「0の0乗はいくつになるの？」
と疑問に思ったことはないでしょうか。
例えば、0 以外の任意の数の 0 乗は
\begin{eqnarray}
\displaystyle 2^0=1, \quad 10^0=1
\end{eqnarray}
のように、1 になります。
それなら、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=1
\end{eqnarray}
となりそうですよね。
一方、0 の正の整数乗は
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^1=0, \quad 0^2=0, \quad 0^3=0
\end{eqnarray}
のように 0 となるため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=0
\end{eqnarray}
となりそうにも見えます。
では、結局
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{0^0}
\end{eqnarray}
はいくつなのでしょうか。
実は、0 の 0 乗（\(0^0\)）の扱いは数学の文脈によって異なります。
\(0^0\) を未定義として扱う場合もあれば、組合せ論などでは \(0^0=1\) と定義すると便利な場合もあります。
さらに、微分積分で登場する「\(0^0\) 型の不定形」は、\(0^0\) そのものの値とは少し違う話です。
本記事では、
「なぜ0の0乗は簡単に決められないのか？」
というところから、\(0^0=1\) と定義する場合や、\(0^0\) 型の極限まで、できるだけわかりやすく解説していきます。
1. \(0\) の \(0\) 乗はいくつ？まずは結論
最初に結論から確認しましょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{0^0}
\end{eqnarray}
については、
数学の文脈によって扱いが異なります。
例えば、\(0^0\) を未定義として扱う場合があります。
一方、組合せ論などでは、数式を統一的に扱いやすくするために、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{0^0=1}
\end{eqnarray}
と定義することがあります。
また、極限の問題で
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) \to 0, \quad g(x) \to 0
\end{eqnarray}
となるときの
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)^{g(x)}
\end{eqnarray}
は、一般に \(0^0\) 型の不定形と呼ばれます。
ここで重要なのは、
「\(0^0\) という式をどう定義するか」
と、
「極限における \(0^0\) 型の不定形」
は、区別して考える必要があるということです。
まずは、そもそもなぜ \(0^0\) の扱いが問題になるのかを考えてみましょう。
2. なぜ \(0\) の \(0\) 乗は簡単に決められないの？
\(0^0\) の扱いが難しくなる理由は、指数法則から異なる考え方ができてしまうからです。
0 乗から考えると「1」になりそう
まず、0 ではない数 \(a\) について、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a^0=1
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
なぜなら、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{2^3}{2^3}=1
\end{eqnarray}
である一方、指数法則を使うと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{2^3}{2^3} &=& 2^{3-3} \\
\displaystyle &=& 2^0 \\
\end{eqnarray}
となるからです。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 2^0=1
\end{eqnarray}
となります。
一般に、\(a \neq 0\) なら、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{a^n}{a^n} &=& a^{n-n} \\
\displaystyle &=& a^0 \\
\end{eqnarray}
ですが、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{a^n}{a^n}=1
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{a^0=1 \quad (a \neq 0)}
\end{eqnarray}
となります。
この規則だけ見ると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=1
\end{eqnarray}
としたくなります。
しかし、この証明では \(a \neq 0\) が必要です。
なぜなら、\(a=0\) とすると途中で
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{0^n}{0^n}=\frac{0}{0}
\end{eqnarray}
が登場してしまい、0 で割ることができないからです。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a^0=1
\end{eqnarray}
という規則だけから、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=1
\end{eqnarray}
と結論づけることはできません。
0 の累乗から考えると「0」になりそう
今度は反対に、底が 0 の場合を考えてみましょう。
正の整数 \(n\) に対して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^n=0
\end{eqnarray}
です。
実際、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^1&=&0 \\
\displaystyle 0^2&=&0 \times 0=0 \\
\displaystyle 0^3&=&0 \times 0 \times 0=0
\end{eqnarray}
となります。
そのため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^n=0
\end{eqnarray}
という規則だけを見れば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=0
\end{eqnarray}
としたくなります。
つまり \(0^0\) では、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{a^0=1 \quad (a \neq 0)}
\end{eqnarray}
という考え方と、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{0^n=0 \quad (n > 0)}
\end{eqnarray}
という考え方がぶつかってしまいます。
そのため、普段使っている指数の規則をそのまま \(0^0\) に当てはめて、「絶対に 0」「絶対に 1」と決めることはできません。
3. \(0\) の \(0\) 乗を「\(1\)」と定義する場合もある
ここまで読むと、
「じゃあ \(0^0\) は未定義で終わりじゃないの？」
と思うかもしれません。
しかし、数学では文脈によって
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{0^0=1}
\end{eqnarray}
と定義することがあります。
代表例の一つが組合せ論です。
組合せ論などでは \(0^0=1\) としておくことで、さまざまな公式を例外なく統一的に書きやすくなります。
例えば二項定理は、
\begin{eqnarray}
