sin24°・cos24°・tan24°の値と求め方｜
倍角公式で厳密値を導出

\(\sin24^\circ\)、\(\cos24^\circ\)、\(\tan24^\circ\) の値は、30°や45°のような有名角と比べると、一見求めにくそうに見えます。

しかし、\[ 24^\circ=2\times12^\circ \]

と考えて三角関数の倍角公式を使うことで、正確な値（厳密値）を求めることができます。

結論からいうと、\begin{eqnarray} \displaystyle \sin24^\circ &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\ \displaystyle \cos24^\circ &=& \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} \\ \displaystyle \tan24^\circ &=& \frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2} \end{eqnarray}

となります。

本記事では、これらの値がどのようにして得られるのか、途中式を省略せずに順番に導出していきます。

1. sin24°・cos24°・tan24°を求める方針

冒頭でも触れた通り、本記事では\[ 24^\circ=2\times12^\circ \]

であることを利用し、三角関数の倍角公式を使って値を求めていきます。

具体的には、\[ \sin24^\circ=\sin(2\times12^\circ) \]\[ \cos24^\circ=\cos(2\times12^\circ) \]

と考えることで、\(\sin12^\circ\)、\(\cos12^\circ\) の値から求めることができます。

また、\(\tan24^\circ\) については、\[ \tan24^\circ = \frac{\sin24^\circ}{\cos24^\circ} \]

を利用して求めます。

2. 24°＝2×12°として倍角公式を使う

まずは、今回使用する三角関数の倍角公式を確認しておきましょう。

三角関数の倍角公式は、\begin{eqnarray} \displaystyle \sin2\theta &=& 2\sin\theta\cos\theta \\ \displaystyle \cos2\theta &=& 2\cos^2\theta-1 \end{eqnarray}

です。

したがって、\(\theta=12^\circ\) とすれば、\begin{eqnarray} \displaystyle \sin24^\circ &=& 2\sin12^\circ\cos12^\circ \\ \displaystyle \cos24^\circ &=& 2\cos^212^\circ-1 \end{eqnarray}

となります。

3. sin12°・cos12°の値を確認

sin24°・cos24°を求めるために必要となる、sin12°・cos12°の値を確認しておきましょう。

先ほど紹介した記事で導出した結果から、\begin{eqnarray} \displaystyle \sin12^\circ &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt5}-\sqrt{15}+\sqrt3}{8} \\ \displaystyle \cos12^\circ &=& \frac{\sqrt{30+6\sqrt5}+\sqrt5-1}{8} \end{eqnarray}

です。

以下では、この2つの値を倍角公式に代入することで、sin24°・cos24°を求めていきます。

4. sin24°の値を倍角公式で求める

それでは、倍角公式\[ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta \]

を利用して、\(\sin24^\circ\) の値を求めてみましょう。\begin{eqnarray} \displaystyle \sin24^\circ &=& \sin(2\times12^\circ) \\ &=& 2\sin12^\circ\cos12^\circ \end{eqnarray}

ここに先ほど確認した\(\sin12^\circ\)、\(\cos12^\circ\) の値を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 24^\circ &=& 2\sin 12^\circ \cos 12^\circ \\
\displaystyle &=& 2 \times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} \times \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} \\
\displaystyle &=& 2 \times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8} \times \frac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{\{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)\}\{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1\}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(10+2\sqrt{5})-\sqrt{3}(6-2\sqrt{5})-2(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{15}-2\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2 (10+2\sqrt{5})}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{15}-2\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{15}-2\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{15}-4\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\end{eqnarray}

となり、最終的に\[ \boxed{ \displaystyle \sin24^\circ = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} } \]

となります。

5. cos24°の値を倍角公式で求める

続いて、倍角公式\[ \cos2\theta = 2\cos^2\theta-1 \]

を利用して、\(\cos24^\circ\) の値を求めます。\begin{eqnarray} \displaystyle \cos24^\circ &=& \cos(2\times12^\circ) \\ &=& 2\cos^212^\circ-1 \end{eqnarray}

