【商・合成関数・べき関数の微分公式】
わかりやすく丁寧に証明！

本記事では、以下の微分公式の証明・導出を行っていきたいと思います。

■商の微分公式の証明①

まず、以下の式について証明していきます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{1}{g(x)}\right)' &=& -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2} \tag{1}
\end{eqnarray}

証明には、以下の導関数の定義式を利用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag{2}\\
\end{eqnarray}

(2)式において、\(f(x):=\dfrac{1}{g(x)}\) と定義して代入してみると、\(f(x+h):=\dfrac{1}{g(x+h)}\) であることに注意して、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{1}{g(x)}\right)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{g(x)-g(x+h)}{h・g(x)・g(x+h)} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} -\color{purple}{\underset{h \to 0 で g'(x)}{\underline{\color{black}{\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)}}}}・\frac{1}{g(x)}・\color{purple}{\underset{h \to 0 で \frac{1}{g(x)}}{\underline{\color{black}{\frac{1}{g(x+h)}}}}} \\
\displaystyle &=& -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}

以上より、(1)式が証明できた。

■商の微分公式の証明②

次に、以下の式について証明していきます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &=& \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \tag{3}
\end{eqnarray}

これは実はシンプルで、\(\dfrac{f(x)}{g(x)}=f(x)・\dfrac{1}{g(x)}\) として、【積の微分公式】を利用すればOKです。すなわち、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &=& \left(f(x)・\frac{1}{g(x)}\right)' \\
\displaystyle &=& f'(x)・\frac{1}{g(x)}+f(x)・\color{purple}{\underset{= -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}{\underline{\color{black}{\left(\frac{1}{g(x)}\right)'}}}} \\
\displaystyle &=& \frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\
\displaystyle &=& \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\
\end{eqnarray}

以上より、(3)式が証明できた。

■【補足】合成関数って何？

次の【合成関数の微分公式】の証明に行く前に、「そもそも合成関数って何だっけ？」という方もいるかと思いますので、合成関数について簡単に説明してからにしたいと思います。

以下のような2式について考えて見ます。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y = u^2+2u+1 \tag{4} \\
u = 2x+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

見てわかる通り、\(y\) は \(u\) の関数で表されており、\(u\) は \(x\) の関数で表されています。

このことをわかりやすく表現するため、\(y := f(u)\) 、\(u := g(x)\) として、(4)式は

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(u) = u^2+2u+1 \tag{5} \\
g(x) = 2x+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

と表現されるのが一般的です。

(5)式の上方の式についてですが、この \(f(\color{red}{u})\) は \(u := g(x)\) であることから、\(f(\color{red}{g(x)})\) とも表現できます。

このようにして表現される\(f(g(x))\) を、\(f(x)\) と \(g(x)\) の合成関数と言います。

さて、ここで本題です。

『\(f(g(x))\) を \(x\) で微分せよ』

と言われたら、皆さんどうしますか？

これの解法としては、(4)の下方の式を上方の式に代入して \(u\) を消去し、\(y\) を \(x\) の関数として表現します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle y &=& u^2+2u+1 \\
\displaystyle &=& (2x+1)^2+2(2x+1)+1 \\
\displaystyle &=& 4x^2+4x+1+4x+2+1 \\
\displaystyle &=& 4x^2+8x+4 \tag{6}\\
\end{eqnarray}

この \(y\) は先ほど述べたように \(f(g(x))\) で表現可能ですので、(6)式は

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(g(x)) &=& 4x^2+8x+4 \tag{7}\\
\end{eqnarray}

となります。そして(7)式を \(x\) で微分すると

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(g(x)) &=& 8x+8 \tag{8}
\end{eqnarray}

となり、これが『\(f(g(x))\) を \(x\) で微分せよ』の回答となります。

(6)～(8)式までの流れは、【合成関数の微分公式】を利用しないパターンの解法です。

以下で証明する【合成関数の微分公式】を利用することで、(5)式から一気に解くことができます。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d}{dg(x)}f(g(x)) = 2u+2 \tag{9} \\
\displaystyle g'(x) = 2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

(9)の2式の積が \(f(g(x))\) となるので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(g(x)) &=& \frac{d}{dg(x)}f(g(x))・g'(x) \\
\displaystyle &=& (2u+2)・2 \\
\displaystyle &=& 4u+4 \\
\displaystyle &=& 4(2x+1)+4 \\
\displaystyle &=& 8x+8 \tag{10}\\
\end{eqnarray}

となり、【合成関数の微分公式】を利用して求めた(10)式の回答と、利用せずに求めた(8)式の回答が一致していることが確認できました。

■合成関数の微分公式の証明（簡易版）

まずは一旦、証明したい式を眺めて見ましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(g(x)) &=& \frac{d}{dg(x)}f(g(x))・g'(x) \tag{11}
\end{eqnarray}

今更ですが、(11)式左辺の \(f'(g(x))\) や、右辺の \(g'(x)\) についてる「\('\)」とは、『\(x\) で微分すること』を意味しています。

そのことをわかりやすく表現するため、\(f'(g(x))=\dfrac{d}{dx}f(g(x))\)、 \(g'(x)=\dfrac{dg(x)}{dx}\) と書くことにすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \dfrac{d}{dx}f(g(x)) &=& \frac{d}{dg(x)}f(g(x))・\dfrac{dg(x)}{dx} \tag{12}
\end{eqnarray}

