39°は、30°や45°、60°などの特殊角とは異なり、三角比の値をそのまま求めることはできません。
しかし、39°は
\begin{eqnarray}
\displaystyle 39^\circ &=& 30^\circ+9^\circ
\end{eqnarray}
と表すことができます。
30°と9°の三角比が分かっていれば、三角比の加法定理を利用することで、39° の sin、cos、tan の値を求めることができます。
この記事では、39° を 30°＋9° と考え、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin39^\circ, \ \cos39^\circ, \ \tan39^\circ
\end{eqnarray}
の値を加法定理を使ってそれぞれ導出していきます。
また、最後には求めた値が正しいかどうかを確認し、39°の三角比をまとめます。
本記事で求める sin39°、cos39°、tan39° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 39^\circ &=& \frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{24-6\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{8} \\
\displaystyle \cos 39^\circ &=& \frac{\sqrt{24+6\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{8} \\
\displaystyle \tan 39^\circ &=& \frac{(7+2\sqrt{15}-3\sqrt{5}-4\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}+4-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}{2}
\end{eqnarray}
■sin39°、cos39°、tan39° を求める方針
冒頭でも軽く触れた通り、本記事では \(39^\circ=30^\circ+9^\circ\) であることを利用し、加法定理を用いて導いていきます。
本記事では、sin30°、cos30°、tan30° の値は既知の情報として取り扱っています。
この辺りの知識が怪しい方は、以下記事にて三角関数の基本知識をまとめておりますので、事前に立ち寄ることをおススメ致します！
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■加法定理の復習
本記事では以下の三角関数の加法定理を利用して sin39°、cos39°、tan39° を求めていきます。
三角関数の加法定理（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha+\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
上記公式は以下記事にて導出・証明についてまとめているので、興味ある方は是非お立ち寄りください。
「そういえば、加法定理って何故成立するんだっけ？」という方におススメの記事となっています！
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■ sin9°、cos9°、tan9° の値の確認
sin39°、cos39°、tan39° の値を求めるための前提情報として、sin9°、cos9°、tan9° の値を確認しておきます。
別記事で求めた sin9°、cos9°、tan9° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 9^\circ &=& \sqrt{\frac{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}} \\
\displaystyle \cos 9^\circ &=& \sqrt{\frac{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}} \\
\displaystyle \tan 9^\circ &=& \sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}
\end{eqnarray}
上記の値については以下記事にて既に導出済みのため、これを利用します。
「なんでこの値になるの？」と疑問に思う方は、以下の別記事で詳しくまとめていますので、よろしければお立ち寄り下さい。
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sin9°・cos9°・tan9°の値の求め方｜
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■ sin39° の導出
上で確認した加法定理、および、30° と 9° の時の三角関数の値を利用して、sin39° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 39^\circ &=& \sin (30^\circ+9^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 30^\circ \cos 9^\circ+\cos 30^\circ \sin 9^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{12-3\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{24-6\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{8}
\end{eqnarray}
■ cos39° の導出
同様に、加法定理を利用して cos39° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 39^\circ &=& \cos (30^\circ+9^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 30^\circ \cos 9^\circ-\sin 30^\circ \sin 9^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{12+3\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{24+6\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{8}
\end{eqnarray}
■ tan39° の導出
同様に、加法定理を利用して tan39° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 39^\circ &=& \frac{\tan 30^\circ+\tan 9^\circ}{1-\tan 30^\circ \tan 9^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}})} \\
\displaystyle &=& \frac{1+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}})}{\sqrt{3}-(\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}})} \\
\displaystyle &=& \frac{1+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}})}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-\sqrt{3}+1)} \cdot \color{red}{\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-\sqrt{3}+1)}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-\sqrt{3}+1)}} \\
\displaystyle &=& \frac{(1+\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{5+2\sqrt{5}})(\sqrt{5+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-\sqrt{3}+1)}{2(\sqrt{3}+\sqrt{15})-4} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{5+2\sqrt{5}}-2-2\sqrt{5}}{2(\sqrt{3}+\sqrt{15})-4} \\
