【倍数判定法一覧】
2～11の倍数の見分け方と証明をわかりやすく解説

任意の正の整数は、十の位以上の部分を表す整数を \(a\)、一の位の数字を \(b\) とすると、次のように表せます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10a+b
\end{eqnarray}

ここで、\(10a\) は必ず2の倍数です。

したがって、元の数が2の倍数かどうかは、残った一の位の数字 \(b\) が2の倍数かどうかだけで決まります。

一の位の数字のうち2の倍数は、0・2・4・6・8です。

よって、2の倍数判定法が成立します。

5桁の整数を例に考えます。

各桁の数字を左から \(a, b, c, d, e\) とすると、この整数は次のように表せます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000a+1000b+100c+10d+e
\end{eqnarray}

ここで、10000・1000・100・10を、それぞれ「3の倍数＋1」の形に変形します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000&=&3 \times 3333+1 \\
\displaystyle 1000&=&3 \times 333+1 \\
\displaystyle 100&=&3 \times 33+1 \\
\displaystyle 10&=&3 \times 3+1
\end{eqnarray}

これらを元の整数に代入して整理すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000a+1000b+100c+10d+e=\color{red}{\underset{①}{\underline{\color{black}{3(3333a+333b+33c+3d)}}}}+\color{red}{\underset{②}{\underline{\color{black}{a+b+c+d+e}}}}
\end{eqnarray}

右辺の第一項（項①）は必ず3の倍数です。

そのため、元の整数が3の倍数であることと、各桁の数字の和 \(a+b+c+d+e\) （項②）が3の倍数であることは同値です。

今回は5桁で説明しましたが、桁数が増えても各位の \(10^n\) は「3の倍数＋1」と表せるため、同じ考え方が使えます。

5桁の整数を例に考えます。

各桁の数字を左から \(a, b, c, d, e\) とすると、この整数は次のように表せます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000a+1000b+100c+10d+e
\end{eqnarray}

ここで、10000・1000・100はそれぞれ4の倍数であるため、以下の形に変形できます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000a+1000b+100c+10d+e=\color{red}{\underset{①}{\underline{\color{black}{4(2500a+250b+25c)}}}}+\color{red}{\underset{②}{\underline{\color{black}{10d+e}}}}
\end{eqnarray}

右辺の第一項（項①）は必ず4の倍数です。

そのため、元の整数が4の倍数であることと、下2桁でできる数 \(10d+e\) （項②）が4の倍数であることは同値です。

今回は5桁で説明しましたが、桁数が増えても同じ考え方が使えます。

任意の正の整数は、十の位以上の部分を表す整数を \(a\)、一の位の数字を \(b\) とすると、次のように表せます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10a+b
\end{eqnarray}

ここで、\(10a\) は必ず5の倍数です。

一の位の数字のうち、5の倍数は"0"と"5"です。

よって、5の倍数判定法が成立します。

6は、2と3の積で表せます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 6=2\times3
\end{eqnarray}

2と3は互いに素なので、ある整数が2と3の両方で割り切れるなら、6でも割り切れます。

逆に、6の倍数は必ず2の倍数でも3の倍数でもあります。

したがって、「2の倍数かつ3の倍数」であることが、6の倍数の必要十分条件です。

ここでは、桁数にかかわらず成立することを説明します。

例えば、3桁ずつ区切った整数を右から \(A,B,C\) とすると、元の整数は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1000000C+1000B+A
\end{eqnarray}

と表せます。

ここで、1000は

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1000=7\times143-1
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

つまり、1000に1を加えた数である1001は、7の倍数であることがわかります。

また、1000000は

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1000000&=&1000^2 \\
\displaystyle &=&(7\times143-1)^2 \\
\displaystyle &=&(7\times143)^2-2(7\times143)+1
\end{eqnarray}

なので、1000000から1を引いた数である999999は7の倍数であることがわかります。

以上を踏まえ、元の整数を以下のように変形すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1000000C+1000B+A=(1000000-1)C+(1000+1)B+(A-B+C)
\end{eqnarray}