ここで(12)式の右辺を分数の掛け算のように考えると、\(dg(x)\) が約分されて消え、左辺と一致します。

■合成関数の微分公式の証明（完全版）

上の【合成関数の微分公式の証明（簡易版）】で納得できない方向けに、一応完全版も用意しておきます。

例によって、(2)式の導関数の定義式から証明を始めていきます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(g(x)) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{\color{red}{g(x+h)-g(x)}}・\frac{\color{red}{g(x+h)-g(x)}}{h} \tag{13}\\
\end{eqnarray}

ここで、\(j:=g(x+h)-g(x)\) と定義すると、\(g(x+h)=g(x)+j\) であるため、(13)式は

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(g(x)) &=& \lim_{h \to 0} \color{purple}{\underset{h \to 0 で j \to 0 のため \frac{d}{dg(x)}f(g(x))}{\underline{\color{black}{\frac{f(g(x)+j)-f(g(x))}{j}}}}}・\color{purple}{\underset{h \to 0 で\frac{dg(x)}{dx}=g'(x)}{\underline{\color{black}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}} \tag{14} \\
\displaystyle &=& \frac{d}{dg(x)}f(g(x))・g'(x) \tag{15}
\end{eqnarray}

となり、(11)式の証明ができる。

■ \(x^n\) の微分公式の証明（\(n\) が負の整数の場合の証明）

まずは \(f(x)\) を以下のように定義します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) = x^n \tag{16}
\end{eqnarray}

ただし、ここでは \(n\) は負の整数として考えます。

負の整数 \(n\) のままでは考えづらいため、\(m:=-n\) として定義すると、\(m\) は正の整数となるので、これを利用して(16)式を変形していくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) &=& x^n \\
\displaystyle &=& x^{-m} \\
\displaystyle &=& \frac{1}{x^m} \tag{17}\\
\end{eqnarray}

となるので、先ほど証明した【商の微分公式】を利用して(17)式を微分すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \left(\frac{1}{x^m}\right)' &=& -\frac{(x^m)'}{(x^m)^2} \\
\displaystyle &=& -\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} \\
\displaystyle &=& -mx^{m-1-2m} \\
\displaystyle &=& -mx^{-m-1} \tag{18} \\
\end{eqnarray}

と導出できるので、最後に(18)式において \(m\) を \(n\) に戻してやると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \left(x^n\right)' &=& nx^{n-1} \tag{19}\\
\end{eqnarray}

となり、\(n\) が負の整数の場合にも(19)式が成立することが証明できる。

■ \(x^n\) の微分公式の証明（\(n\) が有理数の場合の証明）

先ほどと同様、\(f(x)\) を以下のように定義します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) = x^n \tag{16}
\end{eqnarray}

ただし今回は先ほどと異なり、 \(n\) は有理数として考えます。

任意の有理数は整数 \(a, b\) を用いて、分数 \(\dfrac{a}{b}\) で表現できるため、\(n=\dfrac{a}{b}\) として(16)式に代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) = x^{\frac{a}{b}} \tag{20}
\end{eqnarray}

となる。(20)式の両辺を \(b\) 乗すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \{f(x)\}^b = x^a \tag{21}
\end{eqnarray}

となるため、この式の両辺を \(x\) で微分すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle b\{f(x)\}^{b-1}・f'(x) = ax^{a-1} \tag{22}
\end{eqnarray}

となる。

そして(22)式を \(f'(x)\) について解くと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& \frac{ax^{a-1}}{b\{f(x)\}^{b-1}} \\
\displaystyle &=& \frac{a}{b}・\frac{x^{a-1}}{\{f(x)\}^{b-1}}・\color{red}{\frac{f(x)}{f(x)}} \\
\displaystyle &=& \frac{a}{b}・\frac{x^{a-1}}{\{f(x)\}^b}・f(x) \\
\displaystyle &=& \frac{a}{b}・x^{a-1-a+\frac{a}{b}} \\
\displaystyle &=& \frac{a}{b}x^{\frac{a}{b}-1} \tag{23} \\
\end{eqnarray}

と導出できるので、最後に(23)式において \(\frac{a}{b}\) を \(n\) に戻してやると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) &=& nx^{n-1} \\
\end{eqnarray}

となるので、\(n\) が有理数の場合にも(19)式が成立することが証明できる。

■まとめ：\(x^n\) の微分公式の証明が意外とラスボス

本記事とこちらの記事で、一通り基本的な微分公式の証明はできました。

一通り記事執筆してきた私の感想としては、「【\(x^n\) の微分公式】って色々な微分公式を使って証明するんだなぁ」という感じですね。

多分みなさんが一番理解しやすい微分公式がこの【\(x^n\) の微分公式】だと思うんですが、この公式の証明のためには【商の微分公式】だったり【合成関数の微分公式】を利用する必要があったため、一筋縄では行かないんだなぁ、と感じました。

またどこかのタイミングで、他の微分公式の証明に関する記事執筆を行っていく予定です。予定は未定です。

本記事を最後までお読みいただき、ありがとうございました。