指数関数・対数関数の微分公式の証明
導出方法をわかりやすく解説

微分計算を学んでいると、指数関数や対数関数の微分公式を使う機会が多くあります。

例えば、指数関数では

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(a^x\right)′=a^x\log{a}
\end{eqnarray}

対数関数では

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\log_{a}{​x}\right)′=\frac{1}{x\log{a}}​
\end{eqnarray}

という公式を使います。

これらの公式は計算するうえで非常に便利ですが、「なぜこのような形になるのか」「どのようにして導出されるのか」まで理解しているでしょうか？

本記事では、微分の定義や指数関数・対数関数の性質を利用して、指数関数と対数関数の微分公式を数学的に導出します。

公式をただ暗記するのではなく、その成り立ちから理解したい人にもわかりやすいように解説していきます。

■指数関数の微分公式の証明

まず、以下の式について証明していきます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(a^x\right)' &=& a^x \log{a} \tag{1}
\end{eqnarray}

証明には、以下の導関数の定義式を利用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag{2}
\end{eqnarray}

\(f(x):=a^x\)、\(f(x+h):=a^{x+h}\) であることに注意して、(2)式に代入してみると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(a^x\right)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\
\displaystyle &=& a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} \tag{3}
\end{eqnarray}

となります。ここで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle a^h-1:=t \tag{4}
\end{eqnarray}

とおき、(3)式から \(h\) を消去し \(t\) で表すことを考えます。

極限については、(4)式より \(h \to 0\) のとき、\(t\) も \(t \to 0\) に近づくことは明白です。

また、(3)式の分母の \(h\) は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle & & a^h-1=t \\
\displaystyle &\Rightarrow& a^h=t+1 \\
\displaystyle &\Rightarrow& \log{a^h}=\log{(t+1)} \\
\displaystyle &\Rightarrow& h\log{a}=\log{(t+1)} \\
\displaystyle &\Rightarrow& h=\frac{\log{(t+1)}}{\log{a}} \\
\end{eqnarray}

を利用して消すことができるため、諸々を(3)式に代入すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(a^x\right)' &=& a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} \\
\displaystyle &=& a^x \lim_{t \to 0} \frac{t}{\frac{\log{(t+1)}}{\log{a}}} \\
\displaystyle &=& a^x \log{a} \ \lim_{t \to 0} \frac{t}{\log{(t+1)}} \\
\displaystyle &=& a^x \log{a} \ \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} \cdot \log{(t+1)}} \\
\displaystyle &=& a^x \log{a} \ \lim_{t \to 0} \frac{1}{\log{(t+1)^\frac{1}{t}}} \tag{5}
\end{eqnarray}

となる。(5)式において、ネイピア数 \(e\) の定義より

\begin{eqnarray}
\lim_{t \to 0} (t+1)^\frac{1}{t}=e
\end{eqnarray}

であるため、これを(5)式に適用すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(a^x\right)' &=& a^x \log{a} \ \lim_{t \to 0} \frac{1}{\log{(t+1)^\frac{1}{t}}} \\
\displaystyle &=& a^x \log{a} \ \frac{1}{\log{e}} \\
\displaystyle &=& a^x \log{a} \tag{6}
\end{eqnarray}

以上より、(1)式が証明できました。

■対数関数の微分公式の証明

次に、以下の式について証明していきます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\log_{a}{x}\right)' &=& \frac{1}{x\log{a}} \tag{7}
\end{eqnarray}

例によって、導関数の定義である(2)式を利用する形で導出していきます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\log_{a}{x}\right)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{\log_{a}{(x+h)}-\log_{a}{x}}{h} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left(\log_{a}{(x+h)}-\log_{a}{x}\right) \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log_{a}{\left(1+\frac{h}{x}\right)} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \color{red}{\frac{x}{h}} \cdot \color{red}{\frac{h}{x}} \log_{a}{\left(1+\frac{h}{x}\right)} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{h}{x} \log_{a}{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}} \\
\displaystyle &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \log_{a}{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}} \tag{8}
\end{eqnarray}

となります。ここで、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{h}{x}:=s \tag{9}
\end{eqnarray}

とおき、(9)式から \(h\) を消去し \(s\) で表すことを考えます。

極限については、(9)式より \(h \to 0\) のとき、\(s\) も \(s \to 0\) に近づくため、(8)式は

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\log_{a}{x}\right)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \log_{a}{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}} \\
\displaystyle &=& \lim_{s \to 0} \frac{1}{x} \log_{a}{\left(1+s\right)^\frac{1}{s}} \tag{10}
\end{eqnarray}

となる。(10)式において、ネイピア数 \(e\) の定義より

\begin{eqnarray}
\lim_{t \to 0} (t+1)^\frac{1}{t}=e
\end{eqnarray}

であるため、これを(10)式に適用すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\log_{a}{x}\right)' &=& \lim_{s \to 0} \frac{1}{x} \log_{a}{\left(1+s\right)^\frac{1}{s}} \\
\displaystyle &=& \frac{1}{x} \log_{a}{e} \\
\displaystyle &=& \frac{1}{x} \frac{\log{e}}{\log{a}} \\
\displaystyle &=& \frac{1}{x\log{a}}
\end{eqnarray}

以上より、(7)式が証明できました。

■まとめ

本記事では、指数関数と対数関数の微分公式について、その導出方法を確認しました。

これらの公式は、単に暗記するだけでも微分計算に使うことができます。しかし、なぜこのような公式になるのかを理解しておくと、公式を忘れてしまったときにも導出の流れを思い出すことができます。

指数関数・対数関数の微分は、数学や物理などさまざまな分野で登場する重要な公式です。ぜひ公式そのものだけでなく、その成り立ちまで理解しておきましょう。

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