15°の三角比は、三角比の問題で登場することがありますが、30°や45°、60°のようにそのまま値を覚えている人は少ないのではないでしょうか。
しかし、15°は
\begin{eqnarray}
\displaystyle 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ
\end{eqnarray}
と表すことができるため、三角比の加法定理を利用すれば、sin15°、cos15°、tan15°の値を求めることができます。
本記事では、加法定理を復習したうえで、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin15^\circ, \ \cos15^\circ, \ \tan15^\circ
\end{eqnarray}
の値をそれぞれ計算していきます。
また、最後には求めた値が正しいかどうかを、他サイトでまとめている三角関数表の値と比較して確認します。
本記事で求める sin15°、cos15°、tan15° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \cos 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle \tan 15^\circ &=& 2-\sqrt{3}
\end{eqnarray}
■sin15°、cos15°、tan15° を求める方針
冒頭でも軽く触れた通り、本記事では \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\) であることを利用し、加法定理を用いて導いていきます。
本記事では、sin45°、cos45°、tan45°、sin30°、cos30°、tan30° の値は既知の情報として取り扱っています。
この辺りの知識が怪しい方は、以下記事にて三角関数の基本知識をまとめておりますので、事前に立ち寄ることをおススメ致します！
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三角関数とは？｜
sin・cos・tan の定義・性質・使い方を
わかりやすく解説三角関数とは、角度 \(\theta\) によって値が決まる関数で、代表的なものに \begin{eqnarray}\displaystyle \sin\theta, \quad \cos\theta ...
■加法定理の復習
まずは三角関数の加法定理についてですが、実はこちらは既に別記事でまとめています。
以下の記事で丁寧に導出・証明しているので、気になる方は是非ご一読ください。
「そういえば、加法定理って何故成立するんだっけ？」という方におススメの記事となっています！
三角関数の加法定理（復習）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta) &=& \displaystyle \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
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三角関数の加法定理とは？
公式・使い方・証明をわかりやすく解説2026/9/29
三角関数には、2つの角の和や差を扱うための「加法定理」と呼ばれる重要な公式があります。 代表的なものが、 \begin{eqnarray}\displaystyle \sin(\alpha+\beta ...
■ sin15° の導出
上で確認した加法定理、および、45°と30°の時の三角関数の値を利用して、sin15° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ &=& \sin (45^\circ-30^\circ) \\
\displaystyle &=& \sin 45^\circ \cos 30^\circ-\cos 45^\circ \sin 30^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
■ cos15° の導出
同様に、加法定理を利用して cos15° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 15^\circ &=& \cos (45^\circ-30^\circ) \\
\displaystyle &=& \cos 45^\circ \cos 30^\circ+\sin 45^\circ \sin 30^\circ \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
となる。
■ tan15° の導出
同様に、加法定理を利用して tan15° の値を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 15^\circ &=& \frac{\tan45^\circ-\tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ} \\
\displaystyle &=& \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \\
\displaystyle &=& \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \cdot \color{red}{\frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}} \\
\displaystyle &=& \frac{12-6\sqrt{3}}{6} \\
\displaystyle &=& 2-\sqrt{3}
\end{eqnarray}
■求めた値が合っているかどうかの確認
三角関数の加法定理を利用することで、sin15°、cos15°、tan15° の値は以下の通り求めることができました。
本記事で求める sin15°、cos15°、tan15° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \tag{1} \\
\displaystyle \cos 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \tag{2} \\
\displaystyle \tan 15^\circ &=& 2-\sqrt{3} \tag{3}
\end{eqnarray}
これらの値が正しい値かどうか、他サイトの三角関数表を参照しつつ確認してみましょう。
筆者が電卓を用いて計算した結果を以下に記載していきます。
計算結果の小数第6位までを利用して計算していくこととします。
sin15° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle &≒& \frac{2.449489-1.414213}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{1.035276}{4} \\
\displaystyle &≒& 0.258819 \tag{4}
\end{eqnarray}
cos15° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\displaystyle &≒& \frac{2.449489+1.414213}{4} \\
\displaystyle &=& \frac{3.863702}{4} \\
\displaystyle &≒& 0.965925 \tag{5}
\end{eqnarray}
tan15° の値（小数形式）
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan 15^\circ &=& 2-\sqrt{3} \\
\displaystyle &≒& 2-1.732050 \\
\displaystyle &=& 0.26795 \tag{6}
\end{eqnarray}
他サイト様でまとめている三角関数表の値との比較
以下の他サイト様でまとめている三角関数表を参考に、上で求めた(4)式～(6)式の値が一致しているか確認します。
上記サイト内では、sin15°、cos15°、tan15° の値はそれぞれ以下の通り記載されています。
他サイト様が公表している sin15°、cos15°、tan15° の値
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 15^\circ &=& 0.2588 \\
\displaystyle \cos 15^\circ &=& 0.9659 \\
\displaystyle \tan 15^\circ &=& 0.2679
\end{eqnarray}
(4)式～(6)式の値と比較してみると、ほぼほぼ一致した結果となっていることがわかります。
■まとめ
今回の記事では、三角比の加法定理を利用して、sin15°、cos15°、tan15°の値を求めました。
このように、30° や 45° などの特殊角と加法定理を組み合わせることで、15°のような角度の三角比も正確に求めることができます。
また15°の値は有名角だけの加法定理の組み合わせで導くことができるため、比較的計算も用意でしたが、他の多くの角度はそうはいきません。
他の角度の三角比の値については別記事でいくつかまとめていますので、興味がある方は是非覗いてみてください！（中々に地獄のものもあります、、）
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