin \theta \sin \theta \\
\displaystyle &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
\\
\displaystyle \tan 2\theta &=& \tan(\theta+\theta) \\
\displaystyle &=& \frac{\tan \theta+\tan\theta}{1-\tan \theta \tan \theta} \\
\displaystyle &=& \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
■三倍角の公式の導出
こちらも加法定理を使うだけなのですが、式が少し複雑化するので注意が必要です。
また、以下式変形では要所要所で「\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)」を用いています。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 3\theta &=& \sin(\theta+2\theta) \\
\displaystyle &=& \sin \theta \cos 2\theta + \cos \theta \sin 2\theta \\
\displaystyle &=& \sin \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + \cos \theta (2\sin \theta \cos \theta) \\
\displaystyle &=& \sin \theta (1 - \sin^2 \theta - \sin^2 \theta) + 2\sin \theta \cos^2 \theta \\
\displaystyle &=& \sin \theta (1 - 2\sin^2 \theta) + 2\sin \theta (1 - \sin^2 \theta) \\
\displaystyle &=& \sin \theta - 2\sin^3 \theta + 2\sin \theta - 2\sin^3 \theta \\
\displaystyle &=& - 4\sin^3 \theta + 3\sin \theta \\
\\
\displaystyle \cos 3\theta &=& \cos(\theta+2\theta) \\
\displaystyle &=& \cos \theta \cos 2\theta - \sin \theta \sin 2\theta \\
\displaystyle &=& \cos \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - \sin \theta (2\sin \theta \cos \theta) \\
\displaystyle &=& \cos \theta (\cos^2 \theta - (1 - \cos^2 \theta)) - 2\sin^2 \theta \cos \theta \\
\displaystyle &=& \cos \theta (2\cos^2 \theta - 1) - 2(1 - \cos^2 \theta)\cos \theta \\
\displaystyle &=& 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2\cos \theta + 2\cos^3 \theta \\
\displaystyle &=& 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta \\
\\
\displaystyle \tan 3\theta &=& \tan(\theta+2\theta) \\
\displaystyle &=& \frac{\tan \theta+\tan 2\theta}{1-\tan \theta \tan 2\theta} \\
\displaystyle &=& \frac{\tan \theta+(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta})}{1-\tan \theta (\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta})} \\
\displaystyle &=& \frac{(1-\tan^2 \theta)\tan \theta+2\tan \theta}{(1-\tan^2 \theta)-\tan \theta (2\tan \theta)} \\
\displaystyle &=& \frac{\tan \theta-\tan^3 \theta+2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta - 2\tan^2 \theta} \\
\displaystyle &=& \frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
■まとめ：いつでも導出できるようにしとくと有利！
人の記憶には限界があります。時には自分の記憶が怪しくなったりして、公式がパッと出てこない場合もあるかもしれません。
しかし、本記事の導出さえマスターすれば、全く公式を覚えてなくても心配なし！いつでも導出できます！
そのため、この機会に不安な部分は全てなくし、いつでも導出できるようにしちゃいましょう！