方べきの定理とは？公式の覚え方・
使い方・証明をわかりやすく解説

数学Aで円の性質を学習すると、「方べきの定理」という公式が登場します。

方べきの定理は、円と直線の交点について、線分の長さの積が等しくなることを表す定理です。

例えば、円の内部で2本の弦 \(AB\)、\(CD\) が点 \(P\) で交わるとき、

\[ \color{red}{PA\cdot PB=PC\cdot PD} \]

という関係が成り立ちます。

この定理を使えば、円に関する図形問題で、未知の線分の長さを簡単に求められることがあります。

しかし、

「方べきの定理にはどのような公式があるのか？」

「3つのパターンをどう覚えればよいのか？」

「なぜ線分の長さの積が等しくなるのか？」

と疑問に思う方もいるのではないでしょうか。

この記事では、方べきの定理の3つの公式と覚え方を紹介した後、具体的な例題を使って解き方を解説します。

さらに、三角形の相似を利用して、方べきの定理が成り立つ理由も証明します。

1. 方べきの定理とは？

方べきの定理とは、円と直線の交点について、ある点からの距離の積が一定になることを表す定理です。

方べきの定理には、主に次の3つのパターンがあります。

1.1 円の内部で2本の弦が交わる場合

円の内部に点 \(P\) があり、2本の弦 \(AB\)、\(CD\) が点 \(P\) で交わるとします。

このとき、次の関係が成り立ちます。

\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]

つまり、点 \(P\) から同じ弦の両端までの距離を掛けると、どちらの弦でも同じ値になります。

1.2 円の外部から2本の割線を引く場合

次に、円の外部から2本の割線を引く場合を考えます。

割線とは、円と異なる2点で交わる直線のことです。

円の外部に点 \(P\) があり、点 \(P\) から引いた2本の割線が、円とそれぞれ点 \(A,B\)、点 \(C,D\) で交わるとします。

ただし、点の並び順は \(P,A,B\) および \(P,C,D\) とします。

このときも、

\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]

が成り立ちます。

円の内部と外部では図形の形が異なりますが、公式は同じです。

1.3 円の外部から接線を引く場合

円の外部に点 \(P\) があり、点 \(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\)、割線と円の交点を \(A,B\) とします。

ただし、円の中心を点 \(O\)、点の並び順は \(P,A,B\) とします。

このとき、

\[ PT^2=PA\cdot PB \]

が成り立ちます。

接線の場合は、接点までの距離の2乗になることが特徴です。

2. 方べきの定理の覚え方

方べきの定理には3つのパターンがありますが、別々の公式として丸暗記する必要はありません。

覚えるポイントは、「2本の直線の交点 \(P\) から、それぞれの直線と円が交わる2点までの距離を掛け合わせると、その値が等しくなる」ということです。

円の内部・外部のどちらでも、

\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]

という関係が成り立ちます。

また、接線の場合は、接点 \(T\) を重なった2つの交点と考えることで、

\[ PA\cdot PB=PT\cdot PT=PT^2 \]

と覚えられます。

つまり、3つの公式はすべて、「交点 \(P\) を基準に、円との交点までの距離の積を考える」という共通した考え方で理解できます。

3. 方べきの定理の使い方

この章では、3つのパターンについて、具体的な例題を解いてみましょう。

3.1 円の内部で交わる場合

解答

方べきの定理より、

\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]

なので、

\[ 3\cdot8=4\cdot PD \]

\[ PD=6 \]

したがって、答えは \(6\) です。

3.2 円の外部から2本の割線を引く場合

解答

\[ PB=PA+AB=8 \]

方べきの定理より、

\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]

\[ 3\cdot8=4(4+CD) \]

\[ 24=16+4CD \]

\[ CD=2 \]

したがって、答えは \(2\) です。

3.3 接線がある場合

解答

方べきの定理より、

\[ PT^2=PA\cdot PB \]

\[ PT^2=4\cdot9=36 \]

\(PT\) は線分の長さなので正の値を取り、

\[ PT=6 \]

したがって、答えは \(6\) です。

4. 方べきの定理の証明

ここでは、三角形の相似を利用して、方べきの定理を証明します。

4.1 円の内部で2本の弦が交わる場合

円の内部で弦 \(AB\)、\(CD\) が点 \(P\) で交わるとします。

三角形 \(PAC\) と三角形 \(PDB\) に注目します。

円周角の定理より、

\[ \angle PAC=\angle PDB \]

また、対頂角より、

\[ \angle APC=\angle DPB \]

したがって、2組の角がそれぞれ等しいので、

\[ \triangle PAC\sim\triangle PDB \]

相似比より、

\[ \frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB} \]

両辺を整理すると、

\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]

よって、方べきの定理が証明できました。

4.2 円の外部から2本の割線を引く場合

点 \(P\) から2本の割線を引き、円との交点をそれぞれ \(A,B\)、\(C,D\) とします。

ただし、点の並び順は \(P,A,B\) および \(P,C,D\) とします。

三角形 \(PAC\) と三角形 \(PDB\) に注目します。

円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) なので、

\[ \angle BAC+\angle BDC=180^\circ \]

また、点 \(P,A,B\) は一直線上にあるため、

\[ \angle PAC+\angle BAC=180^\circ \]

したがって、

\[ \color{red}{\angle PAC}=180^\circ-\angle BAC=\angle BDC=\color{red}{\angle PDB} \]

となります。

また、点 \(P\) における角は共通なので、

\[ \color{red}{\angle APC}=\color{red}{\angle DPB} \]

したがって、

\[ \triangle PAC\sim\triangle PDB \]

相似比より、

\[ \frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB} \]

よって、

\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]

が成り立ちます。

4.3 円の外部から接線を引く場合

点 \(P\) から円に接線 \(PT\) と割線 \(PAB\) を引きます。

三角形 \(PTA\) と三角形 \(PBT\) に注目します。

接弦定理より、

\[ \angle PTA=\angle PBT \]

また、点 \(P\) における角は共通なので、

\[ \angle TPA=\angle BPT \]

したがって、

\[ \triangle PTA\sim\triangle PBT \]

相似比より、

\[ \frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT} \]

両辺を整理すると、

\[ PT^2=PA\cdot PB \]

よって、接線を含む場合についても、方べきの定理が証明できました。

5. 方べきの定理の逆

方べきの定理には逆も成り立ちます。

異なる2直線が点 \(P\) で交わり、一方の直線上に点 \(A,B\)、もう一方の直線上に点 \(C,D\) があるとします。

ただし、点 \(P\) は、両方の線分 \(AB,CD\) の内部にあるか、両方の線分の外部にあるものとします。

このとき、

\[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \]

が成り立てば、4点 \(A,B,C,D\) は同一円周上にあります。

つまり、方べきの定理の逆を利用すると、4点が同一円周上にあることを示せます。

まとめ

この記事では、方べきの定理の3つの公式と覚え方、使い方、証明について解説しました。

方べきの定理をまとめると、次のようになります。

パターン	公式
円の内部で2本の弦が交わる	\(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
円の外部から2本の割線を引く	\(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
円の外部から接線を引く	\(PT^2=PA\cdot PB\)

方べきの定理は、円に関する図形問題で、線分の長さを求める際に役立つ定理です。

3つの公式を別々に暗記するのではなく、同じ直線上の交点までの距離の積に注目すると、理解しやすくなります。

また、三角形の相似を利用することで、公式が成り立つ理由も説明できます。