\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k \ a^{n-k} \ b^k \tag{1}
\end{eqnarray}
と表されます。
例えば \(n=2\) なら、
\begin{eqnarray}
\displaystyle (a+b)^2&=&\sum_{k=0}^2 {}_2 \mathrm{C}_k \ a^{2-k} \ b^k \\
\displaystyle &=& {}_2 \mathrm{C}_0 \ a^2 b^0+{}_2 \mathrm{C}_1 \ a^1 b^1+{}_2 \mathrm{C}_2 \ a^0 b^2 \\
\displaystyle &=& a^2+2ab+b^2
\end{eqnarray}
となります。
ここで注目したいのは、展開した式の中に
\begin{eqnarray}
\displaystyle a^0, \quad b^0
\end{eqnarray}
のような 0 乗が自然に登場することです。
通常、0 でない数については
\begin{eqnarray}
\displaystyle a^0=1
\end{eqnarray}
なので、例えば
\begin{eqnarray}
\displaystyle {}_2 \mathrm{C}_0 \ a^2 b^0
\end{eqnarray}
は
\begin{eqnarray}
\displaystyle a^2
\end{eqnarray}
となります。
二項定理では、このように端の項を含めてすべて同じ公式で表せることが便利です。
さらに数学では、\(a\) や \(b\) に 0 を代入する場合まで含めて、できるだけ同じ公式をそのまま使えるようにしたい場面があります。
そこで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{0^0=1}
\end{eqnarray}
と定義しておくと、0 が登場する場合でも、二項定理の各項を特別扱いせず、同じ形で扱いやすくなります。
つまり、
\(0^0=1\) は「指数法則から必ず1になることが証明された」というより、公式を統一的に扱うために1と定義すると便利な場合がある
ということです。
4. 「\(0\) の \(0\) 乗」と「\(0\) の \(0\) 乗型の不定形」は別物
ここは特に重要です。
微分積分を勉強していると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0
\end{eqnarray}
は不定形である、と習うことがあります。
しかし、これは
\(0^0\) という数の値そのものが「不定形」という数である
という意味ではありません。
極限において、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) \to 0 \ \ \ \text{かつ} \quad g(x) \to 0
\end{eqnarray}
となるとき、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)^{g(x)}
\end{eqnarray}
がどの値に近づくのかは、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) \to 0, \quad g(x) \to 0
\end{eqnarray}
という情報だけでは決まりません。
このような形を、
\(0^0\) 型の不定形
と呼びます。
実際に例を見てみましょう。
5. \(0^0\) 型の極限は近づき方によって答えが変わる
まず、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=x^x
\end{eqnarray}
を考えてみます。
\(x \to +0\) のとき、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x \to 0, \quad x \to 0
\end{eqnarray}
なので、形だけ見ると
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0
\end{eqnarray}
になり、値は定まらないように見えます。
しかし実際には、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to +0} x^x=1}
\end{eqnarray}
となります。
では、「\(0^0\) 型の極限は全部 1 になる」ということでしょうか。
そうではありません。
例えば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=x^{\frac{1}{\log x}}
\end{eqnarray}
を考えてみます。
\(x \to +0\) のとき、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x \to 0
\end{eqnarray}
です。
また、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \log x \to -\infty
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{\log x} \to 0
\end{eqnarray}
となります。
したがって、この式も形としては
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0
\end{eqnarray}
です。
ところが、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=x^{\frac{1}{\log x}}=\left(e^{\log x}\right)^\frac{1}{\log x}=e
\end{eqnarray}
となります。
つまり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to +0} x^{\frac{1}{\log x}}=e}
\end{eqnarray}
です。
一方、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
でした。
同じように底と指数が 0 へ近づいているのに、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1
\end{eqnarray}
になる場合もあれば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle e
\end{eqnarray}
になる場合もあるわけです。
だからこそ、\(0^0\) 型は極限において不定形と呼ばれます。
「不定形」とは、
形を見ただけでは極限値を決められない
という意味だと理解しておきましょう。
6. \(y=x^x\) のグラフを見てみよう
それでは、先ほど登場した
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=x^x
\end{eqnarray}
について、もう少し詳しく調べてみましょう。
\(x > 0\) の範囲でグラフを描くと、次のようになります。
グラフを見ると、\(x\) を 0 より大きい側から 0 へ近づけたとき、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=x^x
\end{eqnarray}
は 1 へ近づいているように見えます。
つまり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
となりそうです。
しかし、グラフだけでは厳密な証明にはなりません。
そこで次に、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
となることを実際に計算してみましょう。
7. なぜ \(\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1\) になるの？
前章では、\(y=x^x\) のグラフから、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
となりそうなことを確認しました。
しかし、グラフを見ただけでは、本当に極限が1になることを証明したことにはなりません。
