sin18°・cos18°・tan18°の値の求め方｜
倍角・三倍角の公式からわかりやすく導出

「sin18°・cos18°・tan18°の値は、どうやって求めればいいの？」

18°は30°・45°・60°などの有名角とは異なり、公式などを使って厳密値を求められる「準有名角」の1つです。

三角関数の倍角公式と三倍角公式を組み合わせることで、sin18°・cos18°・tan18°の値を根号を含む形で正確に求めることができます。

結論から示すと、それぞれの値は次の通りです。

本記事では、まず倍角公式と三倍角公式からsin18°を求め、その結果を利用してcos18°・tan18°を順番に導出します。

途中式をできるだけ省略せずに解説するので、18°の三角比の値だけでなく、「なぜその値になるのか」を理解したい方もぜひ参考にしてください。

1. 18°の三角比を求めるために使う公式

18°の三角比を求めるために、まず今回使用する公式を確認しておきましょう。

使用する主な公式は、次の2つです。

これらの公式を組み合わせることで、sin18°の値を求めることができます。

ここで注目したいのが、次の角度の関係です。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 54^\circ=3\times18^\circ,\quad 36^\circ=2\times18^\circ
\end{eqnarray}

さらに、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 54^\circ+36^\circ=90^\circ
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin54^\circ=\sin(90^\circ-36^\circ)=\cos36^\circ
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

つまり、18°を基準にすると、三倍角の正弦と倍角の余弦が等しくなるという関係を利用できるのです。

この関係からsin18°の値を求めていきましょう。

なお、倍角公式・三倍角公式そのものの導出については、以下の記事で加法定理から詳しく証明しています。

2. sin18°の値を倍角・三倍角公式から求める

まずは、\(\sin18^{\circ}\) の値を求めます。

2-1. 18°を利用した関係式を作る

先ほど確認したように、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 54^\circ+36^\circ=90^\circ
\end{eqnarray}

です。

三角関数には、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(90^\circ-\theta)=\cos \theta
\end{eqnarray}

という関係式があるため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin54^\circ=\sin(90^\circ-36^\circ)=\cos36^\circ
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

ここで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \theta=18^\circ
\end{eqnarray}

とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 54^\circ=3\theta, \quad 36^\circ=2\theta
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\sin 3\theta=\cos 2\theta}
\end{eqnarray}

という関係式が得られます。

この式の左辺と右辺を、それぞれ \(\sin\theta\) だけで表していきます。

2-2. 倍角公式と三倍角公式を代入する

まず、左辺の \(\sin3\theta\) は、三倍角公式を使って、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 3\theta=3\sin \theta-4\sin^3 \theta
\end{eqnarray}

と表せます。

一方、右辺の \(\cos 2\theta\) は、倍角公式を使って、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2\theta=1-2\sin^2 \theta
\end{eqnarray}

と表せます。

これらを、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 3\theta=\cos 2\theta
\end{eqnarray}

に代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 3\sin \theta-4\sin^3 \theta=1-2\sin^2 \theta
\end{eqnarray}

となります。

この式は \(\sin\theta\) についての三次方程式になっているため、sinθを文字で置き換えて解いていきましょう。

2-3. 三次方程式を解く

ここで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x=\sin\theta
\end{eqnarray}

とおきます。

すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 3x-4x^3=1-2x^2
\end{eqnarray}

となります。

すべての項を左辺に移項し、両辺に−1を掛けると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 4x^3-2x^2-3x+1=0
\end{eqnarray}

が得られます。

この三次方程式は、次のように因数分解できます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle (x-1)(4x^2+2x-1)=0
\end{eqnarray}

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x-1=0
\end{eqnarray}

または、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 4x^2+2x-1=0
\end{eqnarray}

となります。

後者は解の公式を使って、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x&=&\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot4\cdot(-1)}}{2\cdot4} \\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm\sqrt{20}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8} \\
\displaystyle &=&\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}
\end{eqnarray}

となります。

よって、三次方程式の解は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{x=1, \quad x=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}, \quad x=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}}
\end{eqnarray}

の3つです。

2-4. sin18°に対応する解を選ぶ

ここで、もともと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x=\sin\theta, \quad \theta=18^\circ
\end{eqnarray}

とおいていたことを思い出しましょう。

18°は0°より大きく90°より小さい角度なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 0 < \sin 18^\circ < 1
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

つまり、求める \(x\) は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 0 < x < 1
\end{eqnarray}

を満たす必要があります。

先ほど求めた3つの解を確認すると、まず、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x=1
\end{eqnarray}