\displaystyle &=& \frac{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}-1-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{15}-2} \cdot \color{red}{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}+2}{\sqrt{3}+\sqrt{15}+2}} \\
\displaystyle &=& \frac{2(\sqrt{15}+\sqrt{3}+2)\sqrt{5+2\sqrt{5}}-6\sqrt{3}-2\sqrt{15}-2\sqrt{5}-2}{14+6\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{(\sqrt{15}+\sqrt{3}+2)\sqrt{5+2\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{5}-1}{7+3\sqrt{5}} \cdot \color{red}{\frac{7-3\sqrt{5}}{7-3\sqrt{5}}}\\
\displaystyle &=& \frac{(4\sqrt{15}-8\sqrt{3}-6\sqrt{5}+14)\sqrt{5+2\sqrt{5}}-6\sqrt{3}+2\sqrt{15}-4\sqrt{5}+8}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{(7+2\sqrt{15}-3\sqrt{5}-4\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}+4-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}{2} \\
\end{eqnarray}
■結果まとめと値の確認
三角関数の加法定理を利用することで、sin39°、cos39°、tan39° の値は以下の通り求めることができました。
先ほど求めた sin39°、cos39°、tan39° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 39^\circ &=& \frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{24-6\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{8} \tag{1} \\ \\
\displaystyle \cos 39^\circ &=& \frac{\sqrt{24+6\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{8} \tag{2} \\ \\
\displaystyle \tan 39^\circ &=& \frac{(7+2\sqrt{15}-3\sqrt{5}-4\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}+4-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}{2} \tag{3}
\end{eqnarray}
これらの値が正しい値かどうか、他サイトの三角関数表を参照しつつ確認してみましょう。
筆者が電卓を用いて計算した結果を以下に記載していきます。
計算結果の小数第6位までを利用して計算していくこととします。
sin39° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 39^\circ &=& \frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{24-6\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2 \times 2.236067}}+\sqrt{24-6\sqrt{10+2 \times 2.236067}}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{8+2 \times 3.804225}+\sqrt{24-6 \times 3.804225}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{15.60845}+\sqrt{1.17465}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{3.950753+1.083812}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{5.034565}{8} \\
\displaystyle &≒& 0.629320 \tag{4}
\end{eqnarray}
cos39° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 39^\circ &=& \frac{\sqrt{24+6\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{24+6\sqrt{10+2 \times 2.236067}}-\sqrt{8-2\sqrt{10+2 \times 2.236067}}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{\sqrt{24+6 \times 3.804225}-\sqrt{8-2 \times 3.804225}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{46.82535}-\sqrt{0.39155}}{8} \\
\displaystyle &≒& \frac{6.842905-0.625739}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{6.217166}{8} \\
\displaystyle &≒& 0.777145 \tag{5}
\end{eqnarray}
tan39° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 39^\circ &=& \frac{(7+2\sqrt{15}-3\sqrt{5}-4\sqrt{3})\sqrt{5+2\sqrt{5}}+4-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}{2} \\
\displaystyle &≒& \frac{(7+2 \times 3.872983-3 \times 2.236067-4 \times 1.732050)\sqrt{5+2 \times 2.236067}+4-3 \times 1.732050-2 \times 2.236067+3.872983}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{(14.745966-6.708201-6.9282)\sqrt{9.472134}+4-5.19615-4.472134+3.872983}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{1.109565 \times 3.077683-1.795301}{2} \\
\displaystyle &≒& \frac{1.619588}{2} \\
\displaystyle &=& 0.809794 \tag{6}
\end{eqnarray}
他サイト様でまとめている三角関数表の値との比較
以下の他サイト様でまとめている三角関数表を参考に、上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか確認します。
上記サイト内では、sin39°、cos39°、tan39° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。
他サイト様が公表している sin39°、cos39°、tan39° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 39^\circ &=& 0.6293 \\
\displaystyle \cos 39^\circ &=& 0.7771 \\
\displaystyle \tan 39^\circ &=& 0.8098
\end{eqnarray}
(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。
■まとめ
今回は、三角比の加法定理を利用して、sin39°、cos39°、tan39°の値を求めました。
正直、３重根号の形が出てきてあまりキレイな形にはなりませんでしたが、最終的に厳密値が合ってそうなので良しとします。
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