そこでここからは、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
となることを、実際に計算して確かめてみましょう。
STEP 1：\(y=x^x\) とおく
まず、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y=x^x
\end{eqnarray}
とおきます。
このままでは指数部分にも \(x\) が含まれていて扱いにくいため、両辺の自然対数をとります。
すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \log y&=&\log x^x \\
\displaystyle &=&x\log x
\end{eqnarray}
となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x\log x \tag{2}
\end{eqnarray}
を調べればよいことが分かります。
STEP 2：\(t=\frac{1}{x}\) とおく
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle t=\frac{1}{x}
\end{eqnarray}
とおいてみましょう。
\(x\) を正の方向から 0 へ近づけると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x \to +0
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle t \to \infty
\end{eqnarray}
となります。
また、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x=\frac{1}{t}
\end{eqnarray}
なので、(2)の極限の中身は
\begin{eqnarray}
\displaystyle x\log x&=&\frac{1}{t} \log \frac{1}{t} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{t} \log t^{-1} \\
\displaystyle &=&-\frac{\log t}{t} \\
\end{eqnarray}
と変形できます。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x\log x=-\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t}
\end{eqnarray}
となります。
STEP 3：\(\displaystyle \frac{\log t}{t}\) の極限を考える
ここで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t}=0
\end{eqnarray}
という対数関数の基本的な極限を利用します。
これは、\(t\) が大きくなるにつれて、
\begin{eqnarray}
\displaystyle t
\end{eqnarray}
は急速に大きくなっていくのに対し、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \log t
\end{eqnarray}
は非常にゆっくりとしか大きくならないためです。
例えば、
| \(t\) | \(\log t\) | \(\displaystyle \frac{\log t}{t}\) |
| 10 | 約 2.30 | 約 0.230 |
| 100 | 約 4.61 | 約 0.0461 |
| 1000 | 約 6.91 | 約 0.00691 |
となり、\(t\) が大きくなるほど
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{\log t}{t}
\end{eqnarray}
が 0 へ近づいていくことが分かります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t}=0
\end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to +0} x \log x}&=&-\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t} \\
\displaystyle &=&\color{red}{0}
\end{eqnarray}
となります。
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t}=0\) は、「対数関数 \(\log t\) は \(t\) よりもはるかにゆっくり増加する」という性質を表しています。
本記事では \(0^0\) の話をわかりやすくするため、この極限自体の詳しい証明は省略します。
STEP 4：\(x^x\) の極限を求める
ここまでの計算から、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x \log x=0
\end{eqnarray}
であることが分かりました。
先ほど、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \log y=x\log x
\end{eqnarray}
としたので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} \log y=0
\end{eqnarray}
となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \log y \to 0
\end{eqnarray}
です。
両辺を指数関数で元に戻すと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y \to e^0
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y \to 1
\end{eqnarray}
です。
もともと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle y = x^x
\end{eqnarray}
とおいていたので、最終的に、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to +0} x^x=1}
\end{eqnarray}
となります。
これで、グラフで確認した「\(x\) を正の方向から 0 へ近づけると、\(x^x\) は 1 へ近づく」という性質を、計算からも確かめることができました。
8. \(x^x \to 1\) なら \(0^0 = 1\) じゃないの？
ここまでの計算から、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
となることが分かりました。
すると、
「結局、\(0^0=1\) ということじゃないの？」
と思うかもしれません。
しかし、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
であることと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=1
\end{eqnarray}
と定義することは、別の話です。
「その点での値」と「極限値」は違う
極限とは、ある値そのものを代入した結果ではなく、その値へ限りなく近づけたときに、関数の値がどこへ近づくのかを考えるものです。
例えば、次のような関数を考えてみましょう。
\begin{eqnarray}
f(x)
=
\begin{cases}
x^x & (x>0) \\
100 & (x=0) \\
\end{cases}
\end{eqnarray}
この関数では、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(0)=100
\end{eqnarray}
です。
しかし、\(x\) を正の方向から 0 へ近づけたときには、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} f(x)=\lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