ここに \(\cos12^\circ\) の値を代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 24^\circ &=& 2\cos^2 12^\circ-1 \\
\displaystyle &=& 2\left(\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}\right)^2-1 \\
\displaystyle &=& \frac{30+6\sqrt{5}+6-2\sqrt{5}+2\sqrt{30+6\sqrt{5}}(\sqrt{5}-1)}{32}-1 \\
\displaystyle &=& \frac{36+4\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{(10+2\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2}}{32}-\frac{32}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4+4\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{(10+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{4+4\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{32} \\
\displaystyle &=& \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} \\
\displaystyle &=& \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} \\
\end{eqnarray}

となり、最終的に\[ \boxed{ \displaystyle \cos24^\circ = \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} } \]

となります。

6. tan24°の値を求める

\(\tan24^\circ\) の値は、\[ \boxed{ \displaystyle \tan24^\circ = \frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2} } \]

です。

以下では、\[ \tan24^\circ = \frac{\sin24^\circ}{\cos24^\circ} \]

を利用して、この値を途中式から導出します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 24^\circ &=& \frac{\sin 24^\circ}{\cos 24^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \times \color{red}{\frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}-\sqrt{30-6\sqrt{5}}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \times \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}-\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=& \frac{\{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})-\sqrt{10-2\sqrt{5}}\}\{1+\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\}}{(1+\sqrt{5})^2-(\sqrt{30-6\sqrt{5}})^2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})^2+\sqrt{3}(\sqrt{10-2\sqrt{5}})^2-4(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{6+2\sqrt{5}-(30-6\sqrt{5})} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{3}(6+2\sqrt{5})+\sqrt{3}(10-2\sqrt{5})-4\sqrt{(1+\sqrt{5})^2(10-2\sqrt{5})}}{8\sqrt{5}-24} \\
\displaystyle &=& \frac{16\sqrt{3}-4\sqrt{(6+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}{8\sqrt{5}-24} \\
\displaystyle &=& \frac{16\sqrt{3}-4\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{8\sqrt{5}-24} \\
\displaystyle &=& \frac{4\sqrt{40+8\sqrt{5}}-16\sqrt{3}}{24-8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{8\sqrt{10+2\sqrt{5}}-16\sqrt{3}}{24-8\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3}}{3-\sqrt{5}} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3}}{3-\sqrt{5}} \times \color{red}{\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}} \\
\displaystyle &=& \frac{(3+\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{(3+\sqrt{5})^2(10+2\sqrt{5})}-2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{(14+6\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}-2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{2\sqrt{(7+3\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}-2\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2} \\
\end{eqnarray}

となり、最終的に\[ \boxed{ \displaystyle \tan24^\circ = \frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2} } \]

となります。

まとめ

本記事では、\(\sin24^\circ\)、\(\cos24^\circ\)、\(\tan24^\circ\) の値と、その求め方について解説しました。

24°は30°や45°のような有名角ではありませんが、\[ 24^\circ=2\times12^\circ \]

と考えることで、三角関数の倍角公式を利用できます。

特に、\[ \sin24^\circ = 2\sin12^\circ\cos12^\circ \]\[ \cos24^\circ = 2\cos^212^\circ-1 \]

と表せるため、sin12°・cos12°の厳密値が分かっていれば、sin24°・cos24°の厳密値を求めることができます。

また、\[ \tan24^\circ = \frac{\sin24^\circ}{\cos24^\circ} \]

を利用することで、tan24°についても厳密値を求めることができます。

なお、小数で表すと、\[ \sin24^\circ\approx0.4067,\qquad \cos24^\circ\approx0.9135,\qquad \tan24^\circ\approx0.4452 \]

となります。

一見すると求めにくい角度でも、すでに値が分かっている角度と倍角公式・加法定理などを組み合わせることで、厳密値を求められる場合があります。

今回の場合は、\[ 18^\circ \longrightarrow 12^\circ \longrightarrow 24^\circ \]

と、これまで求めた値を利用しながら新しい角度の厳密値を求めることができました。

本記事が、三角関数の倍角公式や厳密値について理解する助けになれば幸いです。