ここで、\(1000000−1=999999\) と \(1000+1=1001\) は、どちらも7の倍数です。

そのため、元の整数が7の倍数かどうかは、

\begin{eqnarray}
\displaystyle A-B+C
\end{eqnarray}

が7の倍数かどうかだけで決まります。

また、3桁のまとまりがさらに増えた場合でも、1000の累乗は「7の倍数＋1」と「7の倍数−1」の形が交互に現れます。

そのため、桁数が増えても、3桁ずつ区切った数を右から交互に足し引きすることで、7の倍数かどうかを判定できます。

任意の整数を、下3桁より上の部分を表す整数 \(a\) と、下3桁でできる数 \(b\) を使って表すと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1000a+b
\end{eqnarray}

となります。

ここで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1000a=8\times125a
\end{eqnarray}

なので、\(1000a\) は必ず8の倍数です。

したがって、元の数が8の倍数であることと、下3桁でできる数 \(b\) が8の倍数であることは同値です。

下3桁が「000」の場合も、0は8の倍数なので判定法に当てはまります。

5桁の整数を例に考えます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000a+1000b+100c+10d+e
\end{eqnarray}

各位の係数を「9の倍数＋1」に変形すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000&=&9 \times 1111+1 \\
\displaystyle 1000&=&9 \times 111+1 \\
\displaystyle 100&=&9 \times 11+1 \\
\displaystyle 10&=&9 \times 1+1
\end{eqnarray}

したがって、元の整数は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000a+1000b+100c+10d+e=9(1111a+111b+11c+d)+(a+b+c+d+e)
\end{eqnarray}

と変形できます。

右辺の第1項は必ず9の倍数です。

そのため、元の整数が9の倍数であることと、各桁の数字の和が9の倍数であることは同値です。

この考え方は、桁数が増えても同じように成立します。

任意の整数を、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10a+b
\end{eqnarray}

と表します。

\(10a\) は必ず10の倍数なので、元の数が10の倍数かどうかは、一の位の数字 \(b\) だけで決まります。

一の位の数字で10の倍数になるのは0だけです。

よって、10の倍数判定法が成立します。

まず、10は次のように表せます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10=11-1
\end{eqnarray}

つまり、10は「11の倍数から1を引いた数」になっています。

さらに、100、1000、10000についても、次のように「11の倍数に1を足した数」または「11の倍数から1を引いた数」として表すことができます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10&=&11-1 \\
\displaystyle 100&=&99+1 \\
\displaystyle 1000&=&1001-1 \\
\displaystyle 10000&=&9999+1
\end{eqnarray}

ここで、11、99、1001、9999はいずれも11の倍数です。

つまり、10、100、1000、10000……は、「11の倍数−1」と「11の倍数＋1」が交互に現れるという特徴があります。

この性質を使って、5桁の整数

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000a+1000b+100c+10d+e
\end{eqnarray}

について考えてみましょう。

先ほど確認した関係を使うと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 10000a+1000b+100c+10d+e&=&(9999+1)a+(1001-1)b+(99+1)c+(11-1)d+e \\
\displaystyle &=&\color{red}{\underset{11の倍数}{\underline{\color{black}{9999}}}}a+\color{red}{\underset{11の倍数}{\underline{\color{black}{1001}}}}b+\color{red}{\underset{11の倍数}{\underline{\color{black}{99}}}}c+\color{red}{\underset{11の倍数}{\underline{\color{black}{11}}}}d+(\color{red}{\underset{①}{\underline{\color{black}{a-b+c-d+e}}}})
\end{eqnarray}

となるため、元の整数が11の倍数かどうかは、項①が11の倍数かどうかで判断できます。

つまり、各桁の数字を交互に足し引きした結果が11の倍数であれば、元の数も11の倍数になるというわけです。

また、桁数が増えても、10、100、1000、10000……は「11の倍数−1」と「11の倍数＋1」が交互に現れます。

そのため、この判定方法は桁数が増えた場合でも同じように利用できます。

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