となります。
つまり、
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(0)=100
\end{eqnarray}
であっても、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} f(x)=1
\end{eqnarray}
となることがあるわけです。
このことからも、
ある点での関数の値と、その点に近づけたときの極限値は必ずしも同じではない
ことが分かります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
だからといって、それだけを理由に
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=1
\end{eqnarray}
と決めることはできません。
\(0^0\) 型の極限は必ず 1 になるわけではない
さらに、第5章で確認したように、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x^x
\end{eqnarray}
では、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
となります。
一方、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^{\frac{1}{\log x}}=e
\end{eqnarray}
となります。
どちらも、
底が 0 へ近づき、指数も 0 へ近づく
という意味では \(0^0\) 型です。
それにもかかわらず、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1
\end{eqnarray}
となる一方、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x^{\frac{1}{\log x}}=e
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{x \to +0} x^{\frac{1}{\log x}}=e
\end{eqnarray}
となります。
つまり、同じ \(0^0\) 型であっても、極限値が 1 になる場合もあれば、\(e\) になる場合もあります。
このように、\(0^0\) という「形」だけを見ても、極限値を決めることはできません。
これが、
\(0^0\) 型が不定形
と呼ばれる理由です。
9. \(0\) の \(0\) 乗についてよくある疑問
最後に、\(0^0\) について特に疑問になりやすいポイントを整理しておきましょう。
\(0\) の \(0\) 乗は未定義なの？
\(0^0\) の扱いは、数学の分野や文脈によって異なります。
\(0^0\) を未定義として扱う場合もあれば、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=1
\end{eqnarray}
と定義する場合もあります。
そのため、
「\(0^0\) は絶対に未定義」
と覚えるよりも、
「\(0^0\) の扱いは文脈によって異なる」
と理解しておくのがおすすめです。
\(0\) の \(0\) 乗は 1 なの？
数学の分野によっては、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=1
\end{eqnarray}
と定義することがあります。
ただし、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a^0=1
\end{eqnarray}
という公式だけを根拠として、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0=1
\end{eqnarray}
と証明できるわけではありません。
通常、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a^0=1
\end{eqnarray}
を指数法則から説明するときには、
\begin{eqnarray}
\displaystyle a \neq 0
\end{eqnarray}
という条件が必要だからです。
\(0\) の \(0\) 乗は 0 なの？
正の整数 \(n\) に対して、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^n = 0
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0 = 0
\end{eqnarray}
となりそうにも見えます。
しかし、この規則は
\begin{eqnarray}
\displaystyle n > 0
\end{eqnarray}
の場合についてのものです。
そのため、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^n = 0
\end{eqnarray}
という規則だけから、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0 = 0
\end{eqnarray}
と結論付けることはできません。
\(0\) の \(0\) 乗は不定形なの？
正確には、極限において
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x) \to 0, \quad g(x) \to 0
\end{eqnarray}
となるときの
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)^{g(x)}
\end{eqnarray}
が、
\(0^0\) 型の不定形
と呼ばれます。
「\(0^0\) という数そのものが不定形という値になる」という意味ではありません。
不定形とは、
その形だけでは極限値を決めることができない
という意味です。
\(\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x\) はいくつ？
これは、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to +0} x^x=1}
\end{eqnarray}
です。
ただし、
\begin{eqnarray}
\displaystyle x^x \to 1
\end{eqnarray}
という事実だけから、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0 = 1
\end{eqnarray}
と結論付けることはできません。
まとめ
本記事では、0 の 0 乗
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0^0
\end{eqnarray}
について解説しました。
重要なポイントをまとめると、次のようになります。
- \(0^0\) の扱いは、数学の分野や文脈によって異なる
- \(0^0\) を未定義として扱う場合がある
- 一方、組合せ論などでは \(0^0=1\) と定義する場合もある
- \(a^0=1\) は通常 \(a \neq 0\) の場合についての公式なので、それだけでは \(0^0=1\) と結論付けられない
- \(0^n=0 \ (n>0)\) から \(0^0=0\) と結論付けることもできない
- 極限における \(0^0\) 型は不定形
- 不定形とは「その形だけでは極限値を決められない」という意味
- \(\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1\)
- ただし、\(\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x=1\) と \(0^0\) の定義は別の問題
特に重要なのは、
\(0^0\) そのものをどう定義するか
という問題と、
\(0^0\) 型の極限
は、区別して考える必要があるということです。
「0 の 0 乗は 0 なのか、1 なのか、それとも未定義なのか？」と考えるときには、一つの答えだけを暗記するのではなく、どのような文脈で \(0^0\) が登場しているのかを確認することが大切です。