は \(x<1\) を満たさないため、不適切です。

また、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}
\end{eqnarray}

は負の数なので、\(x>0\) を満たしません。

一方、

\begin{eqnarray}
\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}
\end{eqnarray}

は、\(2<\sqrt{5}<3\) であることから、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 0<\frac{-1+\sqrt{5}}{4}<1
\end{eqnarray}

を満たします。

したがって、sin18°に対応する解は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\sin 18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}
\end{eqnarray}

となります。

3. sin18°からcos18°の値を求める

続いて、cos18°の値を求めます。

ここでは、先ほど求めたsin18°の値と、三角関数の基本公式、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1
\end{eqnarray}

を利用します。

この公式を \(\cos^2 \theta\) について整理すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos^2\theta=1-\sin^2\theta
\end{eqnarray}

となります。

18°は0°より大きく90°より小さい角度なので、cos18°は正の値です。

そのため、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 18^\circ=\sqrt{1-\sin^2 18^\circ}
\end{eqnarray}

と表せます。

ここに、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
\end{eqnarray}

を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos18^\circ&=&\sqrt{1-\sin^2 18^\circ} \\
\displaystyle &=&\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2} \\
\displaystyle &=&\sqrt{1-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}} \\
\displaystyle &=&\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\end{eqnarray}

となります。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\cos18^\circ=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}
\end{eqnarray}

が得られます。

4. sin18°とcos18°からtan18°の値を求める

最後に、tan18°の値を求めます。

今回は、次の公式を利用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\end{eqnarray}

先ほど求めた、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 18^\circ&=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\\
\displaystyle \cos 18^\circ&=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\end{eqnarray}

を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 18^\circ&=&\frac{\sin 18^\circ}{\cos 18^\circ} \\
\displaystyle &=&\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}} \\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}
\end{eqnarray}

となります。

ここで、分子の \(\sqrt{5}​−1\) を簡単な形にすることを考えます。

\(\sqrt{5}​−1\) に \(\sqrt{5}​+1\) を掛けると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle (\sqrt{5}​−1)(\sqrt{5}​+1)=5-1=4
\end{eqnarray}

となります。

そこで、式の値を変えないように、分子と分母にそれぞれ \(\sqrt{5}​+1\) を掛けます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 18^\circ&=&\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} \\
\displaystyle &=&\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}(\sqrt{5}+1)}
\end{eqnarray}

ここで、\(\sqrt{5}+1>0\) なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{5}+1=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}=\sqrt{6+2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}

と表せます。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan18^\circ&=&\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}\sqrt{6+2\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=&\frac{4}{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(6+2\sqrt{5})}} \\
\displaystyle &=&\frac{4}{\sqrt{80+32\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=&\frac{4}{4\sqrt{5+2\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}
\end{eqnarray}

となります。

よって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\tan18^\circ=\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}}
\end{eqnarray}

が得られます。

5. 18°の三角比を利用して36°の三角比を求める

今回求めた18°の三角比は、36°の三角比を導出するときにも利用できます。

なぜなら、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 36^\circ=2\times18^\circ
\end{eqnarray}

という関係があるためです。

例えば、正弦の倍角公式、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta
\end{eqnarray}

に \(\theta=18^\circ\) を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 36^\circ=2\sin 18^\circ \cos 18^\circ
\end{eqnarray}

となります。

ここに、今回求めたsin18°とcos18°の値を代入すれば、sin36°の厳密値を導出できます。

同様に、余弦の倍角公式を使えばcos36°も求められ、さらにsin36°とcos36°からtan36°を求めることもできます。

18°の三角比を利用した36°の三角比の詳しい導出方法については、以下の記事で解説しています。

まとめ

本記事では、倍角公式と三倍角公式を組み合わせてsin18°の値を求め、その結果を利用してcos18°・tan18°の値を導出しました。

求めた値をまとめると、次の通りです。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\sin 18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\cos 18^\circ=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \boxed{\tan18^\circ=\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}}
\end{eqnarray}

今回のポイントは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin54^\circ=\cos36^\circ
\end{eqnarray}

という関係に着目することです。

54°は18°の3倍、36°は18°の2倍なので、三倍角公式と倍角公式を組み合わせることで、sin18°についての方程式を作ることができます。

その方程式を解けばsin18°の厳密値が求まり、さらに三角関数の基本公式を利用することで、cos18°・tan18°の値も導出できます。

大切なのは、結果を丸暗記することではなく、「角度の関係からどの公式を組み合わせれば求められるのか」を理解することです。

また、今回求めた18°の三角比を使えば、倍角公式から36°の三角比を導出することもできます。

興味のある方は、以下の関連記事も参考にしてください。