本記事では、以下の微分公式の証明・導出を行っていきたいと思います。
本記事で証明する微分公式
①積の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\end{eqnarray}
② \(x^n\) の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^n\right)' = nx^{n-1}
\end{eqnarray}
③定数の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(k\right)' = 0
\end{eqnarray}
④定数倍の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{kf(x)\}' = kf'(x)
\end{eqnarray}
⑤和・差の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)+g(x)\}' = f'(x)+g'(x) \\
\displaystyle \{f(x)-g(x)\}' = f'(x)-g'(x)
\end{eqnarray}
※上記①～⑤において、\(f(x), g(x)\) は関数、\(k\) は定数として扱っている。
※また本記事では②について、\(n\) が自然数の場合に限定して証明を行う。
①から順番に証明していきますが、まず最初に以下の導関数の定義式
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag{1}\\
\end{eqnarray}
を利用します。
「この式自体がそもそもよくわからないよ！」という方は、こちらの記事から先に参照いただいた方が理解しやすいかと思いますので、よろしければ覗いてみて下さい！
■積の微分公式の証明
\(F(x):=f(x)g(x)\) と定義し、(1)式を用いて \(F(x)\) を微分してみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \tag{2}\\
\end{eqnarray}
となります。(2)式で、\(F(x)\) を \(f(x)g(x)\) に戻すと、\(F(x+h)=f(x+h)g(x+h)\) となることに注意して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)g(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)\color{red}{+f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x)}-f(x)g(x)}{h} \tag{3}\\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\{g(x+h)-g(x)\}+g(x)\{f(x+h)-f(x)\}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left(\color{purple}{\underset{h \to 0 で f(x)}{\underline{\color{black}{f(x+h)}}}}・\color{purple}{\underset{(1)式より、h \to 0 で g'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}}+g(x)・\color{purple}{\underset{(1)式より、h \to 0 で f'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}}\right) \\
\displaystyle &=& f(x)g'(x)+g(x)f'(x)
\end{eqnarray}
以上より、積の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \tag{4}
\end{eqnarray}
が証明できた。
ポイントは(3)式において、赤文字で示した項を思いつけるかどうかですね。
この２つの項は足して 0 になるため一見意味のないような操作に見えますが、これを加えて考えることで積の微分公式が綺麗に証明できるようになるのです！
■ \(x^n\) の微分公式の証明（※\(n\) が自然数の場合）
数学的帰納法を利用して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^n\right)' = nx^{n-1} \tag{5}
\end{eqnarray}
となることを証明していきます。
(i) \(n=1\) のとき
つまり、\(x\) の微分がどうなるか、ってことですね。
これは素直に \(f(x)=x\) として、(1)式を利用すればよいでしょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-x}{h} \\
\displaystyle &=& 1 \\
\end{eqnarray}
実際に(5)式で \(n=1\) として計算してみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^1\right)' = 1x^{1-1} = x^0 = 1
\end{eqnarray}
となり、確かに \(n=1\) の時に(5)式が成立することが確認できる。
(ii) \(n=k\) のとき
この時、(5)式が成立すると仮定します。つまり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^k\right)' = kx^{k-1} \tag{6}
\end{eqnarray}
は成立するものと仮定して、次の(iii)の時に成立するかどうか確認します。
(iii) \(n=k+1\) のとき
ここでやることとしては、(5)式の左辺に \(n=k+1\) を代入して計算してみて、
その結果が(5)式右辺において \(n \to k+1\) に置き換わったものになることを確かめればOKです。
ポイントとしては、\(x^{k+1}=x・x^k\) と考え、積の微分公式(4)を利用することです。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(x^{k+1}\right)' &=& \left(x・x^k\right)' \\
\displaystyle &=& (x)'・x^k+x・(x^k)' \\
\displaystyle &=& 1・x^k+x・kx^{k-1} \\
\displaystyle &=& x^k+kx^k \\
\displaystyle &=& (k+1)x^k \tag{7}\\
\end{eqnarray}
(7)式の右辺は、(5)式の右辺において \(n \to k+1\) に置き換えたものと一致しました。
ゆえに、\(n=k\) の時成立すると仮定した場合、\(n=k+1\) の時成立します。
(i)～(iii) より、\(x^n\) の微分公式(5)式が証明できた。
実は、(5)式は \(n\) が自然数の時だけではなく、有理数の時にも成立します。
しかし、ここではその証明まではできていません。
余裕があれば、別記事等で紹介できればと思っています。
■定数の微分公式の証明
この証明はとても単純で、\(f(x)=k\) とおくと \(f(x+h)=k\) なので、これを(1)式の右辺に代入すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \color{red}{\frac{k-k}{h}} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} 0 \\
\displaystyle &=& 0 \tag{8}\\
\end{eqnarray}
となるので、これより定数の微分公式
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = (k)' = 0
\end{eqnarray}
が証明できた。
(8)式を導出する過程で、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \color{red}{\frac{0}{h}}
\end{eqnarray}
となる部分が出てきました。
これが出た時、私は「あれ？これって分子も分母も 0 になっちゃうのでは？」と思い、少し止まってしまったのですが、\(h\) はあくまでも 0 ではなく、『メチャクチャ 0 に近づけるだけ』という意味でしたね。一方、分子の 0 は正真正銘完全に 0 のため、上記計算で特に問題はなさそうであると納得しました。
■定数倍の微分公式の証明
\(F(x):=kf(x)\) と定義し、(1)式を用いて \(F(x)\) を微分してみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \tag{2}\\
\end{eqnarray}
となります。(2)式で、\(F(x)\) を \(kf(x)\) に戻すと、\(F(x+h)=kf(x+h)\) となることに注意して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{kf(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{kf(x+h)-kf(x)}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} k・\color{purple}{\underset{h \to 0 で f'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}} \\
\displaystyle &=& kf'(x) \\
\end{eqnarray}
以上より、定数倍の微分公式が証明できた。
■和・差の微分公式の証明
\(F(x):=f(x)+g(x)\) と定義し、(1)式を用いて \(F(x)\) を微分してみると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \tag{2}\\
\end{eqnarray}
となります。(2)式で、\(F(x)\) を \(f(x)+g(x)\) に戻すと、\(F(x+h)=f(x+h)+g(x+h)\) となることに注意して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)+g(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-\{f(x)+g(x)\}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[\color{purple}{\underset{h \to 0 で f'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}}+\color{purple}{\underset{h \to 0 で g'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}}\right] \\
\displaystyle &=& f'(x)+g'(x) \\
\end{eqnarray}
以上より、和の微分公式が証明できた。
また同様に、\(F(x):=f(x)-g(x)\) と定義し(2)式を利用すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)-g(x)\}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-g(x+h)-\{f(x)-g(x)\}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \left[\color{purple}{\underset{h \to 0 で f'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}}-\color{purple}{\underset{h \to 0 で g'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}}\right] \\
\displaystyle &=& f'(x)-g'(x) \\
\end{eqnarray}
以上より、差の微分公式が証明できた。
■まとめ：全ては導関数の定義式から！
今回は基本的な微分公式について証明を行ってみました。
特に皆さんが利用するのはおそらく \(x^n\) の微分公式 の証明ですよね。
本記事では数学的帰納法を用いて証明を行いましたが、実は二項定理を用いてもこの公式の証明は簡単にできます。
もし数学に自信がある方は、是非挑戦してみて下さい。
また機会がありましたが、他の微分公式についても証明していきたいと思っていますので、一旦はこのあたりで勘弁して下さい。
では、さらば！